基于MATLAB 的鋼-混凝土組合梁截面優(yōu)化

宗廷博 董芳菲

（1.中國建筑一局（集團）有限公司， 北京 100000）

（2.西京學(xué)院土木工程學(xué)院， 陜西 西安 710123）

0 引言

近年來，鋼一混凝土組合梁結(jié)構(gòu)以其優(yōu)越的結(jié)構(gòu)形式得到了廣泛應(yīng)用，但有關(guān)組合梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化的研究僅限于截面尺寸方面的理論研究，且多采用拉格朗日乘子法[1-2]或有限元法[3]求解，文獻[1]進行撓度計算時，采用了換算截面法，沒有考慮滑移效應(yīng)對撓度的影響。文獻[4]采用折減剛度系數(shù)考慮了滑移效應(yīng)對撓度的影響，但是計算復(fù)雜，優(yōu)化程序調(diào)試繁雜，結(jié)構(gòu)優(yōu)化是實現(xiàn)“安全、經(jīng)濟、適用”設(shè)計目標的有效途徑。本文運用MATLAB 優(yōu)化函數(shù)分析了有效發(fā)揮組合梁抗彎承載力和降低截面尺寸的多目標優(yōu)化問題。并以簡化的折減剛度系數(shù)來考慮滑移效應(yīng)的影響，計算簡單，優(yōu)化程序容易調(diào)試，易于被工程設(shè)計人員掌握。

1 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

1.1 建立目標函數(shù)

組合梁的混凝土翼緣可以帶托板，也可以不帶托板。一般而言，帶托板的組合梁雖然材料較省，但托板的構(gòu)造復(fù)雜。不帶托板的組合梁施工方便。本文選取不帶托板的組合梁。優(yōu)化參數(shù)模型由圖1 所示，控制組合梁截面的設(shè)計變量為 ix（i=1，2，3，4，5，6，7，8），將設(shè)計變量寫成矢量：

圖1 鋼-混凝土組合梁截面設(shè)計

鋼-混凝土組合梁截面優(yōu)化設(shè)計的目的是滿足規(guī)范設(shè)計要求的前提下，造價最小。故取（只考慮購買材料的費用）造價高低來評價鋼-混凝土組合梁設(shè)計的優(yōu)劣，目標函數(shù)為：

式中 pc表示混凝土板的價格， ps表示鋼梁價格，l 為簡支梁的跨長。

1.2 設(shè)定約束條件

1.2.1 幾何約束條件

1）鋼梁與組合梁高度比約束

組合梁截面的高度不宜超過鋼梁高度的2.5 倍，即

2）組合梁高跨比約束

組合梁截面的高度與其跨度的比值不應(yīng)大于 l/15，

3）鋼梁截面板件的寬厚比約束

為保證鋼梁受壓翼緣不發(fā)生局部失穩(wěn)，鋼梁上下翼緣的寬厚比及鋼梁腹板的寬厚比應(yīng)滿足：

4）設(shè)計變量上下限約束

式中 xmin為設(shè)計變量的下限， xmax為設(shè)計變量的上限。

1.2.2 變形約束條件

組合梁的撓度計算采用彈性理論，施工時鋼梁下有臨時支撐，只考慮長期荷載的作用效應(yīng)。在均布荷載q 的作用下，鋼-混凝土簡支梁的撓度計算公式為：

文獻[1]進行撓度計算時，采用了換算截面法，沒有考慮滑移效應(yīng)對撓度的影響。文獻[4]采用折減剛度系數(shù)考慮了滑移效應(yīng)對撓度的影響，但是計算復(fù)雜，優(yōu)化程序調(diào)試繁雜。本文采用文獻[5]提出的建議方案進行計算。截面剛度B 可用下式表示：

式中 Ieq為組合梁的換算截面慣性矩；為剛度折減系數(shù)；荷載長期作用=0.85；

得：

(11) [f] 為容許的撓度限值，主梁為0.0025l ，次梁為0.004l 。

1.2.3 受彎承載力約束條件

受彎承載力按塑性設(shè)計方法計算。按照中和軸在混凝土翼板還是鋼梁可分為一類截面和二類截面，設(shè) x7是混凝土翼板的有效寬度。

一類截面表示塑性中和軸在混凝土翼板中通過，即

二類截面表示塑性中和軸在鋼梁內(nèi)通過，限制中和軸只在腹板通過，即

在均布荷載q 的作用下，可算得簡支梁產(chǎn)生的最大彎矩 Mmax= 0.125ql2,塑性抗彎承載力約束條件為： M >Mmax

1.2.4 抗剪承載力約束條件

組合梁的塑性抗剪承載力由腹板全部承擔(dān)，由下式計算：

其中 fvp為塑性設(shè)計時鋼材抗剪強度設(shè)計值，取0.9 fv， fv為鋼材抗剪強度設(shè)計值。

在均布荷載 q 的作用下， Vmax= 0.5ql ，抗剪承載力約束條件為：V(x)> Vmax(15)

2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

（1）一類截面優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

（2）二類截面優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

3 優(yōu)化算例

某鋼-混凝土簡支組合梁（主梁）承受20kN/m的力，計算跨度為4m，混凝土采用C20，造價為300 元/m3，鋼梁采用 Q235，造價為40000 元/m3。按完全剪力連接設(shè)計抗剪連接件，只考慮荷載的長期作用，求組合梁的最優(yōu)截面設(shè)計[6]。結(jié)果見表2 及表3.

表設(shè)計上下限

表2 一類截面程序設(shè)計優(yōu)化結(jié)果

表3 二類截面程序設(shè)計優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié)語

從計算結(jié)果看，應(yīng)用基于MATLAB 的優(yōu)化算法使得兩類截面的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型均取得很好的優(yōu)化效果，最終達到了優(yōu)化的目的，說明這種基于MATLAB 的優(yōu)化算法應(yīng)用于優(yōu)化數(shù)學(xué)模型時的有效性。

通過運用基于MATLAB 的優(yōu)化算法，實現(xiàn)鋼-混凝土簡支組合梁高效快速優(yōu)化設(shè)計，該方法在不改變鋼一混凝土組合梁性能的前提下可適當(dāng)?shù)慕档驮靸r，有利于鋼一混凝土組合梁結(jié)構(gòu)的推廣應(yīng)用。

從優(yōu)化模型的建立來看，該種方法采用在建立基本目標函數(shù)的同時，引進幾何約束條件、變形約束條件、抗剪承載力和受彎承載力等條件進行組合，再建立基MATLAB 優(yōu)化算法的優(yōu)化模型，最終得到優(yōu)化結(jié)果，優(yōu)化過程容易掌握，這種方法也容易推廣。