一次優課比賽引發的思考
——以“傾斜角與斜率”為例談章節起始課的導入

天津市教育科學研究院 王秋月 山東省桓臺縣漁洋中學 王慧凱

筆者曾全程觀摩了一次優課比賽，內容是人教A版高中數學必修2第三章第一課時“直線的傾斜角與斜率”，十幾位教師同課異構，思維碰撞。作為一節章節起始課，如何導入才能符合課程標準的主旨，體現編者意圖，培養學生數學思維力？下面筆者結合具體案例談談由本節課的情境引發的思考。

一、展示三種形式的課堂導入

導入1：（PPT 展示圖片）同學們，這是長江斜拉大橋，一條條琴弦似的斜拉索，讓整座橋看起來如彩虹般美麗。每條拉索都是傾斜的，傾斜程度如何衡量？我們這節課來學習“傾斜角和斜率”。

導入2：（教師在平面直角坐標系中畫出一個紅色的心形圖案）這個圖形大家都認識，這是法國數學家笛卡爾寫給情人的一封情書。當時笛卡爾的信中只有一個方程r=a（1-sinθ），這個簡單的方程對應的圖形就是著名的“心形線”。笛卡爾是近代數學的鼻祖，他和費馬創立了用代數方法研究幾何問題的解析幾何。我們的解析之旅從最簡單的直線開始，本節課先來學習刻畫直線的重要元素“傾斜角和斜率”。

導入3：（PPT展示一張蜘蛛網圖片）同學們是否聽說，一張小小的蜘蛛網引發了一場數學革命。據說，數學家笛卡爾有一天躺在床上，看到一只小小的蜘蛛從東到西，從南到北，吐絲結網，忙個不停。笛卡爾以此為靈感運用坐標系將代數與幾何聯系起來，于是產生了數學一門新的分支——解析幾何。解析幾何的創立是數學發展史上的一個里程碑。從本節課開始，我們將在直角坐標系中研究直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，下面讓我們用“傾斜角與斜率”開啟解析之門。

二、界定章節起始課

章節起始課是每一章的第一課時，這節課的內容包括章頭圖、章引言以及正文第一節。章頭圖和章引言對本章內容有提綱挈領的作用，可以簡明扼要地展示本章要學習的主要內容及知識點，體現本章的數學思想和方法，幫助學生初步建立對本章的認知及知識架構，傳播與本章相關的數學文化。章頭圖是以圖片形式生動形象地展示本章蘊含的內容、方法等，直觀性強，有助于學生理解本章內容，且這些圖片通常與生活息息相關，能夠培養學生應用數學的意識，消除學生對數學的畏懼感，產生學習興趣。章引言則以文字形式簡要介紹本章涉及的知識和思想方法，讓學生對即將學習的內容、地位、作用有一個大致了解，對學生建構本章知識框架有極好的引領作用，同時這些文字通常淺顯易懂，能夠拉近學生與數學的距離。

總之，若將每一章比作一本書，章頭圖是封面，章引言是序言；若將每一章比作一部影視作品，章頭圖是劇照，章引言是劇情梗概。章節起始課既要講授每一章第一節的知識，更要講授章頭圖、章引言的內容，借此滲透數學文化，融入數學思想，幫助學生建構本章知識框架，揭示本章核心內容。

三、做好章節起始課導入設計

章節起始課在一章中有謀篇布局之功能，導入設計要做到：把握本節課在本章、本冊甚至整個高中數學中的地位及作用，了解與本節課相關的數學史、數學文化，或者生活實例，或者與舊知識之間的聯系，了解學生的知識基礎、知識需求，根據學生認知特點及知識水平設計合理的導入。因此，創設情境不失為章節起始課導入的合適方法。

（一）引用生活實例導入

數學是有用的，但是教材中體現出來的以及課堂上講授的往往是枯燥乏味的、抽象的。其實，數學中很多知識都是與生活實際緊密相連的，需要教師用心發掘生活中的例子，運用到章節起始課導入教學中。一方面是學生對新知識存在好奇心和陌生感，另一方面是學生身邊熟悉的生活實例，二者產生碰撞可以讓學生在較短的時間內融入到新課學習中，也可以讓學生產生數學就在身邊的親切感。例如：“概率”一章的章引言中就提供了很多學生身邊的例子，教師在備課時將這些實例恰當運用，或圖片，或動畫，或視頻，既能給學生留下直觀印象，又能讓學生有熟悉親切感，教師再加以引導，對提高學生學習概率的積極性大有裨益。

