“物不知其數”的算術求法

閆曉霞

（漢中職業技術學院 陜西漢中 723000）

我國古代著名數學書《孫子算經》中，有這樣一道名題：“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何?”這類問題一般是求滿足條件的最小數。它也是小學數學各類競賽的常見題型，在小學數學刊物或學生假期作業中，也常有“物不知其數”的求解問題。如：某校學生參加廣播體操比賽，四人一排余一人，五人一排余二人，七人一排余四人。問至少有多少人比賽?

這類問題通常用同余或不定方程求解比較簡便。但是，為了使問題能在小學數學知識范圍內得到解決，下面介紹一種算術方法，供師生參考。

一、算術求法的依據——中國剩余定理

“物不知其數”的算術求法的依據是下面的兩個定理：

定理：被除數增加(或減少)除數的倍數，除數不變，余數也不變。即：a÷b=q如果(余r)

那么(a+nb)÷b=q+n(余r)(n為整數)

定理2：被除數擴大(或縮小)幾倍，除數不變，則余數也擴大(或縮小)同數倍。

即：a÷b=q×n如果(余r)

那么(a×n)÷b=q×n(余r×n)(n 為整數)

這兩個定理也叫中國剩余定理。證明從略。

二、算術求法的步驟——中國剩余定理的應用

本文開頭的問題可譯為例1：某校學生參加體操比賽，人數除以4 余1，除以5 余2，除以7 余4，問至少有多少人參加比賽？

求解步驟如下：

①根據定理2，先求出滿足每個條件的數：

在5 與7 的公倍數中找滿足除以4 余1 的數：[5，7]=35，35÷4=8，(余3，不符合余數為1)。由定理2，(35×3)÷4=8×3(余3×3， 余 數 比 除 數 大 應 繼 續 除)(3×3)÷4=2( 余1)， 即105÷4=26(余1)，得到105 是滿足被4 除余1 的數。

在4 與7 的 公 倍 數 中 找 滿 足 除 以5 余2 的 數：[4，7]=28，28÷5=5( 余3)， 根 據 定 理2：28×4÷5=5×4( 余3×4)，3×4÷5=2(余2)，即：112÷5=22(余2)，得到112 是滿足被5 除余2 的數。

在4 與5 的公倍數中找滿足除以7 余4 的數：[4，5]=20，20÷7=2( 余6)， 由 定 理2，(20×3)÷7=2×3( 余6×3)， 而18÷7=2(余4)，即：60÷7=8(余4)，所以60 是滿足被7 除余4的數。

②根據定理1，將符合每個條件的數相加，所得的和：

105+112+60=227，就是滿足除以4 余1，除以5 余2，除以7 余4 的數。這是因為227=105+(112+60)=105+4×(28+15)=105+4×43，因為105 被4 除余1，由定理1 知277 被4 除余1。同理，277 被5 除余2，被7 除余4。

③由于算得的和未必是最小數，如果不是，應該從和中減去這幾個除數的最小公倍數的整數倍所得的差即為所求(請讀者想想為什么?);因為[4，5，7]=140，而277 大于140，于是：

277-140=137。所以參加比賽的最少人數是137 人。(其他可能的人數為137+140×n，n取自然數)。

再舉一例

例2.一個數除以3 余2，除以5 余3，除以7 余4，求滿足條件的最小數。

解：[5，7]=35，35÷3=11(余2)，

所以35 是滿足除以3 余2 的數。

[3，7]=21，21÷5=4(余1)，根據定理2，(21×3)÷5=4×3(余1×3)即63÷5=12(余3)，

所以63 是滿足除以5 余3 的數。

[3.5]=15，15÷7=2(余1)，由 定 理2，(15×4)÷7=2×4(余1×4)即60÷7=8(余4)

所以60 是滿足除以7 余4 的數。

35+63+60=158，又因為[3，5，7]=105，158-105=53，

所以53 是滿足條件的最小數。( 其他可能的數為53+105×n，n取自然數)

例3：用一輛卡車運貨物，如果每次運9 袋余1 袋，每次運8 袋余3 袋，每次運7 袋余2 袋，這批貨物至少有多少袋?

根據以上步驟，很容易解決這個實際問題。（答案：163 袋)

三、結束語

通過以上例子，我們總結出了“物不知其數”問題的算術求解方法，避開了同余或不定方程求解，使得該類問題能在小學數學知識范圍內得到解決，也是中國剩余定理在生活中的一個具體應用[1-3]。