基于磁共能重構的電勵磁同步電機分布參數建模方法

尹 星,鐘再敏,周水華,李俊杰

(同濟大學 汽車學院,上海201804)

0 引 言

電勵磁同步電機(以下簡稱EESM)由于其功率因數可調、過載能力強、效率高等特點[1],現被廣泛應用在車用電驅動系統中。準確的電機模型是車用電機精確控制的前提,然而,電機在運行過程中,由于其非線性特性與諧波特性,難以得到準確的電機數學模型。

傳統的基于集中參數的電機數學模型,是在假設氣隙磁場呈正弦分布和不考慮轉子鐵心飽和的情況下,得到了較為簡潔的電機數學模型。但其忽視了電感參數會隨著空間位置發生變化的情況,不能準確描述電機運行過程中的非線性特性和諧波特性,難以實現對電機的精確控制[2]。

為精確考慮電機運行過程中的諧波和非線性特性,實現對電機磁場情況的準確描述[3],本文研究了一種基于磁共能重構的EESM分布參數建模方法。由于EESM存在轉子勵磁繞組,與永磁體勵磁的永磁同步電機相比,其需要更多的參數來表征磁共能在空間上的分布情況,主要體現在分布參數矩陣Ck的維度上;同時,轉子側變量的引入,使得整個分布參數建模方法較永磁同步電機更復雜,但其整體建模思路與永磁同步電機類似。

首先,根據磁共能在轉子位置θr及轉矩角β兩個維度上的周期性,運用二維傅里葉級數展開及二元多項式擬合,得到了以分布參數矩陣Ck表示的磁共能模型;然后,根據所重構的磁共能模型,建立相應的轉矩、磁鏈以及定子電壓解析模型;最后,通過在變工況情況下進行的準確性驗證,證明了所建立的分布參數電機模型在描述電機轉矩、磁鏈諧波特性方面的準確性,為基于模型的電機控制提供了理論基礎。

1 基于有限元數值分析的磁共能重構模型

1.1 EESM有限元模型仿真

為實現對電機磁場情況的準確描述,有限元數值分析(以下簡稱FEA)被廣泛應用于電機設計中。本文以某款EESM為研究對象,建立其FEA仿真模型,一方面通過FEA仿真獲取其在各個不同工況點下精確的磁共能數值,并用于后續的重構磁共能建模;另一方面通過FEA仿真所得的電磁轉矩、磁鏈及電壓數值解,可對所構建的EESM分布參數模型的準確性進行驗證。建立四分之一EESM有限元模型,如圖1所示,相關設計參數如表1所示。

表1 EESM相關設計參數

圖1 二維EESM四分之一FEA模型

本文利用Maxwell軟件可直接獲得電機磁共能數據,對于其他有限元軟件,磁共能數據可能不能直接獲得。因此,可以依據式(1),由定子d-q軸磁鏈及轉子勵磁等效磁鏈積分獲得磁共能數據。

1.2 磁共能的二維傅里葉級數展開

對于Y型繞組連接的電機,在三相對稱正弦電流激勵下,d-q軸磁鏈中僅含有6、12、18、24等6k次諧波[4-5]。根據磁鏈積分可得磁共能數據,易推得EESM的磁共能也僅含有6k次諧波。

圖2展示的是定子電流Is=10 A,轉子勵磁電流Ir=3 A時磁共能的分布圖。圖2(a)表示的是磁共能在θr與β兩個維度上的分布圖,圖2(b)為固定θr下,磁共能隨著β值的變化結果,圖2(c)則為固定β下,磁共能值隨著θr的變化結果。從圖2中可以看出Wc在β及θr維度上均具有周期性,且其基波周期分別為2π與π/3。

圖2 EESM磁共能數值解分布圖

因此,根據Wc在θr及β兩個維度上的周期性,對特定(Is,Ir)下的所有磁共能數值解Wc(θr,β)進行二維傅里葉級數展開,如下:

式中:Gm1,m2為當θr及β維度的階數分別為m1與m2時所對應的傅里葉級數系數;ωθ為磁共能在θr維度上的角頻率;ωβ為磁共能在β維度上的角頻率。

對于真實的電機系統,其磁共能主要集中在其基波及低次諧波中,因此,式(2)中的傅里葉級數階數可以縮小到有限次。改進后的磁共能表達式如下:

式中:N1及N2分別為設定的磁共能在θr及β維度上傅里葉級數的最高階次。

1.3 傅里葉系數的二元多項式擬合

式(3)僅能描述Is,Ir為固定值時磁共能隨θr及β的變化規律,但不能表述出磁共能隨Is和Ir的變化規律。實際電機運行過程中,當Is和Ir增加時,EESM的磁飽和程度會加劇,從而導致電機電磁特性及磁共能隨θr及β的變化規律發生改變。在此,通過描述傅里葉級數系數Gm1,m2隨Is,Ir的變化,即可表征Wc隨Is,Ir的變化規律。

