布魯氏菌病傳播的微分方程模型及其動力學研究

董文文，周林華，王帥，呂堂紅，葛加偉

（長春理工大學 理學院，長春 130022）

布魯氏菌病（Brucellosis）簡稱布病，又稱為波狀熱、地中海熱、馬耳他熱。布魯氏菌病是一種由布魯氏菌引起的動物源性細菌人畜共患病，廣泛分布全球各個國家和多種類型動物中。布魯氏菌是最常見的實驗室源性病原體，世界動物衛生組織（OIE）將其劃分為B類動物傳染病［1］。全球范圍內的布魯氏菌病病勢處于歷史最高點是在20世紀80年代中期。動物感染后的特征主要表現為生殖系統受到嚴重侵害。對于人類患者而言，會喪失勞動能力和生育能力。因此，研究布魯氏菌病的傳染規律、發展趨勢和防控策略的重要性日益突出。用動力學模型來研究疾病的傳播規律一直是數學家們常用的方法，它不僅能對傳染病進行理論性分析和定量研究，還能清晰地描述疾病的流行規律［2］。同時結合觀測數據，在理論上探討不同控制措施的效果。因此，建立和分析相應的布魯氏菌病動力學模型具有重要的理論和現實意義。

1994年Jorge和 Raul［3］利用奇異攝動理論建立了包括易感者類、流產具有傳染性類、染病者類、疫苗接種者類四個類型的牛布魯氏菌病的動力學模型，并給出了布病的爆發閾值。2014年Li Mingtao等［4］建立了包括易感者、潛伏者、感染者、疫苗接種、環境中布魯氏菌的牛羊混合交叉傳播的動力學模型。最后通過對參數的敏感性分析得出牛羊之間存在交叉傳播，即使R0＜1時布魯氏菌病也會存在，所以應該禁止混合飼養。2007年牡丹江醫學院的李秋麗、夏蔚［5］根據某地區人發病率和牛羊布病發病率的數據，利用回歸分析統計方法，在5種模型中進行模擬和分析，發現人布魯氏菌病的發病率與牛羊布魯氏菌病發病率的關系是正相關的，即牛羊布魯氏菌病發病率增大時人類布魯氏菌病的發病率也增大。2010年A?nseba B等［6］建立了包含易感者、染病者的羊布魯氏菌病動力學模型，模型中體現了直接傳播與間接傳播，求出基本再生數（R0=R0direcct+R0indirect），分析系統的全局穩定性，最后通過數值模擬給出不同情況下的屠宰策略對比結果。環境污染在疾病的持續存在（即當R0indirect＜1時）中發揮重要作用，但也可以控制流行病。聶靜［1］研究了中國吉林省奶牛的布魯氏菌病，依據布魯氏菌病的傳播機理，考慮環境當中病菌的傳播，結合吉林省奶牛布病的現有防控措施，包括外界引入、因病淘汰、殺菌消毒等，建立吉林省奶牛布病的SEIV動力學模型。通過動力學分析，證明了各個平衡點的全局漸近穩定性。侯強等［7］建立了羊—人動力學模型，通過對內蒙古布魯氏菌病數據參數的擬合和敏感性分析，得出在消毒和免疫這兩個策略相結合的控制措施對疾病控制更加有效。

由于布病造成嚴重的損失，世界許多國家和地區制定了相應的防控和根除計劃，在布病流行形式嚴重的地區疫苗免疫具有重要意義［8］。疫苗免疫是控制傳染病傳播的一種有效措施，在我國羊群養殖繁盛地區已經開始接種布魯氏菌病疫苗，但接種的疫苗都是活疫苗，這種疫苗有一定的致病力，大量接觸可引起感染。世界上只有少數國家主張給人接種布魯氏菌病疫苗。早期人所接種的疫苗是滅活疫苗，現在已被免疫效果更好的凍干弱毒活菌苗代替。免疫期也由最初的6-9個月增長至1年，現在很多國家都在努力研究滅活疫苗，希望能夠使布病疫苗廣泛應用，從而控制布病的傳播［8］。若在今后人能夠廣泛接種布魯氏菌病疫苗，這將對控制布病起到不可忽略的作用。

本文主要根據內蒙古布魯氏菌病傳播疫情建立了羊—人耦合的傳播動力學模型，主要研究人接種布魯氏菌病疫苗對布病傳播的影響。

1 模型建立和分析

1.1 模型建立

本文建立一個血清反應陽性羊—人類布魯氏菌病傳播的動力學模型，該模型中將羊群分為：易感羊群（SS）、感染羊群（IS）、接種疫苗的羊群（VS）和易感人群（SH）、感染人群（IH）、接種疫苗的人群（VH）。假設易感羊群接種疫苗也會有一部分羊群失去免疫成為新的易感羊群，易感羊群經過檢測血清呈陽性，并且血清呈陽性的羊可以感染易感人群。布病的傳播流程圖如圖1所示。

