多波長消色差全介質超透鏡設計

王文濤，羅春華，羅宇，趙達

（1.長春理工大學 光電工程學院，長春 130022；2.深圳大學 ATR國防科技重點實驗室，深圳 518060）

光的色散在設計光學元件及成像系統［1］中有著非常大的影響。在諸如玻璃這樣的介質材料中，色散會隨折射率的增加而減小，而在透鏡系統中，這會產生更加明顯的焦點分離，嚴重影響光學系統的性能及成像質量。傳統的透鏡通過增加一定數量的光學元件或者使用不同材料的元件來平衡各種像差，但這勢必會讓光學系統整體結構變得復雜，同時也會提高成本，這些缺陷極大地限制了它們的使用。

近年來，隨著微納加工技術的迅速發展，出現了一種新型波前調控元件—光學超表面。與傳統透鏡不同，超表面［2-3］是一種由一系列亞波長的人工結構組成的二維陣列平面，具有制作簡單、損耗較低、小體積和超薄厚度的特點。它可以對電磁波的振幅、相位、偏振態進行調控，從而靈活地塑造電磁場［4］。超透鏡作為超表面的多種應用之一，憑借其在兩種材料界面處的相位突變特性使得其在構建平面光學元件方面具有獨特的優勢。其緊湊的結構相比于傳統元件在集成方面也更加突出，比如Cappsso團隊將超透鏡與內窺鏡集成，實現了相比傳統元件更好的成像效果和分辨率。但隨之帶來的一個非常明顯的問題就是，由于超薄的平面結構，會產生嚴重的色散。不過相比于衍射透鏡與傳統透鏡［5］，超透鏡的平面結構設計會引入更大的設計自由度，使其在解決光的色散問題上更有優勢。利用Pancharatanm-Berry（PB）相位的波長無關性，可以在一定的帶寬范圍內控制相位，但這種相位調制的方法也會產生色差。雖然近年來一些團隊利用矩形耦合結構單元來進行相位補償，實現了可見光及近紅外波段的消色差［6］。但這種方法對結構優化的工作量相當大，且只能應用一維非周期結構。

本文將耦合復用的思想延申至空間復用，通過三個精心設計的硅納米結構來分別響應三個波長（473 nm，532 nm，632.8 nm），從而實現消除色差。文中會利用PB相位的調控方式，使相位在0～2π變化，并展示通過這種方法制作的器件的消色差聚焦性能。

1 單元結構的原理與設計

1.1 結構的組成與原理

如圖1（a）所示，組成文章中超透鏡的基本單元由兩部分組成，高折射率的硅［7］材料（630 nm處n近似3.65）形成的納米柱以及二氧化硅基底（n=1.456）。高折射率的硅柱能夠將光能量束縛在設計的結構內，避免相鄰單元之間的耦合。為了提供足夠的相位差滿足半波片條件，文中選用了420 nm高度的硅柱來增加相位的調控能力和透射效率，需要注意的是，在加工條件允許的情況下，隨著高度的增高會增加調控能力，但高度增加，刻蝕難度會非常大，且刻蝕形貌及垂直度都不好。同時二氧化硅的基底周期P取200 nm，如果P取太大的話，會產生多級衍射。納米硅柱在基底上旋轉，如圖1（b），從而產生相位，旋轉角度為θ。

圖1 超透鏡的基本單元結構

圖2 掃描長短軸（lx,ly）尺寸對應的衍射效率（DE），轉換效率（CE）以及相位（φ）

因為納米柱可認為是一個截斷波導，作為一個法布里-珀羅諧振器［8］，納米柱各項異性的結構會沿著它的長短軸產生相位差，通過納米柱長短參數，進一步對納米柱的轉換效率（CE）衍射效率（DE）以及共振相位進行篩選。需要注意的是，共振相位實質上是光經過納米結構自身產生的相位，就好比傳統透鏡，光在透鏡中會產生光程，引起相位累積，雖然超透鏡是亞波長結構，但同樣會因為結構問題，產生相位，只與自身結構有關。為了盡可能地提高效率，在選擇尺寸前，以掃描的方式計算了納米柱的轉換效率，衍射效率［9］以及相位值，從而方便直接地挑選，如圖2所示。通過計算發現，從DE與CE角度看，納米柱的大小對波長的響應很明顯：對于短波長而言，納米柱的高效率響應尺寸也會相對較小，而對于較大波長尺寸會相對較大（暫以單個結構為例，不考慮空間復用與級聯）。因此，當多波長時可選擇多個結構，此時它們各自響應波長不同，當一個結構工作時，其他波長的結構幾乎不工作。圖3為文中選擇的三種對應不同波長的結構隨波長的衍射效率曲線。如圖4所示，將4個473 nm對應結構放在了四個角落，632.8 nm波長對應結構放正中位置，其他位置對應532 nm響應結構。需要注意的是，雖然相鄰納米結構之間的效率不會產生干擾，但對于相位的計算，因尺寸的不同每個結構的共振相位是不同的，這與PB相位不同，這種共振相位是納米結構自身的屬性。