為了將 Gm1,m2表示為 Is,Ir的函數 Cm1,m2(Is,Ir),同時考慮到電機運行時復雜的非線性特性,本文將其形式選為Is,Ir的高階二元多項式,如下:

式中:N3為所選擇的二元多項式最高階次。此時,Wc與Is,Ir的關系可表示:

將各個Cm1,m2(Is,Ir)函數合并到一個矩陣函數C(Is,Ir)。同時,為簡化表達式,將各階傅里葉級數記為向量的形式:

最終,重構的磁共能表達式如下:

該表達式由三部分組成,其各自表征了Wc在(Is,Ir),θr及 β四個維度上的變化規律。其中V(θr)為在θr維度上選取的傅里葉級數基底,其最高階次為N1,其可描述的θr維度上的最高次諧波為6N1次;U(β)為在β維度上選取的傅里葉級數基底,其最高階次N2同樣代表著在β維度上描述磁共能諧波的能力;C(Is,Ir)為描述磁共能隨(Is,Ir)變化的矩陣函數,該矩陣函數元素為二元多項式,各不同項前面的系數Cij為維數為(2N2+1)×(2N1+1)的矩陣。在本文中將Cij稱為“分布參數矩陣”。實際應用中,可依據電機本身的特性及應用需求合理調整二維傅里葉級數或多項式擬合的維度大小,以保證模型的準確性與復雜性之間的平衡。

2 基于重構磁共能的EESM分布參數電機模型

2.1 電磁轉矩模型

根據虛位移原理[6],利用重構的磁共能對轉子位置求偏導,可得電磁轉矩的表達式:

式中:

最終,代入各表達式,可得基于分布參數模型的電

磁轉矩解析模型:

式中:

2.2 磁鏈模型

磁共能對定子d-q軸電流的偏導,即為d-q軸等效繞組上交鏈通過的磁鏈,以 d軸電流為例,其對應的定子磁鏈ψd與所重構磁共能之間的關系如下:

式中:

整理可得d軸定子磁鏈解析表達式:

同理,可得q軸定子磁鏈解析表達式:

轉子磁鏈ψf可由磁共能Wc對Ir求偏導得到:修正為

Ir的幅值由外界激勵給定,與Is,β,θr無關,即有,代入可得轉子磁鏈解析表達式:

式(15)和式(16)的分母中均含有Is項,當定子電流激勵為0時,C(Is,Ir)中的C0j項會使磁鏈的計算結果無窮大。而C0j項表征的是轉子勵磁線圈本身自感產生的磁共能,該部分磁共能并不會在dq軸等效繞組中產生磁鏈,即其不會影響d-q軸磁鏈的變化。

2.3 電壓方程

由定子磁鏈解析模型可得M-T同步旋轉坐標系下的定子磁鏈:

M-T同步坐標系下的磁鏈表達形式要比d-q同步坐標系下的磁鏈表達式簡單,因此下文將基于M-T同步旋轉坐標系來建立EESM的電壓方程。由定義可知,電流矢量Is在M軸上的分量即為定子電流矢量幅值Is,而在 T軸上的分量為0,即iM=Is,iT=0。可得M-T同步坐標系下定子側的電壓矢量方程:

代入之前獲得的磁鏈解析模型,整理可得M-T坐標系下的定子側電壓方程解析模型:式中:

同理,轉子側電壓方程的矢量形式可表示:

代入轉子磁鏈解析模型,可得轉子電壓方程解析模型:

3 分布參數模型與FEA比較

為了驗證所建立的EESM分布參數模型的準確性,在定子為諧波電流激勵和轉子電流變化時對比分布參數模型與FEA模型的結果。仿真時,在定子三相電流中加入5、7次諧波,如圖3所示。

同時,轉子電流也不再設為恒定值,而是加入一個正弦波擾動,轉子電流Ir=Ir0+Ir1cos(2πft),仿真時,設置Ir0=2 A,Ir1=0.1 A,f=50 Hz,轉子電流激勵如圖4所示。

圖4 轉子電流激勵

圖5 為所建立的分布參數電機模型與FEA模型的比較結果,包括磁共能、轉矩、定子d-q軸磁鏈、轉子磁鏈、定子M-T軸電壓和轉子電壓的對比。

從圖5中可看出,分布式參數電機模型得到的各數據結果同FEA所得結果之間的吻合程度較高,基本證明了所建立的EESM分布參數模型可以充分描述電機在各種工況下的運行狀態,為基于模型的電機控制提供了理論基礎。

圖5 Is=10 A,Ir=2 A,β =135°時分布參數模型與有限元模型的對比結果

4 結 語

本文利用FEA所得電機的磁共能數據,利用二維傅里葉級數展開和多項式擬合對磁共能數值解進行了重構,獲得了EESM的分布參數電機模型。經對比驗證,所構建的分布參數電機模型與FEA所得數據具有良好的一致性,證明了分布參數電機模型能充分描述電機在運行過程中的非線性特性與諧波特性,對基于模型的電機控制技術有重要的參考價值。