關于“一題多變”在初中數學教學的應用

江蘇省新沂市港頭中學 黃繼梅

“一題多變”，也被稱為“一題多式”“變式教學”，是指在教學過程中對所舉例題進行拓展和變形，使某一題型由前一種考查模式轉換為另一種考查模式，乃至使前一題型轉變為另一題型。在新課改背景下，“一題多變”因其發散思維、幫助學生多角度多方面探求問題、迅速夯實學生學習基礎的優勢，逐漸成為初中數學課堂上的一種常見教學方法。下面，筆者將對“一題多變”在初中數學教學中的應用進行簡單論述。

一、“一題多變”運用的意義

1.減輕學習負擔，夯實學習內容

在以往的初中數學教學中，教師為了盡可能保證學生掌握所學內容和解題技巧，也為了盡可能覆蓋足夠多的考試題型，往往采用題海戰術。這種做法加重了學生的學習負擔，并且容易引起學生畏學、厭學的情緒。

“一題多變”在有限的題目總量的基礎上，加大了每一道題目的可變性，從而一定程度上減輕了學生的學習負擔。同時，“一題多變”通過對一道題目的不斷發散，也利于讓學生了解題目設置規律、熟悉題目考查形式。最后，“一題多變”通過對特定題目的反復訓練，也能夠夯實學生所學內容。此外，“一題多變”的運用，也讓數學問題增強趣味性，調動學生的學習興趣。

2.提高思維能力，提升學習技巧

“一題多變”的有效運用可以幫助學生發展思維能力，提升學習技巧，從而提高學習能力。“一題多變”可以充分提高學生的思維能力，增強其發散思維、化靜為動思維、分類討論思維等在內的多種數學思維。

例如：已知直線l 及其同側兩點A、B，請在直線l 上選一點C，使點C 到點A、B 的距離之和最小。帶領學生探討這個問題之后，教師給出這個問題的變式題，促使學生在理解這個問題的基礎上，注重知識的內化、理解和運用。如：已知一條河流兩側有村莊A、B，現在河上修一座與河兩岸a、b 垂直的橋，使A 村經B 村的路程最短，請問橋應修在何處？這個變式題中，將一道抽象的軸對稱問題轉化為了實際應用問題，并將知識點擴散開來，極大地激發了學生的實際應用能力和思維擴展能力。

二、“一題多變”的方法技巧

“一題多變”在初中數學教學中具有積極的作用，但在實際教學中如何進行“一題多變”，仍困擾著一線教師。在這里，筆者從三個方面論述“一題多變”在初中數學教學中運用的方法技巧。

1.改換題設和結論

更改題設和待求結論，是最為常見也最為有效的“一題多變”技巧。例如：如圖1，△ABD、△AEC 都是等邊三角形，求證：BE=DC。

變式一：如圖2，在△ABC 中，分別以AB、AC、BC 為邊在BC同側作等邊三角形ABD、ACE、BCF，求證：四邊形DAEF 是平行四邊形。

圖1

圖2

這個變式題，原例只需由“AE=AC，AB=AD，∠BAE=∠DAC”證明△BAE ≌△DAC，從而得證BE=DC；變式一則需由“BD=BA，BF=BC，∠DBF=∠ABC”等證明△ABC ≌△DBF、△ABC ≌△EFC。

這個變式題是在題設和結論上進行了更改，與原例相比，增加了證明角相等、證明平行四邊形兩組對邊相等的內容，在難度和思維性上也大大提高。

但在本質上，兩個題目仍然“同源”，題目的主體和考查要點都是三角形全等的證明。盡管兩個題目“同源”，但在這樣更改題設和結論的過程中，進一步考查學生在幾何證明上深入思考的能力，也考查了學生將三角形全等的證明和角相等問題、平行四邊形證明問題相結合的能力。因此，變式題升華了原題，利于學生綜合能力的提升。

2.延伸問題和思考

在“一題多變”中，對結論進一步加深思考，從而將原問題進行延伸，引導學生進行進一步的思考，也是一種常用的方法技巧。

例如：在半徑為5 的☉O 中，弦AB 的長為8，且點P 在AB 上，求OP 長度的取值范圍。

變式一：在半徑為5 的☉O 中，弦AB 的長為4，且點P 在AB 上，若OP 長度為整數，則點P 的個數為多少？

變式二：點P 在半徑為5 的☉O 中，若OP 長為3，則經過點P的所有弦中，弦長為7、8、9 的弦各有幾條？

這個例題中，對圓中一弦上點到圓心的長度OP 的取值范圍進行了討論，變式一則將OP 進一步限定在整數范圍之內，從而求P 點個數，變式二則更進一步，將OP 限定在固定長度，反求過P 的弦長。這三個問題每一問都是前一問的延伸和擴展，充分向學生展示了這一問題的一些基本考查角度，也能夠讓學生在不斷深入思考的過程中，對弦長問題有更進一步的了解。

3.遵循由淺入深

“一題多變”中，對于某一數學問題的討論，由例題的淺層次“初探”，到不斷變式的深層次“細究”，帶領學生開展由淺入深的數學學習，也是一種不錯的方法技巧。

以上面的圓的問題為例，教師可以在變式一、變式二的基礎上，進一步給出變式問題，逐漸加大難度，不斷提升學生的思維力。如：

變式三：在半徑為5 的☉O 中，弦AB 與CD 平行，若AB=8，CD=6，則AB、CD 間的距離是多少？

變式四：在半徑為5 的☉O 中，梯形ABCD 內接于☉O，且AB ∥CD，若AB=8，梯形的高為1，則CD 長為多少？

這兩個變式是例題三及其變式一、二的進一步深入討論，開始探討圓內一弦與另一弦之間的位置關系，引導學生開始由對弦與其上一點問題的探討轉為兩弦之間的討論，逐漸由淺入深，對圓內圖形關系進一步進行了研究。

總之，“一題多變”對于初中數學教學具有實踐意義，教學中，教師應善于使用“改換題設和結論、延伸問題和思考、遵循由淺入深”等方法技巧，切實用好“一題多變”這一教學利器，打開學生的思維通道，發展學生綜合能力，提升數學教學效果。