考慮驅動器參數的混合式步進電動機精細化模型

李聽斌,李卓航,朱 亮,朱加貝,章 懰,杜一東,戚振亞,周奇慧,吳立建

(1.中國電子科技集團公司第二十一研究所,上海200233;2.浙江大學電氣工程學院,杭州310027)

0 引 言

步進電動機是一種開環控制、精確定位的電機,在工業中有著不可替代的作用。步進電動機控制系統采用開環控制,對于硬件和軟件的要求較低,但是開環控制會造成步進電動機的各種控制問題,如失步故障、越步故障等。建立一個精確的步進電動機系統模型對于分析步進電動機運行性能,改進步進電動機控制算法具有重要意義。

步進電動機系統包括步進電動機本體、步進電動機驅動器和控制器三大部分。在傳統的步進電動機建模中,針對步進電動機本體建模做了很多工作,文獻[1]對多相混合式步進電動機做了線性解析,沒有考慮鐵心飽和對電機參數的影響。鐵心飽和造成的電機參數非線性特性對于電機性能影響較大,為了提高步進電動機模型的精確性,文獻[2-4]將電機中的電感和電勢系數等參數的非線性特性引入電機模型中,推導出了比較完善的非線性電感和電勢系數公式。在此基礎上,文獻[5]建立了二相混合式步進電動機本體的非線性模型,但需要獲得的參數量較多,且對較難獲得的電感參數依賴性較大。此外,在步進電動機驅動器中,功率器件的開關方式、導通電阻以及續流二極管對步進電動機的運行性能具有重要影響。文獻[6]研究了步進電動機系統線性仿真模型,建立了混合式步進電動機與驅動器的耦合模型,該模型參數為常數,精確度較低。

本文建立了一種考慮驅動器參數的兩相混合式步進電動機精細化模型,包括混合式步進電動機本體模型以及兩相的驅動器模型。在混合式步進電動機本體模型中,充分考慮了鐵心飽和造成的非線性影響,獲得受電流影響的電感參數、旋轉電壓系數和轉矩系數,并將這些系數的非線性特性用衰減系數表示,簡化了電壓平衡方程與轉矩方程。電機參數可以用解析法、有限元法或實驗法等方法得到。同時考慮了旋轉電壓等系數的高次諧波,進一步提高模型精確度。本文考慮了驅動器中的功率器件導通電阻和二極管壓降對電機運行性能的影響,結合了步進電動機本體模型和驅動器模型,將步進電動機建模從步進電動機本體擴展到步進電動機系統。并考察步進電動機系統中的參數敏感度,分析參數對模型精確度的影響,通過實驗與仿真結果對比,驗證了模型的精確性。

1 步進電動機建模

1.1 電壓平衡方程與機械方程

本文研究的步進電動機為兩相混合型步進電動機,該電機磁場由轉子上的永磁體和定子電樞電流產生,其電壓平衡方程可表示[5]:

式中:ua和ub分別為A相和B相繞組的相電壓;ia和ib分別為A相和B相繞組的相電流;ψa和ψb分別為A相和B相繞組的磁鏈;Rs為相電阻;Lsa和Lsb為A相和B相繞組自感;Lm為兩相之間的互感;ea和eb分別為A相和B相繞組的旋轉電壓。磁鏈和旋轉電壓的表達式如下[5]:

式中:ψaa和ψbb分別為A相和B相繞組的自感磁鏈;ψab和ψba為A相和B相繞組之間的互感磁鏈;ψfa和ψfb為A相和B相繞組匝鏈的永磁磁鏈。

旋轉電壓包括永磁磁鏈產生的反電動勢以及電感隨轉子位置角變化導致的繞組磁鏈變化產生的電勢。由旋轉電壓、相電流和轉速計算可以得到電磁轉矩:

式中:Pem為電磁功率。

步進電動機機械運動方程可以表示為如下形式:

式中:Tem為電磁轉矩;Tc為自定位力矩;TL為負載轉矩;Tf為摩擦力矩;kd為阻尼系數;θ為轉子機械位置角;ω為轉子機械角速度;θ0為轉子初始位置角。轉子位置的零位定義為A相繞組單相通電時轉子的平衡位置。

