為什么點那么難“描”

阮萍揚

中圖分類號：G633.6?????文獻標識碼：B????文章編號：1672-1578（2020）04-0178-01

建系法是解決高中理科立體幾何問題的一種有效方法，模式化也比較明顯，在完成建系和描點后，套入公式一般都可以解決問題，這類問題有較為明顯的“套路解法”，照理學生的得分率要很高，但實踐過程中筆者卻發現情況截然相反。究其原因，其中一個主要的問題是學生不會描點，為什么點那么難描？可能是一些描點的“技巧”沒有掌握好。

1.選擇合適的空間直角坐標系

例題1：如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BAD=45°，PD=2，若平面PDC⊥底面ABCD，且PD⊥DC，求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值。

解析：很多同學發現底面ABCD是菱形，對角線互相平分且垂直，因此將原點設在菱形對角線的交點O處，F是PB的中點，如圖2所示，建立空間直角坐標系。這個建系方法表面上看非常合理，卻存在致命缺陷，因為ABCD是菱形且∠BAD=45°導致求底面四個點的坐標需要用sin45°2或sin135°2來計算。系是好建了，但點卻不好描。這就給我們一個提醒，直角坐標系并不是隨意去建立的，要選擇一個合理的坐標系才能方便的描繪出所有點坐標。此題，應過點D做DE⊥AB，以D為原點，DA和DA分別為x和y軸建立空間直角坐標系，如圖3所示，這樣一來，點的描繪就容易多了，即：B（1-22，22），C（-22，22）如圖4。因此，點不好描時，考慮下，是不是換個角度去建系。

2.從空間向量角度進行描點

例題2：（2014課標1）如圖5，三棱柱ABC-A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C。（1）證明：AC=AB1;（2）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值。

解析：如圖6所示建立空間直角坐標系，不妨設BC=2，這里最不好求的點是A1的坐標，它的坐標要怎么求？一般的處理方法是將A1投影到xoy平面求解，這當然可以。不過，我們也可以直接利用空間向量的一些公式求解。比如：AA1=BB1或B1A1=BA等等，就可以直接求出點A1的坐標。速度準確，并且減少了很多平面幾何的運算和思考。同樣的情況還有下面這個例題。

例題3：（2017課標2）如圖7，四棱錐P-ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=12AD，∠BAD=∠ABC=90°點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M-AB-D的余弦值。

解析：取AD中點O，如圖8建立空間直角坐標系，不妨設PA=2，這里最難的是點M坐標如何假設？有兩個方案解決：一是利用向量的共線關系PM=tPC，由PC=（0，1，-3）

PM=（xM，yM，zM-3）

，易得xM=0，yM=t，zM=3-3t，即M=（0，t，3-3t）;二是利用空間直線方程公式，可知直線PC的方程是：x=0

y1=z-3-3，點M在直線PC上，所以可以假設M=（0，t，3-3t）。得到了點M的坐標，后面的求解就容易很多。值得總結歸納的是，若點M是落在面PDC上時，我們會利用“基底”來假設點M的坐標，例如，CM=αCD+βCP，當然，基底的選擇還可以是DC和DP等，選擇是多種的。我們在平面直角坐標系，描繪點坐標的時候，會自然的用到中點公式，會注意到定比分點公式，也會用平行垂直等等結論來描點。同樣的道理，到了空間直角坐標系，我們也是有很多公式的，可以用向量，可以用共線，垂直平行，甚至可以用到空間直線和平面公式等等來描點坐標。所以，描點遇到困難時候，可以考慮，是否有空間向量的結論可以利用。

3.題目中核心信息遺漏

例題4：（2018課標1）如圖9，四邊形ABCD為正方形，E，F分別為AD，BC的中點，以DF為折痕把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF⊥BF。（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD;（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值。

解析：過點P做EF的垂線，交EF于點O，即PO⊥面ABCD。如圖10建立空間直角坐標系，設AB=2，瞬間發現，所有的坐標都很難求。這是因為有一個核心信息遺漏了！遺漏了什么信息呢？遺漏了PF⊥面PED，就有PF⊥PE！這里△EPF是直角三角形！有了這個信息，那么描點就非常容易了！這樣的命題手法非常高明，對學生來說是一個挑戰，如果沒有對信息進行再挖掘，僅僅通過表象信息去解決問題，往往無功而返耗時耗力。這給了我們一個提示，描點遇到障礙時，認真細讀題目給出的信息，對信息進行二次挖掘，把隱藏的結論揭示出來，問題便迎刃而解。

總結

建系、描點、套公式，這是立體幾何建系法的三步驟。描點成為最關鍵的一步。除了傳統的將點投影到坐標平面或投影到坐標軸外，其實，我們還有一些“小技巧”、“補充結論”和“解題經驗”來幫助建系和描點。