三維MHD方程在BMO空間中的正則性準(zhǔn)則

任玉冰， 丁丹丹, 王昌花

(1.山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 淄博 255049;2.張店區(qū)第九中學(xué)，山東 淄博 255040)

1 模型和主要結(jié)果

三維MHD方程如下

(1)

式中：u和b分別描述了流體速度和磁場；p是標(biāo)量壓力項(xiàng)；ν是粘性系數(shù)；η是磁擴(kuò)散率系數(shù)；u0和b0是給定的初始流速和初始磁場，滿足·u0=·b0=0。

三維MHD方程弱解整體存在性是已知的，但三維MHD方程整體弱解的正則性(即正則性準(zhǔn)則)是一個(gè)公開的問題。探索和研究方程(1)弱解的正則性影響因素是偏微分方程研究中的重要課題。

He等[1]獲得了關(guān)于速度場u的正則性準(zhǔn)則：

(2)

Ji等[2]證明了正則性準(zhǔn)則:

(3)

近期還有關(guān)于三維MHD方程(1)正則性準(zhǔn)則的刻畫[3-4]。

利用能量估計(jì)方法和Littlewood-Paley理論，本文進(jìn)一步研究三維MHD方程在BMO空間中弱解正則性準(zhǔn)則的刻畫。主要結(jié)果如下：

定理1 設(shè)T>0,u0,b0∈H1(R3)且·u0=0,·b0=0。假設(shè)(u,b)是方程(1)在R3×(0,T)上的弱解，并且滿足

則下面的不等式成立

注記1式(3)中q,m=時(shí)有p,l=2,即研究了，由于LBMO，從而本文的結(jié)果推廣了式(3)中的正則性準(zhǔn)則。

2 預(yù)備知識(shí)

為了定義相關(guān)空間，本文首先給出Littlewood-Paley分解理論[5]。Littlewood-Paley理論在流體動(dòng)力學(xué)方程中有重要的應(yīng)用，其中之一是頻率空間的局部化，這種局部化方法的優(yōu)點(diǎn)在于對于其Fourier變換支在球或環(huán)上的分布，可以充分利用Bernstein估計(jì)，實(shí)現(xiàn)求導(dǎo)或微分運(yùn)算的代數(shù)化。

設(shè)φ、χ分別是支集在C1、C2上的徑向速降函數(shù)類，對于傅立葉逆變換F-1，令

其中

于是定義齊次局部化算子：

下面給出幾個(gè)函數(shù)空間的定義。

定義1 Besov空間

其中

定義2 Triebel-Lizorkin空間

其中

定義3 BMO空間

(4)

由式(4)可知

(5)

下面給出本文用到的Bernstein不等式。

引理1假設(shè)1≤p≤q≤，對任意函數(shù)f有

其中C是一個(gè)獨(dú)立于f的常數(shù)。

3 定理1的證明

首先，將方程(1)中前兩個(gè)方程兩端分別與Δu,Δb作L2內(nèi)積，有

上述兩式相加可得

(6)

然后對式(6)右端四項(xiàng)分別進(jìn)行處理。 對于I，利用分部積分法可得

其中

對于I3，由不可壓條件divu=0可知?3u3=-?1u1-?2u2，從而

(7)

對于II,利用分部積分法可得

II1+II2

對于III，利用分部積分法可得

對于II2與III2，本文有

此時(shí)分別處理II1與III1。對于II1利用與I1相同的方法，可得

(8)

對于III1，利用與I1相同的處理方法，可得

(9)

由式(8)和式(9)可得

(10)

對于IV， 利用與I相同的處理方法，可得

(11)

將式(7)、(10)和(11)代入式(6)中可得

由上式可得

對于合適的整數(shù)N，有

進(jìn)一步，N滿足如下關(guān)系

可以得到

對上式從0到t進(jìn)行積分并利用Gronwall不等式可以得到

定理1得到證明。