由于電機鐵心的飽和效應,當電機繞組電流變化時,電感、旋轉電壓和電磁轉矩會呈現出非線性變化。為了考慮電機參數的非線性特性,提高模型的精確性,本文用衰減系數表示這些參數的非線性特性,衰減系數可通過解析法、有限元法或實驗法得到。為了方便起見,本文采用了實驗測量的方法得到衰減系數。

1.2 電感非線性

在步進電動機的非線性分析中,電感可以視作繞組電流和轉子位置角的函數,其中鐵心飽和引起的電感非線性可由衰減系數kL來表示。因此,電感可以表示為衰減系數與線性電感的乘積:

式中:Lsa為A相自感;kLa為A相自感衰減系數;θe為轉子位置的電角度,與機械角度θ關系如下:

式中:Nr為轉子齒數。

1.2.1 電感與轉子位置角的關系

本節分析電感與轉子位置角的函數關系,得到不考慮鐵心飽和效應時的電感表達式。

運用磁網絡模型法,忽略氣隙磁導的2次及以上高次諧波分量、定子極間漏磁以及繞組端部漏磁,可得不考慮非線性特性時兩相混合式步進電動機的自感[8]:

式中:N為繞組匝數;Λ0和Λ1為氣隙磁導的直流分量和基波分量幅值;ks表示轉子位置角為0時,A相作用在軸向勵磁回路的系數,其表達式[8]:

式中:Λm為永磁體內部磁導。

B相自感與A相自感幅值相同,但在相位上滯后A相90°電角度。B相自感表達式如下[8]:

步進電動機的相間互感可表示為如下形式[8]:

混合式步進電動機由于轉子上有軸向充磁的永磁體,A相繞組電流引起隨轉角變化的軸向磁通分量,在永磁體內部磁阻上的磁壓降,相當于加在各磁極支路上的去磁磁勢。在B相磁極支路中產生了磁通分量,體現了B相與A相繞組的磁耦合和互感[8]。由于兩相存在磁耦合,在下文分析衰減系數的時候都需要考慮鄰相電流的影響。

在建立自感的解析表達式時,由于忽略了氣隙磁導的高頻分量,所得自感由直流分量和基波的二倍頻分量組成。固定B相電流為0,變化轉子位置角,采用法可以得到對應轉子位置角下的不同A相電流的自感值,當A相電流為0時,可以得到自感隨轉子位置角的變化關系,如圖1所示。實測自感含有2次以上高頻諧波分量。對比之前的理論推導,對實測自感值做傅里葉分解,只保留自感的基波和2次諧波分量。

圖1 A相自感隨轉子位置角的變化

1.2.2 電感與電流大小的關系

當A相電流較小時,鐵心的飽和程度較低,鐵心磁導率隨A相電流變化不明顯,因此A相自感基本不變。當A相電流較大時,鐵心飽和程度增加,鐵心磁導率明顯減小。由于永磁體磁場存在,在不同轉子位置角,A相電流對磁路的影響表現為去磁效應或增磁效應,對電感的影響也不相同。由式(7)可知,不同相電流下得到的實測電感值與相電流為0時的電感值之比為對應相電流下的電感衰減系數。圖2為B相電流為0時,轉子位置角與A相電流對電感衰減系數的影響。

圖2 轉子位置角對電感衰減系數的影響

通過前面的分析可知,B相電流會影響A相電感衰減系數,以轉子位置角θ=0.9°時為例,圖3為B相電流對A相電感衰減系數的影響。在不同的B相電流下得到轉子位置角和A相電流的影響,可以得到綜合的電感衰減系數kL(ia,ib,θ)。

圖3 B相電流對電感衰減系數的影響

由于繞組結構的對稱性,B相自感波形與A相自感波形相同,但在相位上滯后A相90°電角度,對應A相繞組的自感衰減系數,可以得到B相繞組的自感衰減系數。

1.3 旋轉電壓與電磁轉矩非線性

1.3.1 無電樞反應的旋轉電壓與電磁轉矩系數

由電壓平衡方程可知,步進電動機的旋轉電壓與轉子轉速之間存在如下關系:

