數學分析習題教學的探究與反思

張 婧

（伊犁師范大學數學與統計學院 新疆·伊寧 835000）

數學分析課程是以實數的連續性理論為基礎，以極限為主要工具，定量或定性地研究函數及其性質的一門數學課程。通過數學分析的教學能使學生獲得極限論、一元、多元函數微積分學與無窮級數等方面的系統知識，為學生提供了學習后繼專業課程所必須的基本理論、基本方法、基本技能，對于學生的邏輯思維能力、空間想象能力、獨立分析和解決問題的能力、以及自學能力、創造性思維能力的培養起舉足輕重的作用。此外，數學分析課程的知識與中學數學的內容聯系非常緊密，通過數學分析的學習，有利于學生將中學知識完全消化，并弄清各類知識的來龍去脈和歷史淵源，對于中學數學教學起到高屋建瓴的作用。

數學習題對于提高學生的數學思考、思維能力，提高學生的數學素養實現課程的整體教學目標都是至關重要的，而數學分析習題課建設已成為數學分析教學研究與改革的重要內容。通過習題的設計與探討，不僅能讓學生鞏固、深化所學內容，梳理知識脈絡，完善知識體系，更重要的是讓學生學會一種思維，一種方法，培養一種習慣和一種解決問題的能力。然而要想真正的培養學生的創新能力和應用意識，僅僅依靠給學生灌輸知識點讓學生大量練習是達不到目的的。最重要的是教師要探索出一個科學合理的習題課教學模式，在教學活動中通過引導學生自主思考、探索，逐漸培養學生獨立思考與解決問題的能力，培養學生的創新意識與應用意識。作者根據十幾年教學經驗及教學反思，對數學分析習題課的教學談幾點體會和認識。

1 習題教學要注重滲透思想方法

數學分析內容中體現了多種數學思想和方法，教師可以通過習題的講解與演練，將內容中蘊含的數學思想提升出來，指導學生掌握基本的或典型的數學方法。

例如在講解極限理論時，通過一些典型習題讓學生理解有限與無限的差異。清楚從有限到無限，是認識上的一次重大飛躍。這種質的差異表現在有限量之間的關系對無限量不再保持。如當x為有限數時，x+1≠x，但當x為無窮大時，x+1=x（∞+1仍為無窮大）。

在極限問題中，有一些比較典型的解題方法，可以通過習題讓學生理解掌握。

2 習題教學要注重層次性

數學對于知識點的編排是嚴格遵循著螺旋上升原則的。是根據相關教育教學理論基礎，依據學生的認知發展規律進行編排的。這就使得看似復雜毫無章法的數學知識和數學思想的建立，實際上是由淺入深，循序漸進的。這種對知識點的編排方式能使學生對復雜的數學知識逐步深入理解。并且隨著學生認知水平的不斷發展，對數學知識和數學思想的理解就更為精確。因此，教師在進行習題選擇時也要注重習題的層次，對習題做精細安排。從對知識概念理解的考察到簡單的基本題目再到拓展題目甚至是開放題，這樣一步一步的深化知識，讓學生由淺入深、逐層遞進，逐漸加強對知識點的理解與強化。與此同時，教師還要引導學生做好習題的歸納與分類。題海戰術是不可取的，習題也是層出不窮，故此要做好習題的分類整理，確保以后碰到相似題型能夠有規律可循。例如，在講解關于多元函數可微與連續的關系的習題時，可以先回顧一些一元函數的相關問題。使學生充分理解從一元函數到多元函數，不僅僅是變量數量的增加，這個數量上的變化引起了質的改變，使得多元函數的許多性質與一元函數有本質的不同。

3 習題教學要適當補充拓展

在數學分析內容中，有些構造性函數具有特殊性質，在數學發展進程中起到了很重要的作用。例如Dirichlet函數及其推廣函數。這些函數對于澄清數學分析中很多模糊概念，起到了重要作用。例如在討論函數的最小正周期問題時，學生所熟悉的三角函數通過中學學習的周期公式，很容易求出最小正周期。但對于是否所有函數都有最小正周期問題，對于初學數學分析的同學們，雖然大家直覺判斷答案應該是否定的，但如何準確分析這一問題還是存在困惑。而通過Dirichlet函數的定

4 習題教學強化錯題反思

美國心理學家桑代克認為嘗試錯誤這一現象是一種普遍存在的，這也成為人類解決問題的一種方式或途徑。但人類嘗試錯誤決非盲目，通常是有目的的。在教學中，錯誤往往可以暴露出學生對知識學習中的盲點與誤區，因而課堂和習題中的錯誤很可能成為教學中的巨大財富。習題課上教師可以利用作業中的錯題或者巧妙設計錯例引導學生進行積極地思考、探究。例如在學習了導數定義及求導運算后，會遇到一些求導數值的題目，設的值。對于這個題目，很多同學會直接對求導，即，然后帶值計算。但是，由題設條件僅在 連續，不一定可導，因此不確定是否存在，這樣計算實際上是有問題的。正確的解法是，由題設條件可知，于是根據導數定義這道題雖然兩個解法結果恰巧一致，但是卻反映了學生對可導與連續的關系以及導數定義是否做到能夠深刻理解與應用。教師對這些錯例進行分析與講解，不但有助于加強學生對基本概念的理解和論證方法的掌握，而且有助于培養學生現代數學的思想。

5 習題教學要充分發揮學生的主觀能動性

在數學分析習題教學中教師應充分調動學生學習和思考的主動性與積極性。改變陳舊的以老師主講學生記筆記的習題教學模式，采用以學生為主體，教師為主導的互動式教學模式。在教學過程中，教師充當導演的角色，指導每個學生在習題課上發揮他們的潛能。教師可以結合教學內容在習題課前先讓學生對所學內容做出小結以及整理自己在課堂內容及課后習題中的疑惑之處。教師可以通過學生所列疑問點設計習題。在習題課上教師先讓學生以小組形式先進行討論，然后每一小組選出代表在黑板上講解，必要時再由小組成員加以補充。教師在課堂上引導學生討論發言，分析解題過程，總結解題方法，同時啟發學生一題多解。教師可以將學生習題課表現和學生的平時成績結合起來，這樣不僅能促進學生學習積極性和能動性，還有助于加強學生研究問題，解決問題的能力。

6 結束語

習題教學作為課堂教學的一種形式，是教學過程中的重要環節。通過習題課教學不但能夠加深學生對基本概念和定理的認識，啟發學生深入思考，提高學生的數學素養，還能夠幫助學生養成良好的學習習慣。如何充分發揮習題課在教學環節的重要作用，不斷提升數學分析課程的教學質量，將是教師在今后教學實踐中仍需不斷探索和思考的重要課題。