具脈沖馬爾可夫跳中立型時滯神經網絡事件觸發狀態估計

王 霞， 鐘守銘， 施開波

(1.電子科技大學 數學科學學院， 四川 成都 611731；2.成都大學 信息科學與工程學院， 四川 成都 610106)

0 引 言

近年來，基于神經網絡在人工智能與機器學習等領域的廣泛應用[1-2]， 學者們對神經網絡進行了深入研究，并在時滯中立型、脈沖中立型、脈沖時滯中立型和馬爾可夫跳時滯中立型神經網絡等方面取得了豐富的成果[3-8].然而，目前， 針對脈沖馬爾可夫跳時滯中立型神經網絡[9]方面的研究仍少見報道.事實上， 如果在系統存在內部干擾時神經元僅有部分信息能傳輸出來， 那就有必要對持續的輸出測量進行精確估計.此外，由于系統的傳輸寬帶有限， 在采樣數據時引入事件觸發機制可以增大傳輸率， 因此， 時滯脈沖馬爾可夫跳神經網絡[12]、憶阻神經網絡[13]和離散時間多重神經網絡[14]等各種系統引入事件觸發器都獲得了很好的研究效果.但是至今很少有關于脈沖馬爾可夫混合時滯中立型神經網絡事件觸發估計的研究報道.基于此，本研究分析了具脈沖馬爾可夫跳中立型時滯神經網絡的事件觸發狀態估計， 基于Lyapunov-Krasovskii泛函和脈沖理論，利用詹森不等式、倒凸不等式、自由權矩陣和區間分割等技術， 給出并證明了增廣系統指數穩定的充分條件， 同時通過數值算例驗證了所提出結論的有效性.

1 系統描述

記號為了簡便，本研究中的Rn和Rm×n分別表示n維歐幾里德空間和m×n維實矩陣，實對稱矩陣Q>0表示Q是一個正定矩陣，I和O分別代表適當維數的單位矩陣和零矩陣，diag{…}代表塊對角矩陣，在對稱塊矩陣中*表示相應的對稱項，其中Sym(X)=X+XT，‖·‖代表矢量的歐幾里德范數或者矩陣的譜范數，λmax(P)和λmin(P)分別表示矩陣P的最大特征值和最小特征值.

下面考慮帶有混合時滯、脈沖和馬爾可夫跳變參數的中立型神經網絡系統，

(1)

式中，x(t)=(x1(t),x2(t),…，xn(t))T∈Rn是神經網絡狀態向量；y(t)∈Rm是測量輸出；A(ρt)=diag{a1(ρt),a1(ρt),…，an(ρt)}為正定對角矩陣；

P{ρt+Δ(t)=s|ρt=}

(2)

下面引入事件觸發機制，下一個觸發時刻定義為，

σxT(tk-1+lr)Φx(tk-1+lr)}，

其中，θk-1(t)是當前狀態x(tk-1+lr)與上一狀態x(tk-1)的誤差狀態，k,l=1,2,…，r為采樣周期，矩陣Φ>0和常數σ>0.定義，

由此可知，0≤τ(t)≤r,事件觸發條件可描述為，

(3)

=C(ρt)x(tt-1),t∈[tk-1,tk)，k=1,2,….

(4)

A(ρt=)=A，K(ρt=)=Kt，

J(ρt=)=J，B0(ρt=)=B，

B1(ρt=)=B，B2(ρt=)=B，

B3(ρt=)=B.

(5)

(6)

N=(I0)，j=NTJ，

假定1離散時間時滯r(t)、分布時間時滯h(t)和中立時滯σ(t)分別滿足以下條件，

其中ζ1、ζ2是實數，且ζ1≠ζ2.