式中:ke為步進電動機旋轉電壓系數,該系數是轉子位置角θ的函數。

另一方面,由式(4)可以得到:

式中:kt為步進電動機的轉矩系數,與轉子位置角θ有關。

對比式(13)和式(14)可知:

恒定轉速下的空載旋轉電壓與對應轉速的比值為空載旋轉電壓系數,空載時相電流為零,旋轉電壓等于永磁磁鏈產生的反電動勢。該空載旋轉電壓系數不僅包括了旋轉電壓的基波分量,還包括高次諧波分量,如圖4所示。

圖4 旋轉電壓系數

1.3.2 有電樞反應的旋轉電壓與電磁轉矩系數

空載運行時,電機繞組匝鏈的磁鏈為永磁磁鏈;負載運行時,電機繞組匝鏈的磁鏈還包括電樞反應磁鏈。負載運行時,隨著電樞電流的增大,電機鐵心的飽和程度增加,鐵心磁導率減小,繞組磁鏈減小,進而導致旋轉電壓減小,旋轉電壓系數和轉矩系數衰減。因此,需要分析電機鐵心飽和引起的旋轉電壓與電磁轉矩系數變化。

本模型引入衰減系數kα(ia,ib)來表示電機繞組電流對磁鏈的影響,負載運行時的繞組磁鏈可由空載磁鏈與衰減系數的乘積表示:

式中:Ψfa0為空載永磁磁鏈。因此,負載運行時的旋轉電壓系數:

式中:ke0為空載旋轉電壓系數。由于衰減系數的幅值和波動較小,可以忽略衰減系數的偏導項,式(17)可進一步簡化:

相應的,電機的轉矩系數可表示:

式中:kt0為空載電磁轉矩系數。

由式(14)可知,當B相電流ib等于0時,如果不考慮鐵心的飽和效應,電機的電磁轉矩:

當考慮鐵心飽和效應時,電機的電磁轉矩可表示:

因此,衰減系數可表示:

當B相電流為0時,實驗測得電磁轉矩隨A相電流的變化如圖5中的實線所示。由于鐵心的飽和效應,電磁轉矩隨A相電流的增大而增大,但轉矩的增長率逐漸減小。

當A,B兩相電流都為0時:

其中:

因此,圖5中實測轉矩-電流曲線在電流等于0附近的斜率約等于空載轉矩系數。由該斜率與A相電流相乘可得不考慮飽和效應時的線性擬合轉矩-電流曲線,如圖5中虛線所示。由式(22)可知,在同一電流下,實際轉矩與線性擬合轉矩的比值即為衰減系數。

圖5 鐵心飽和對電磁轉矩的影響

通過上述過程得到了B相電流為0時,衰減系數隨A相電流的變化。改變B相電流大小,重復上述過程,即可得到衰減系數與A,B兩相電流之間的關系,如圖6所示。

圖6 電磁轉矩與旋轉電壓衰減系數

2 驅動器精細化建模

步進電動機驅動器通常采用H橋驅動器,在本文研究的兩相混合式步進電動機中,A,B兩相繞組分別采用兩個相同的H橋驅動器進行控制,其中驅動器與A相繞組的拓撲結構如圖7所示。圖7中,M為步進電動機A相繞組,U為步進電動機A相繞組端電壓,T1～T4為驅動器功率管,在該步進電動機中采用MOSFET作為功率管,D1～D4為續流二極管。

本文所建立的驅動器模型為一個多狀態的非線性模型,驅動器模型的輸入為直流電源電壓、環境溫度、繞組電流和控制信號。驅動器模型的輸出作為電機繞組的端電壓,輸入到步進電動機本體模型中,實現驅動器模型與電機本體模型的耦合。在驅動步進電動機時,H橋驅動器存在4個工作狀態,分別為正向導通、反向導通、斷路和短路狀態,因此,需要分別建立這4個工作狀態的模型,仿真時根據驅動信號選擇具體的工作狀態。

