無人機機載相機曝光時刻攝影中心三維坐標高精度插值算法研究

庫新勃,鄧巖,高曉,唐新莊

(1.中國電力工程顧問集團西北電力設計院有限公司,陜西 西安 710032; 2.中水北方勘測設計研究有限責任公司,天津 300222)

0 引 言

隨著測繪高新技術的快速發(fā)展,傳統(tǒng)的測繪行業(yè)正迅速向地理信息產業(yè)轉化[1],基礎測繪的生產主體已發(fā)生革命性變革,衛(wèi)星遙感測量與航空攝影測量將成為地理信息的主要獲取方式[2-5]．較之傳統(tǒng)的遙感測量與大飛機航測,無人機具有成本低、靈敏度高、機動性好、運輸方便等優(yōu)點,已逐漸發(fā)展成為航空攝影測量的重要手段[6-7]．無人機定位定向系統(tǒng)(POS)集相位差分全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)(GNSS)技術與慣性導航系統(tǒng)于一體,可高精度獲取航攝像片的位置元素與角度元素[8],為無人機高精度測圖提供了作業(yè)基礎．

由于無人機常采用小像幅非量測相機,導致后期空中三角測量解算需要較多的地面像控點來保證精度[9],外業(yè)工作量顯著增加,也不利于無人機攝影測量的應用推廣．GPS輔助光束法平差是解決上述問題的有效途徑[10],即通過機載POS系統(tǒng)高精度獲取像片的定位定姿元素．需要說明的是,像片的位置信息主要指相機曝光時刻攝影中心的坐標信息,而曝光時刻的時間精度一般優(yōu)于千分之一秒．由于無人機搭載的GNSS接收機的采樣頻率有限(一般為20～50 Hz),更高的采樣頻率將對GNSS接收機硬件與軟件提出更高的需求,因此,曝光時刻的位置信息需通過數據插值的方式來獲取．本文采用四種常用的數據插值算法,對GNSS無人機動態(tài)觀測數據進行插值計算,并對結果進行對比分析,確定適用于無人機高精度動態(tài)定位的插值算法,并通過數理統(tǒng)計方法對該方法的有效性進行驗證．

1 無人機軌跡插值算法

插值算法較多,但考慮無人機的運動特性,本文采用四種插值算法對無人機軌跡進行數據插值．

1.1 線性插值

線性插值法(Linear interpolation)本質上是利用兩個已知點確定直線方程進而確定未知量的值,常用于通過已知函數f(x)在兩點的值近似獲得其他點的數值[11]．根據羅爾定理,線性近似值的誤差隨著二階導數的增大而增大,即函數曲率越大,簡單線性插值近似的誤差也就越大．

1.2 最鄰近插值

最鄰近插值(Nearest interpolation)本質上就是通過計算待定點與周邊已知點的距離,直接選取距離最近點的數值賦予待定點[12],該方法計算量較小,插值速度最快． 當已知點分布較為均勻且間距較小時,該方法可以取得較好的效果．若數據發(fā)生突變或已知點分布不均勻時,該插值方法易出現不連續(xù)情況,導致數據細節(jié)嚴重失真．

1.3 分段三次樣條插值

為方便研究,直接給出插值多項式余項公式:

(x-xn),ξ∈(a,b).

(1)

由式(1)可知,余項的大小既與插值節(jié)點個數有關,也與函數的高階導數有關．換言之,適當提高插值多項式次數有利于提高插值精度,但并非多項式次數越高,插值效果越好．研究結果表明,高次多項式并不能保證非節(jié)點處的插值精度得到改善,節(jié)點處更易發(fā)生Runge現象．

為避免Runge現象,可采用分段插值的方法,即將插值區(qū)間分成若干子區(qū)間,依次對每個小區(qū)間進行插值．分段三次樣條函數(Cubic Spline interpolation)就是滿足在每個子區(qū)間都是三次多項式[13],用S(xi)表示在子區(qū)間的表達式:

S(xi)=ai0+ai1x+ai2x2+ai3x3,

(2)

式中,ai、ai1、ai2與ai3為多項式系數．確定4個系數后,即可確定該子區(qū)間多項式的表達式．

如果S(xi)是原始函數的三次樣條插值函數,則其必滿足以下條件:

S(xi)=yi,i=0,1,…,n,

(3)

S(xi-0)=S(xi+0),i=1,…，n-1,

(4)

S′(xi-0)=S′(xi+0),i=1,…，n-1,

(5)

S″(xi-0)=S″(xi+0),i=1,…，n-1.