圖1 羊—人布魯氏菌病傳播流程圖

布魯氏菌病傳播動力學模型為：

其中，A1表示羊的輸入量；γ1表示易感羊的疫苗接種率；1/τ1表示羊的疫苗接種有效期；β1表示易感羊到血清呈陽性羊的傳染率；μ1表示羊的死亡率；?表示羊的撲殺率；αSH表示感染羊到人的傳染率；A2表示人的輸入量；γ2表示易感人的疫苗接種率；1/τ2表示人的疫苗接種有效期；μ2表示人的死亡率。

令NH=SH+IH+VH，NS=SS+IS+VS，則系統（1）的正不變集為：

1.2 基本再生數和地方病平衡點

其中：

由文獻［11］可知，系統（1）的基本再生數為：

進一步，當R0＞1時系統（1）有唯一地方病平衡點。

其中：

根據文獻［11］中定理，有：

定理1 當R0≤1時，系統（1）的無病平衡點E0局部漸近穩定；R0＞1時，E0不穩定。

1.3 平衡點的穩定性分析

本文在這一節將完成系統（1）的無病平衡點和地方病平衡點的穩定性證明。

首先考慮系統（1）的子系統

引理1：當R0≤1時，系統（3）的無病平衡點全局漸近穩定。

證明：對系統（3）構造一個Lyapunov函數：

函數L1沿系統（3）的全導數為：

當R0≤1時，表達式。當且僅當時，等式。所以由LaSalle不變集原理可知，當R0≤1時，系統（3）的無病平衡點是全局漸近穩定的。

定理2 當R0≤1時，系統（1）的無病平衡點E0全局漸近穩定。

證明：系統（1）的前三個方程獨立于后三個方程，由引理1可知系統（1）的前三個方程的無病平衡點全局穩定。接下來考慮除（3）以外的方程:

當R0≤1時，。系統（4）的極限系統為：

綜上，系統（3）和（4）的無病平衡點都是全局漸近穩定的，所以系統（1）的無病平衡點E0全局漸近穩定。

下面證明地方病平衡點E*的漸近穩定性。

引理2：當R0＞1時，系統（3）的地方病平衡點全局漸近穩定。

證明：對系統（3）構造Lyapunov函數：

函數L2沿系統（3）的全導數為：

定理3當R0＞1時，系統（1）存在唯一正平衡點E*，且在集合X內全局漸近穩定。

證明：當R0＞1時，系統（4）的極限系統為：

綜上，系統（3）和（4）的地方病平衡點都是全局漸近穩定的，所以系統（1）的地方病平衡點E*全局漸近穩定。

2 控制策略的數值仿真

本節主要觀察羊的疫苗接種與人的疫苗接種情況對感染人數量的影響.選取系統（1）的初值如下，參數的取值如表1所示。

表1 參數以及參數值

圖2 γ1和γ2對IH的影響

在圖2中，假設羊的撲殺率?=0.3為定值，通過改變γ1和γ2的值觀察IH的變化。從圖中可以看到隨著γ1值的增大IH的曲線呈下降趨勢。這說明加大羊群的疫苗接種率可以減少人類感染布魯氏菌病的數量。比較圖2中的三個圖不難發現增加γ2的值，IH的值明顯減小，這說明加大人的疫苗接種率可以更好的減少人感染布魯氏菌病的數量。通過圖像的對比，可以知道同時增加羊和人的布病疫苗接種率，這樣能夠更好的減少人的患病數量。

接下來分析基本再生數中的參數對基本再生數的影響，基本再生數的表達式如下：

通過表達式可以發現較為重要的參數為易感羊的疫苗接種率γ1和羊的因病撲殺率?。考慮到參數的敏感性，首先固定其它參數不變，只看這兩個變量對基本再生數的影響。從圖3中不難發現當γ1大于A點的值，?大于B點的值時，R0＜1說明此時疾病可以控制。同時增大γ1和?的值，R0的值越小，說明同時采取兩個措施，布病的防控效果越好。

圖3 γ1和?對基本再生數R0的影響

3 結論

在內蒙古地區，布魯氏菌病是威脅人畜公共健康的最嚴重的疾病之一。本文主要是以內蒙古地區作為研究區域，建立羊—人耦合的布魯氏菌病傳播動力學模型，模型中考慮人接種布病疫苗這一項。由1.3的結論可知當R0≤1時，系統（1）的無病平衡點E0全局漸近穩定；當R0＞1時，系統（1）存在唯一正平衡點E*，且在集合X內全局漸近穩定。根據圖2的對比結果，知道人的布病疫苗接種率越大，人的感染數量越少，這意味著人接種布病疫苗能夠有效控制布魯氏菌病的傳播。且同時增大羊和人的疫苗接種率，人的感染數量越小，這說明同時對羊和人進行疫苗接種，可以更好的防控布病的傳播。通過對基本再生數中參數的敏感性分析可知，羊的撲殺率?對R0的影響大于羊的疫苗接種率γ1對R0的影響，這說明一旦發現感染羊應對其進行撲殺，這樣才能更好的控制布病的傳播。若同時采取兩種措施且增大?和γ1的值，R0的值會越小，說明布病的防控效果會更好。所以應該從疫苗接種和感染羊的撲殺兩方面出發實施防控措施，控制布魯氏菌病的傳播。