表1 三種結構尺寸表

圖3 不同結構衍射效率隨波長掃描圖

圖4 波長選擇器件電場響應圖

1.2 相位的計算與排布

超透鏡功能的實現是依靠相位來實現的，每個位置所需的相位有嚴格的要求，文章通過利用光程差公式來合理的分配每個位置的相位，如下：

其中，φ(t)為總相位，第一部分是共振相位，共振相位的產生與納米柱的材料和幾何參數有關，第二部分是PB相位，這個相位和納米柱的面內旋轉有關，且僅僅和旋轉角度有關系。當一個納米柱旋轉θ角時，納米柱會獲得兩倍于旋轉角度的相位，因此，PB相位［12］與波長無關，從而為寬譜設計創造了條件。

利用共振相位與PB相位的結合，合理的排列納米柱，可實現多結構獨立設計相位。文中將三種納米柱陣列分成三層，可實現多波長的單點聚焦，避免傳統的透鏡由色散產生的焦點偏移。如圖6所示，分別為設計排列的超透鏡以及普通超透鏡與消色差超透鏡的區別。

圖5 超透鏡排布圖

圖6 普通超透鏡與消色差超透鏡色散原理圖

2 仿真分析

利用MATLAB對相位及坐標進行計算，然后將數據導入FDTD進行超透鏡的排版，根據超透鏡設計原理。FDTD的器件仿真X Y Z方向采用PML邊界條件，網格精度設置為0.25 nm，仿真區域為X（-6.8～6.8 μm），Y（-6.8～6.8μm），Z（0～13μm），第一個監視器的位置放在Z=10 μm處，觀察焦平面的強度。第二個監視器設置在Z方向的0～13 μm范圍，從而觀察Z方向的聚焦位置。當右旋圓偏振光（RCP）入射時，需要測量三個波長的焦距，以及X-Y平面焦點強度圖，同時測量FWHM（半高寬）。需要說明的是，當RCP或LCP入射時，偏振轉換效率會很高，但當線偏振光入射時，它會分解為左右旋兩個方向的疊加，明顯降低效率，從而大大降低超透鏡的性能。

圖7 不同波長聚焦圖

圖8 焦點強度圖

同時將測得的實際FWHM與理論FWHM進行對比，如圖7所示，是分別為將473 nm，532 nm，632.8 nm的光照射超透鏡的焦點圖。明顯可以發現，雖然波長不同，但它們幾乎交于同一個焦點，焦距分別為10.323 5 μm，10.125 4 μm，10.276 7 μm（分別對應473 nm，532 nm，632.8 nm波長），焦點在設計目標10 μm附近，焦點偏移很小，通過人為地控制相位，間接地控制了焦距，從而實現了對色散的消除。而圖8也可以發現，焦點能量很集中，這也使得半高寬更加小，更加接近衍射極限，分辨率更高。

對于超透鏡的分辨能力用FWHM會有很好的詮釋。根據文中透鏡的設計及仿真，計算出了三張設計的強度圖，如圖9所示。從而計算出實際的FWHM值，分別為464.2 nm，485.2 nm，583.1 nm（對應473 nm，532 nm，632.8 nm），可以發現它們與理論FWHM值431.3 nm，485.1 nm，577.1 nm幾乎近似。

圖9 歸一化焦點強度圖

3 結論

超透鏡通過結構對不同波長的響應打破了傳統透鏡色散的問題。對常用的三個可見波長紅（632.8 nm）、綠（532 nm）以及藍（473 nm）進行精密的相位控制設計，實現了共焦點。利用波長無關的PB相位，分別實現了對多波長的調控。這種消色差超透鏡可對單波及多波長工作，其精確的設計、平面的結構、簡單的制作、良好的效果對很多微納光學系統有著廣泛的應用。更為不斷發展的平面光學提供了一種色散消除的概念與方法。