(6)

其中,公式(3)為插值函數均需滿足的插值條件,公式(4)～(6)則為三次樣條函數需滿足的連續(xù)性條件．三次樣條插值函數的優(yōu)點在于其函數值在整體上可很好地逼近已知數據,相應的導數值也收斂于被插值函數的導數,同時不會發(fā)生Runge現象,因此,在計算機輔助設計中有較為廣泛的應用．

1.4 分段三次埃爾米特插值

若已知插值點的函數值和一階導數值,則構造一個三次函數,使其在插值點的函數值與一階導數值均與已知值相等[14],即為分段三次埃爾米特插值(Cubic Hermite interpolation)多項式:

(7)

2 實驗數據與結果分析

采用飛馬固定翼無人機(F200)于2018年9月6日在陜西省渭南市東北部進行航空攝影測量,飛控平臺POS系統(tǒng)自動記錄GNSS動態(tài)觀測數據,基準站接收機于地面固定點采集GNSS靜態(tài)觀測數據,采樣頻率20 Hz,衛(wèi)星截止高度角設定為10°,采用Trimble Business Center 4.0進行GNSS動態(tài)定位解算(總計45 420歷元)．為檢驗不同插值算法在無人機高動態(tài)定位領域的適用性,將GNSS動態(tài)定位解抽稀為1 Hz(總計2 272歷元),采用不同插值方法對抽稀后的動態(tài)定位解進行數據插值(插值間隔0.05 s),通過對比原始觀測數據動態(tài)定位解算結果與插值結果,分析比較不同插值方法的適用性．

(a)線性插值 (b)最鄰近插值

(c)三次樣條插值 (d)三次埃爾米特插值圖1 不同插值算法平面方向插值結果

(a)線性插值 (b)最鄰近插值

(c)三次樣條插值 (d)三次埃爾米特插值圖2 不同插值算法高程方向插值結果序列圖

圖1和圖2分別為不同插值算法在平面與高程方向插值結果,由圖可知,盡管不同方法插值算法有所差別,但由于橫縱坐標軸間距較大,不同方法插值結果基本接近,無顯著差別．為對比不同算法的細微差別,將四種插值結果分別與原始觀測數據解算的真值進行同歷元求差,誤差序列如圖3所示．

(a)線性插值 (b)最鄰近插值

(c)三次樣條插值 (d)三次埃爾米特插值圖3 不同插值算法插值結果與真值結果三維對比圖

盡管不同插值算法插值結果整體趨勢與實際飛行軌跡基本一致,但由于插值算法自身的局限性,導致插值歷元的插值結果與真值有所差異．由圖可知,線性插值算法與最鄰近插值算法插值結果與真值的差值較大,在三維方向均有米級偏差,個別歷元甚至出現了大于2 m的偏差．而采用三次樣條插值與三次Hermite插值算法得到的誤差分布圖明顯更加集中,偏差量級一般為厘米級．對四種插值結果誤差序列進行統(tǒng)計,結果如表1所示．

表1為不同插值方法在北、東、高程三方向誤差統(tǒng)計結果．表中分別羅列了誤差的極限值(極大值與極小值)和均方根誤差(RMSE)．由表可知,線性插值與最鄰近插值部分歷元的誤差大于1 m,導致其RMSE值也明顯增大．而三次樣條插值與三次埃爾米特插值的誤差序列,除極個別歷元誤差值大于0.5 m,大部分歷元插值誤差小于0.1 m,其在三維方向的RMSE值不大于5.5 cm,三次樣條插值誤差的RMSE值優(yōu)于3.5 cm．

表1 不同插值方法誤差結果統(tǒng)計表

分析原因可知,線性插值與最鄰近插值盡管計算速度快,但忽略了無人機真實運動軌跡的細節(jié),僅通過簡單的插值方法獲取插值點的數值,導致插值數值與實際真值存在較為明顯的差異,無法滿足高精度無人機動態(tài)定位的需要．三次樣條與三次埃爾米特插值方法,采用分段插值的思想,可有效避免插值節(jié)點的Runge現象,插值精度顯著提高．三次樣條插值函數考慮了二階導數的連續(xù)性,使插值曲線與運動軌跡更加符合,比三次埃爾米特插值方法,插值精度進一步提高．

3 結 論

本文基于固定翼無人機動態(tài)觀測數據進行后處理解算,采用四種不同的插值算法對抽稀的動態(tài)定位結果進行數據插值,通過對比插值結果與實際動態(tài)解的誤差序列分析不同插值算法的優(yōu)劣．結果表明,簡單線性插值與最鄰近插值算法速度快,但插值精度低,無人機軌跡的細節(jié)無法獲取．分段插值算法適用于無人機動態(tài)定位,較之分段三次埃爾米特插值,分段三次樣條插值算法考慮了軌跡曲線的二次導數連續(xù)性,因此,其插值結果更符合真實軌跡,當原始數據采樣頻率高于1 Hz時,其插值精度優(yōu)于5 cm,因此,三次樣條插值函數更適用于無人機相機曝光時刻攝影中心三維坐標的高精度插值．