數理金融學研究方法存在的錯誤及糾正方法探析

高宏

摘要： 金融資產價格隨時間演變的過程為非平穩隨機過程，本文指出了數理金融學將平穩隨機過程隨機變量研究方法用于研究非平穩資產價格過程樣本函數的方法存在錯誤。分析了數理金融學隨機變量研究方法的錯誤現象及歷史原因，并使用樣本函數研究方法重建了描述資產價格隨時間演變過程的隨機游走數學模型，推導出了資產價格的自相關函數和功率譜密度，給出了預測股票市場指數長期趨勢和波動范圍的原理及方法。

關鍵詞： 資產價格模型 隨機游走 維納過程 非平穩隨機過程

一、引言

任何一門學科的現代化和精確化進程，都必然導致以數學語言和數學工具來研究該學科研究對象的運動狀態、內在聯系及運動規律。數理金融學就是運用隨機過程理論和方法，來建立描述資產價格波動現象的數學模型，并發現其內在運動規律和特征，以解決不確定環境下金融資產定價、最優配置和風險管理等問題。早在1900年，數理金融學的奠基人、法國數學家Bachelier就首先使用概率方法對股票價格現象進行定量研究，建立了描述股票價格波動現象的算術布朗運動模型。從現代隨機過程的角度看，Bachelier采用隨機變量方法來研究非平穩隨機過程樣本函數，無意中使數理金融學的研究對象發生了錯位，勢必會得出一系列與事實不符的錯誤結論。令人不可思議的是，數理金融學一直沿用Bachelier的錯誤研究方法研究金融市場的數量關系及其變化規律，導致廣泛應用時給金融市場帶來巨大的災難，暢銷書《黑天鵝》作者Taleb在《金融時報》上發表專欄文章，將數理金融學斥之為“破壞市場的偽科學”。

二、非平穩隨機過程的特點及研究方法

隨機過程X（ω，t）是定義在Ω×T上的二元函數。對于固定的t∈T，X（ω，t）是定義在狀態空間Ω上的函數，稱為隨機變量，簡記為大寫的X（t）;對于固定的ω∈Ω，X（ω，t）是時間的函數，稱為樣本函數，簡記為小寫的x（t）。人們觀察到的股票價格隨時間變化過程，只是隨機過程中的一個樣本函數。

對于平穩隨機過程中的各態歷經過程，各個樣本函數都同樣經歷了整個隨機過程在狀態空間所有可能的狀態，因此，任何一個樣本函數所作的各種時間平均（均值、均方值），在概率意義上等于此過程隨機變量在狀態空間的各種統計平均（數學期望、方差）。因此在研究這類隨機過程時，即可用隨機變量的統計特征來描述任何一個樣本函數，也可用任何一個樣本函數的時間平均來代替隨機變量的統計平均。

但是對于非平穩隨機過程X（ω，t），其隨機變量X（t）的統計平均與各個樣本函數x（t）的時間平均完全不同，因此在研究非平穩隨機過程X（ω，t）時，對隨機變量X（t）和樣本函數x（t）要采用分別研究的方法，否則會使研究對象發生錯位，得出與事實完全不符的錯誤結論。

非平穩隨機過程隨機變量的統計特性不但是時間的函數，而且各個樣本函數的時間平均也是各不相同的時間函數。例如，維納過程隨機變量W（t）的數學期望為零，方差與時間成正比，因此維納過程是典型的非平穩隨機過程。維納過程的樣本函數是均值隨時間變化、均方值為常數的時間函數，圖1給出了10條維納過程樣本函數的仿真曲線。從圖中可以看出，維納過程所有樣本軌道的均方值（方差）都為固定的常數，但樣本軌道在狀態空間呈發散狀態，樣本軌道的發散程度可用維納過程隨機變量W（t）的方差進行度量。

三、隨機變量研究方法的錯誤

證券交易所給出的股票價格s是時間t的函數，它只是股票價格隨機過程S（t）中的一個樣本函數s（t）。金融領域大量的實證研究結果表明，股票價格的對數收益率為零均值不相關白噪聲序列，設y（t）=ln s（t），因此有

式中σ為股票價格對數收益率的標準差，ε（t）為均方差為1的白噪聲過程樣本函數，這里不要求ε（t）服從正態分布，只需ε（t）的均值為零，在不同時刻的取值互不相關即可。

式（1）表明：股票對數價格y（t）的一階差分Δy（t）為零均值不相關白噪聲樣本函數ε（t），這是眾多學者通過對股票價格波動現象長期觀察和實證研究得到的規律性認識，它是構建數理金融學理論的基礎或公理。

1958年，Osborne通過對美國紐約證券交易所股票價格數據的實證分析發現，股票價格的對數收益率服從均值為零的正態分布，與維納過程增量的統計特征完全相同，于是建立了下面的股票價格隨機變量模型