圖7 A相繞組與H橋驅動器

2.1 驅動器4種工作狀態

本節以圖7的A相驅動器模型為例,分析驅動器模型的不同工作狀態。

當功率管T1與T4導通時,步進電機A相繞組處于正向導通的工作狀態,此時A相繞組的端電壓U可以表示:

式中:RDS為功率管導通電阻。

當功率管T2與T3導通時,A相繞組處于反向導通狀態。此時,A相繞組的端電壓可以表示:

當所有功率管斷開時,A相繞組處于斷路狀態,A相繞組端電壓等于A相繞組旋轉電壓,驅動器的輸出即為步進電動機的旋轉電壓。

當T1,T2或者T3,T4管導通時,A相繞組處于短路狀態,此時A相繞組端電壓U:

式中:Ud為二極管工作時的正向管壓降。

在所建立的驅動器模型中,功率管導通電阻RDS以及二極管正向管壓降Ud是影響步進電動機系統模型精度的重要參數,這些參數也會受到相電流的影響。

2.2 驅動器參數

2.2.1 功率管導通電阻

功率管導通電阻隨著溫度的升高呈現出非線性特性,從功率器件的數據手冊中可以查到電阻在不同工作溫度下的數值,但是功率管的實際工作溫度受環境溫度、電流大小和開關頻率等多個因素的影響,需要分析不同因素對功率管實際工作溫度影響,進而得到功率管的導通電阻。

在步進電動機中,電流的變化速度比較快,且步進電動機運行周期比較短,但是功率管溫度的變化相對緩慢,所以功率管溫度與相電流有效值有關。而步進電動機采用開環控制,功率管開關方式固定,在運行周期內的相電流平均值與控制器電流的參考值之比是恒定的,所以功率管的實際工作溫度與控制器中電流的參考值有關,可表示:

式中:Tw為功率管工作溫度;Ts為環境溫度;ia_ref為控制器中電流參考值;k為待定系數,可由控制器給定不同的電流參考值,測量功率管的實際工作溫度,得出系數k的值。

根據電流的參考值得到功率管實際工作溫度,再根據數據手冊獲得相應工作溫度時的功率管導通電阻,就可以得到電流參考值與功率管導通電阻之間的關系。

2.2.2 二極管壓降

二極管正向壓降Ud會受到二極管導通電流的影響。在驅動器處于短路狀態時,二極管導通電流等于繞組電流,實驗測得二極管正向導通壓降與繞組電流的關系如圖8所示。在仿真模型中,二極管的正向導通壓降可根據導通電流的大小和圖8曲線獲得。

圖8 二極管正向壓降與導通電流關系

3 步進電動機系統參數敏感度分析

在步進電動機模型中,電機參數發生偏移對步進電動機性能的影響即為參數敏感度。同一程度的參數變化對步進電動機影響越大,則該參數敏感度越高。步進電動機電磁轉矩大小與繞組電流有直接關系,以步進電動機繞組電流作為評估量,不加入控制算法,分析步進電動機中電阻、電感、旋轉電壓以及二極管壓降的敏感度。

通過式(1)與式(25),得到步進電動機系統在正向導通狀態下的A相繞組方程:

式中:R1=Rs+2RDS,R1為步進電動機系統在該狀態下的回路總電阻。

同理,通過式(1)、式(26)與式(27),得到步進電動機系統反向導通狀態、短路狀態下的A相繞組方程分別:

式中:R2=Rs+2RDS,R3=Rs+RDS,R2和R3為步進電動機系統在該狀態下的回路總電阻。

通過前面的分析可知,步進電動機系統方程中,繞組電感Lsa,旋轉電壓ea,二極管壓降Ud均為電流ia和ib的函數,步進電動機系統正向導通狀態、反向導通狀態和短路狀態的A相繞組方程可以分別寫為式(32)～式(34)形式:

步進電動機系統是一個多狀態的復雜系統,為了得到合適的評估方程,需要對步進電動機系統做一定簡化。電感參數是一個隨著電流與轉子位置角變化的函數,由于電感參數在不同轉子位置的變化值與電感平均值相比可以忽略,所以在敏感度分析時取電感平均值作為電感參數Lsa0。在正向導通和反向導通的狀態下,電流關于時間的微分近似為常數。

以正向導通時的電阻參數為例,當電阻偏移后:

式中:ΔR為電阻偏移值;為電阻偏移后的A相繞組電流值。

對比式(32)與式(35),可以得到電阻參數的評估方程:

同理可得電感和旋轉電壓系數的評估方程:

反向導通狀態與正向導通狀態時的評估方程相同,不予詳細討論。

A相繞組短路時,B相電流為常數,A相電流振蕩衰減,幅值較小,電流對時間的微分比正向導通小。參考正向導通敏感度分析方法,可以得到電阻、電感、旋轉電壓系數和二極管壓降的評估方程:

敏感度分析可以體現出利用衰減系數表示非線性特性的優點。采用衰減系數可以使敏感度評估方程簡潔且方便表示。表1給出了該模型中各個參數的敏感度。

由表1可見,混合式步進電動機系統模型中電流對電感系數和旋轉電壓系數的敏感度較高,其對電流的影響較大。為了提高步進電動機系統模型的精確度,需要考慮電感系數和旋轉電壓系數的非線性特性。同時,驅動器參數對步進電動機系統性能也有一定影響,考慮驅動器參數可進一步提高步進電動機系統模型的精確度。

表1 參數敏感度

4 仿真實驗對比

為了驗證步進電動機系統精細化模型的準確性,本節將精細化模型的仿真結果與考慮理想驅動器的步進電動機系統模型仿真結果以及實驗結果進行對比。其中,在考慮理想驅動器的步進電動機系統模型中,忽略了功率器件導通電阻以及二極管壓降。實驗采用的樣機參數如表2所示。

表2 步進電動機主要參數

4.1 精細化模型與理想模型對比

圖9對比了精細化系統模型仿真結果、考慮理想驅動器的步進電動機系統模型仿真結果和實驗結果。在考慮理想驅動器的步進電動機系統模型中,由于沒有考慮驅動器中功率器件導通電阻以及二極管壓降,在換相和工作模式切換時的動態響應與實驗結果相比誤差較大,轉子位置也受其影響會出現較大的振蕩。從圖9中可以看出,本文建立的精細化驅動器步進電動機系統模型仿真結果與實驗結果基本相同。

圖9 精細化驅動器模型與理想驅動器模型仿真結果對比

4.2 正常工作對比

步進電動機采取降頻起動,負載轉矩為0.21 N·m,步進電動機在正常運行20 ms后進入保持階段,保持8 ms后再次切入正常運行,此時步進電動機可以正常工作。實驗結果與仿真結果如圖10所示,可以看出,在正常運行階段步進電動機系統精細化模型與實驗結果吻合度較高。

圖10 正常工作電流與位置波形

4.3 單相電流保持

步進電動機單相電流保持時轉子的運動過程影響電機的下次起動,特別是對于頻繁起停的步進電動機,單相電流保持階段需要重點研究。圖11為該狀態下的A相電流、B相電流以及轉子位置角的波形對比圖?？梢钥闯鲈诒３蛛A段本文建立的精細化仿真模型的電流與位置波形與實驗結果吻合。

圖11 單相電流保持電流與位置波形對比

5 結 語

本文建立了考慮驅動器參數的混合式步進電動機系統精細化模型。首先建立了步進電動機本體的基本數學模型,通過實驗或有限元方法可以得到電機的非線性參數,在本體模型的基礎上考慮了驅動器參數的影響,從傳統的步進電動機本體建模擴展到步進電動機系統的建模。由仿真與實驗對比結果可以看出,該模型與考慮理想驅動器的步進電動機系統模型相比,在換相和工作狀態切換時的仿真精度更高,與實驗結果吻合。使用該模型可以優化步進電動機的控制算法,分析失步故障等,對步進電動機性能的研究具有重要作用。