（二）講述數學故事導入

數學史和數學故事往往能反映出知識產生發展的過程和知識的本質，用一個與教材內容相關的合適的數學故事作為章節起始課的導入，不僅能加深學生對知識的理解，更能引起學生對知識探究的興趣，調動學生的學習積極性。例如：概率是因賭博而產生，推動概率發展的竟是一群賭徒，學生驚訝之余產生學習概率的興趣。當然，用數學故事導入新課，需要教師具備深厚的數學史功底，才能將之自如地應用到教學中。

（三）應用數學游戲導入

托爾斯泰說過：“成功的教學所需要的不是強制，而是激發學生的學習興趣。”將數學游戲作為章節起始課的導入，可以讓學生愉快地、主動地進入到新知學習中。例如：“圓錐曲線”一章講到橢圓、雙曲線、拋物線三種曲線，可以讓學生體驗這樣的游戲——課前學生以小組為單位準備一個圓錐形的蘿卜，用小刀切蘿卜，觀察得到的切面是什么形狀。學生在體驗中獲得的知識領悟會更深刻。

四、分析本課時教學地位

“傾斜角與斜率”是承上啟下的一節課。本節課開始學生將真正接觸數學的一個重要分支——解析幾何（在高中階段，解析幾何是指平面解析幾何），它是用代數方法研究幾何問題的一門學科，其核心方法是坐標法，即通過平面直角坐標系，建立點與實數對之間、曲線與方程之間的一一對應關系，用方程研究曲線的性質，用方程的解研究幾何圖形之間的位置關系。直線是平面上最簡單的曲線，“傾斜角與斜率”是刻畫直線傾斜程度的重要因素。因此，本課時既是本章的第一課時，又是學習解析幾何的第一課時，對后續學習圓錐曲線有著統領作用，其重要性不言而喻。

五、研讀本章章頭圖及章引言

本章的章頭圖有兩幅。背景圖是直角坐標系中的兩條傾斜的平行線，它們向上的方向與x軸正半軸有兩個夾角，反映的正是第一課時的內容。正圖是一架徐徐降落的飛機，它是如何準確進入著陸道的呢？飛機的著陸系統能夠通過地面上的方位臺和仰角臺發射的信號準確定位而著陸，這里的“準確定位”正是數學中的坐標。兩幅圖既蘊含著本章要學習的內容，又揭示了本章的核心方法——坐標法。

本章的章引言有兩部分。一部分跟章頭圖放在一起，點出直角坐標系使幾何研究進入新時代，方程是直線的“翅膀”，體現用代數方法研究幾何問題的核心思想。另一部分放在章節目錄下，簡要介紹了坐標法是解析幾何最基本的研究方法、解析幾何的創立及其在近代數學中的地位、本章將要學習的內容，滲透了本章的核心數學思想，彰顯了本章數學文化，初步建構了本章知識框架。

六、分析三種導入之異同

三個導入都采用情境導入法，引領學生直觀感知本節課的教學內容。“導入1”用斜拉索大橋的圖片展示“傾斜”，在視覺上給學生直觀刺激；“導入2”用平面直角坐標系中的心形圖形及娓娓道來的數學家的浪漫故事引出解析幾何，在視覺和聽覺上給學生刺激；“導入3”用蜘蛛網圖片與解析幾何的產生發展歷史引出要學習的內容，在視覺、聽覺及思維上給學生刺激。

三個導入又各自不同。從教材角度來看，“導入1”中圖片顯示的內容與本節課知識點是相符的，這樣的導入是可行的，不足在于沒有認識到章節起始課的作用；另外兩個導入都考慮到了本節是章節起始課，領悟到了教材編者的意圖，與教材主旨是接近的。從學生認知的角度來看，“導入1”對為什么學習“傾斜角與斜率”沒有作出預設，多數學生可能會“知其然不知其所以然”地完成本課時的學習任務；后兩個導入明確地指出了解析幾何的產生及其在近代數學史上的地位，學生能夠“知其所以然”。從學生思維的角度來看，前兩個導入對于幫助學生建立幾何問題代數化的思維的作用是小的，“導入3”詳細講解了坐標系的產生以及坐標法在解析幾何中的重要性，學生能夠“知其何為所以然”，從而樹立“由數究形”的觀點。

總之，“導”是手段，“入”才是目的。