高中數(shù)學證明題型的解題方法

江蘇省泰州市姜堰區(qū)蔣垛中學 錢小燕

科學的解題法是提升學生解決數(shù)學問題能力、提高學生解題效率的重要保障。證明題是高中數(shù)學教學中一類重要的題型，是高考數(shù)學學科考試的必考內容，但是由于這部分的知識具有很強的抽象性與繁雜性，使得學生常常容易在解決證明題的過程中出現(xiàn)犯錯的情況。為了使高中生順利地攻克這部分知識學習難關，教師需要傳授給學生必要的解題方法，所以強化證明題的相關求解方法研究顯得尤為重要。

一、常規(guī)分析法及應用

常規(guī)分析法是解決數(shù)學證明題中比較常用的一種方法，主要是使學生通過利用未知條件發(fā)現(xiàn)已知條件的過程，對學生思維的邏輯性具有較高要求。在實際的應用過程中，學生首先需要假定證明題目中所求證命題結論是正確的，之后將此當成已知條件，通過一系列推理論證找到證明該命題結論成立的條件，而這些條件一般是證明題目中給定的條件或者已經(jīng)證明的公式、定理或命題等，通過對比分析它們的相關情況，即可完成最終的證明。通過采用常規(guī)分析法對證明題進行求解證明，可以促使學生從多角度、多方面思考問題，有助于拓寬學生的解題思路。但是需要注意的是，常規(guī)分析法并非是通過命題的結論來對前提條件進行證明。在應用該種證明方法的過程中，一般采取的通用格式為：“要證明……只需要證明……”或者是利用符號“←”。通過邏輯化的推理論證，可以最終達到證明數(shù)學問題的目的。

解析：針對該道數(shù)學證明題，由于涉及參數(shù)a，所以無法直接進行量化證明，尤其是所要證明的不等式比較復雜，此時可以采取常規(guī)分析法，按照“要證明……只需要證明……”的分析思路，逐步簡化證明問題，最終達到證明該問題的目的。

二、綜合知識法及應用

證明題一般都表現(xiàn)為數(shù)學知識綜合性比較強的題目，尤其是在某些涉及龐大信息量的綜合性數(shù)學證明題中，許多學生在面對這些證明題的時候可能會感覺無從下手，不知道該如何證明，無法有效地消化題目中的關鍵信息，所以教師要注意引導學生緊密地結合證明題中給定的結論，找出滿足結論存在的具體條件，之后通過層層論證和分析，逐步簡化證明題的證明目標，最終通過利用分析所得到的各種結論與已知條件，分析與判斷所證明命題結論成立中還需要滿足何種條件，必要的時候可以配合輔助線添加，以此深化學生對相關問題的理解和認識。綜合知識法應用中最為常用的一種論證方法就是“三段式”演繹方法，具體就是結合題目條件開展順序推理論證，或者是找尋證明題中題干上的“因”，并通過相關的“果”導入來進行證明。通過從已知狀態(tài)向未知邏輯方向過渡，借助推導分析來得出最終的結論。在實際的證明過程中，可以借助“→”或“∵”“∴”等相關符號加以標識。

例2：已知參數(shù)x、y 和z 都為實數(shù)，且它們互不相同，求證：x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）。

解析：通過引導學生仔細地觀察這道證明題的題干信息，可以發(fā)現(xiàn)該道例題是代數(shù)不等式證明題，且其中包括等式x4+y4+z4，結 合相應 的不等 式定理 可知：x4+y4≥2x2y2，y4+z4≥2y2z2和x4+z4≥2x2z2，又因為x ≠y ≠z，所以可知上面三個式子中有一個公式是無法取得等號的，最終必然會得到x4+y4+z4＞x2y2+x2z2+y2z2，而又由于x2y2+y2z2≥2xy2z，，x2z2+y2z2≥2xz2y，所以可以相應地推導出x4+y4+z4＞xyz（x+y+z）。

在證明該道題目中，學生需要通過仔細地觀察和了解題干信息，靈活地運用x4+y4≥2x2y2這個經(jīng)典的公式，結合已知條件和待證明結論即可得到證明的結論。因此，在平時的教學中，教師要注意引導學生注重對不同問題間的聯(lián)系進行仔細觀察，靈活地運用順推或逆推等方式來求解證明題，如面面垂直證明的時候要靈活地采取線線垂直、線面垂直等條件。

三、反向證明法及應用

反向證明法就是所謂的反證法，本質上是一種間接證明法。針對某些證明題，如果無法從證明進行直接推導，那么可以先假定結論是正確的，然后通過推理論證，導出和題目中已知條件或者已經(jīng)證明的命題相矛盾的情況，以此反推出最初的假設證明是錯誤的，這樣就可以反證出結論是正確的。

例3：已知在區(qū)間（0，1）上存在三個參數(shù)a、b 和c，試求證在（1-a）b、（1-b）c 和（1-c）a 三者中，最少有一個。

解析：針對該道練習題，由于給定的都是未知參數(shù)，所以學生無法直接進行量化證明，此時教師可以引導學生采取反證法，反面證明問題。首先假定這三個式子都ffffef，那么就非常容易進行表達。由于0＜a＜1，所以可知1-a＞0，結合已經(jīng)證明的不等式結論，可以便捷地得出同理可以得到b 和c 的式子。通過將這三個式子累加，最終結論與最初的假設矛盾，所以可以證明原命題是成立的。

總之，科學的解題法是提升證明題解題的質量與效率的重要保障。為了順利地解決數(shù)學證明題，可以從靈活地選擇和應用常規(guī)分析法、綜合知識法和反向證明法等入手，科學制定解題方案，最終可以達到提升解題有效性的目的。