定義1 若存在正常數ε和β>1，且滿足關系式，‖ζ(t)‖≤βφe-εt，則系統稱為指數穩定的，ε為其指數收斂率.其中，φ為系統的初始條件，且，

2 主要結果

本研究通過構造一個合適的Lyapunov-Krasovskii函數，首先假設反饋獲得矩陣K是已知的，內部輸入向量J=0,得到增廣系統指數穩定的充分條件，其中定義如下符號：

ei=(0n×(i-1)n,In×n，0n×(34-i)n)T，i=1～34，

fT(Nζ(t-r1))fT(Nζ(t-r(t)))×

(7)

(8)

這里，

Ω=diag{Ω1,Ω2},Ωi=diag{-Ti,-3Ti}，i=1,2

χ1(t)=(ζT(t)fT(Nζ(t)))T

證明構造合適的Lyapunov-Krasovskii泛函，

其中，

v1(ζ(t),ρ(t),t)=e2εtζT(t)Pζ(t)

v2(ζ(t),ρ(t),t)

v3(ζ(t),ρ(t),t)

v4(ζ(t),ρ(t),t)

v5(ζ(t),ρ(t),t)

v6(ζ(t),ρ(t),t)

v7(ζ(t),ρ(t),t)

v8(ζ(t),ρ(t),t)

(9)

由式(3)可得，

=e2εtζT(t)Γ9ζ(t)≥0

(10)

從假定2可知，對于任意合適維數的正定對角矩陣Λ1和Λ2，神經元激活函數滿足.

2e2εt[-ζT(t)F1Λ1ζ(t)+ζT(t)F2Λ1f(ζ(t))+

fT(ζ(t))F2Λ1ζ(t)-fT(ζ(t))Λ1f(ζ(t))]

=e2εtζT(t)Γ10ζ(t)>0

(11)

2e2εt[-ζT(t-r(t))F1Λ2ζ(t-r(t))+

ζT(t-r(t))F2Λ2f(ζ(t-r(t)))+

fT(ζ(t-r(t)))F2Λ2ζ(t-r(t))-

fT(ζ(t-r(t)))Λ1f(ζ(t-r(t)))]

=e2εtζT(t)Γ11ζ(t)>0

(12)

式中，

fT(ζ(t))=(fT(Nζ(t)) 0)T,

fT(ζ(t-r(t)))=(fT(Nζ(t-r(t))) 0)T.

對于增廣系統和任意合適維的矩陣P，式(13)成立，

Wf(N(ζ(t)))+Wf(N(ζ(t-r(t))))+

=e2εtζT(t)Γ12ζ(t)

≥0

(13)

(t)‖2成立，最后可以得到，

故根據定義1知道增廣系統是指數穩定的.

以下部分主要是為了得到增廣系統指數穩定的充分條件，同時通過MATLAB線性矩陣不等式工具箱求解反饋獲得矩陣K和設計的事件觸發器矩陣Φ，其中，

(14)

(15)

這里，

其余的符號表示和證明過程均同于定理1.

3 數值算例

本研究將給出一個數值算例并用MATLAB線性矩陣不等式工具箱驗證了定理2提出的結果的有效性，同時可解得反饋獲得矩陣.在算例中，考慮含2個馬爾可夫跳模態的二階脈沖中立型時滯神經網絡系統相關參數為：

C2=(0.7 0.3)，I=diag{1,1,1,1},

Hk=-0.4I，F=0.5I，F1=0.05I，F2=0.3I

表1 不同的μ值可取的最大時滯上界r2

當r2=1.817，且μ=1.2時，得到事件觸發矩陣和反饋獲得矩陣如下，

圖1馬爾可夫過程

4 結 語

本研究探討了具脈沖和混合時滯的馬爾可夫跳中立型神經網絡的狀態估計，采樣時引入事件觸發傳輸機制，并基于Lyapunov-Krasovskii泛函和脈沖理論，利用詹森不等式、倒凸不等式、自由權矩陣和區間分割等技術，給出了增廣系統是指數穩定的充分條件.同時，通過數值算例驗證了所提出方法的正確性.