式中的維納過程W（t）為標準布朗運動，ΔW（t）服從（0，1）正態分布。

式（2）可改寫隨機游走形式的股票價格模型

式中Y（t）服從參數為（0，tσ2）正態分布。

1965年，Fama使用式（3）的隨機變量模型來描述實際股票價格現象，并將隨機變量模型的統計特性用于股票價格樣本函數，建立了著名的EMH（Efficient Market Hypothesis）有效市場假說，得出了股票市場未來的價格變化與當前和過去的歷史價格無關，股票價格波動中不存在趨勢和規律，股票市場不可預測等一系列結論。有效市場假說直接推翻了技術分析中“價格沿趨勢運動”的基本假設，認為投資者完全無法根據股票市場歷史價格來預測其未來的走勢，最終得出了技術分析無效的結論。

若將Y（t）數學期望為零的統計特性用于樣本函數y（t），則無法描述和解釋實際股票價格y（t）中存在長期線性趨勢這一現象。Samuelson為了解決式（2）與事實不符的問題，不是從式（2）的隨機變量假設去尋找原因，而是畫蛇添足地給式（2）增加了線性漂移項，建立了帶漂移的幾何布朗運動模型

式中μ為股票期望收益率，也稱股票價格漂移率。

1973年，Black和Scholes基于式（4）推導出了著名的BS期權定價公式。由于從理論上解決了金融衍生產品的定價問題，BS期權定價公式直接導致了“第二次華爾街數學革命”，對各種金融創新工具和金融創新產品的面世起到了重大推動作用，使華爾街金融市場獲得了空前規模的發展。讓人意外的是，BS期權定價公式的廣泛應用，竟成為直接導致1987、1997和2007年三次重大金融危機的主要原因之一。

事實上，Osborne早在1958年就得出了股票對數價格的方差與時間成正比的結論，證明股票價格過程為非平穩隨機過程。但是Osborne本人，以及后來的Fama、Samuelson、Black、Scholes和Merton等數理金融學家，依舊使用Bachelier在1900年使用的隨機變量研究方法來研究非平穩的股票價格樣本函數，從而將數理金融學理論建立在錯誤的隨機變量假設基礎之上。

四、樣本函數研究方法

股票價格隨時間演變的過程是非平穩隨機過程中的一個樣本函數，因此我們只能采用樣本函數分析方法，來建立股票價格現象的樣本函數模型，研究其自相關函數、功率譜密度、長期線性趨勢及波動范圍等時域和頻域特性。

（一）時間函數模型

由式（1），直接可得積分形式的股票價格隨機游走模型

式中積分上限隨時間變化，表明隨機游走模型為非線性時變模型。

（二）自相關函數

由式（5），可推導出y（t）的自相關函數

式中為時間間隔。Ry（）在很寬的范圍內具有非零值，表明y（t）中存在可以識別和利用的規律，y（t）具有可預測性。

（三）功率譜密度

y（t）平均功率有限，Ry（）絕對可積，根據維納-辛欽定理，y（t）的功率譜密度函數Sy（ω）是Ry（）的傅立葉變換，有

式中，Sinc（ωt）為辛格函數。Sy（ω）為時變功率譜，Sy（ω）與ω的平方成反比，因此y（t）是能量集中在低頻段的紅噪聲。

（四）長期趨勢和波動范圍的預測原理及方法

式（1）的模型不僅能夠描述、解釋過去和現在的資產價格現象，更重要的是能夠預測股票市場指數未來的發展趨勢和變化范圍。將式（1）變化為

式中為ε（t）在[0，t]區間上的算術平均值，其物理意義表示白噪聲信號在有限區間被截斷后因“頻譜泄露”效應而產生的直流分量。

也是一隨機過程樣本函數，由概率論大數定律可知，隨著t的增加，的數學期望E[]會趨于真值（常數），因此，y（t）中存在一條σE[]t的長期線性趨勢線。

設的標準差為σε，利用切比雪夫不等式，可以確定在E[]±σε范圍內出現的概率為99.73%，因此，y（t）也會在相應的范圍內進行波動，從而可以得出如下的推論：

推論：股票對數價格在線性通道內圍繞長期線性趨勢線波動運行。

在實際預測股票市場指數的未來長期趨勢和波動范圍時，使用技術分析中的軌道線作圖法就能確定長期線性通道。例如，在對數坐標下，將上證指數歷史數據的最高點連成一條直線，可得線性通道的上軌道線;將上證指數歷史數據的最低點連成一條直線，可得線性通道的下軌道線，上證指數未來20年、50年，甚至100年都將以99%以上的概率在上、下軌道線構成的線性通道內運行。如果未來上證指數接近上軌道線運行，表示市場已經到達牛市的頂部;如果上證指數在下軌道線附近運行，則表明市場處于熊市的底部。

五、結論

本文指出了數理金融學將隨機變量研究方法用于研究非平穩隨機過程樣本函數的方法錯誤。并用樣本函數研究方法重建了股票價格數學模型，推導出了可揭示股票價格運動規律及特征的自相關函數和功率譜密度，給出了預測股票市場指數未來長期趨勢和波動范圍的原理及方法，可為證券投資活動的價格分析、價格預測及風險管理提供有效的數學模型及分析工具。

作者單位：清華大學