帶參數攝動的時延分段仿射系統事件觸發控制

談超群，劉 飛

江南大學 自動化研究所 輕工過程先進控制教育部重點實驗室，江蘇 無錫214122

1 引言

分段仿射（PieceWise Affine，PWA）系統因為其概念簡單，并且可以有效地對一些實際對象進行分析等優點得到了越來越多的關注。已有研究表明，分段仿射系統可以有效的近似非線性系統，尤其是存在死區、飽和以及滯后等非線性特性的系統[1]。到目前為止，已經有許多關于分段仿射系統的研究成果，比如非線性近似、穩定性分析、控制器設計以及濾波器設計等等[2-5]。

網絡控制系統由于其結構簡單、易擴展、靈活性好等優點得到了越來越廣泛的應用，但其時延、數據丟包、網絡帶寬受限等問題都會影響系統的控制性能[6]。近年來，許多研究證實，相比于周期采樣控制，事件觸發控制可以有效地降低網絡帶寬的占用率，減少通訊資源的浪費[7-8]。事件觸發控制的基本思想是“按需傳輸”，根據提前設定好的事件觸發條件來調節控制更新周期。文獻[9]第一次提出了周期事件觸發控制，在這種控制方法當中，觸發條件只需周期性的被檢驗，并且在每個采樣時刻選擇是否進行信號傳輸以及控制率的更新。相比于傳統的連續事件觸發控制[10]，這種觸發形式結合了周期采樣以及事件觸發控制的思想，可以有效地避免Zeno現象的產生并且更加適應實際應用[11]。但是，據作者所知，到目前為止，針對分段仿射系統的周期事件觸發控制器設計問題還沒有得到充分關注。

另一方面，實際系統的不確定性是不可避免的，且工業過程中的時延也很常見，文獻[12-13]研究了網絡控制系統存在傳輸延遲的事件觸發控制器設計問題，文獻[14]針對含有狀態延遲的隨機系統，提出了事件觸發容錯控制器設計方法。本文綜合考慮PWA系統存在參數攝動和狀態時延，以及網絡帶寬受限的情況，引入周期事件觸發機制減少不必要的信號傳輸，提出周期事件觸發機制與魯棒控制器的協同設計方法，以保證系統的漸近穩定性。

2 問題描述

網絡控制系統結構如圖1 所示，其中假設：采樣器為時間驅動，控制器、零階保持器（ZOH）以及執行器為事件驅動。

圖1 網絡控制系統結構圖

考慮如下帶有參數攝動的離散時延分段仿射系統：

其中x( k )、u( k )分別表示系統狀態及控制器輸出，并且x( k )∈X ，X 為Rn的一個子集。bi為仿射常數項，d 為時延系數，、Adi為第i 個子系統的參數矩陣，其中i ∈Ξ ?{ }1,2,…,N ，這里N ＞1 是子系統的個數。

假定該系統的參數不確定性為范數有界，即

其中Ai、Bi、Di、Hai、Hbi為已知矩陣，Fi為未知時變矩陣，并且滿足Fi≤I ，I 是單位矩陣。

注1 事實上Adi也可能出現參數不確定的情況，但因為其處理方法與Ai存在不確定性時的處理方法相同，為簡化后續推導過程，本文不再考慮Adi可能存在的參數不確定性。

分段仿射系統中，有界狀態空間X 被分割為一組凸多面體形式的作用域，記Xi為第i 個子系統的作用域，也就是X ?∪i∈ΞXi。當系統狀態x( )k ∈Xi時，則第i 個子系統發生作用。并且對于?i ≠j ∈Ξ ，滿足Xi?Xj=?。另Ξ=Ξ0+Ξ1，其中Ξ0為包含原點的作用域的下標集，即bi=0，Ξ1是其余作用域的下標集。記Ω 為所有可能的從一個子系統到其本身或者另一個子系統的切換序列：

假定每一個Xi都可以由一個橢圓集ζi近似，即：

其中：

考慮如下的狀態反饋控制器：

其中x?+(k)定義為：

如圖1所示，引入如下的周期事件觸發機制來決定是否進行信號的傳輸：

也就意味著當（6）成立時，系統狀態信息被傳輸并且更新控制率，否則不傳輸新的系統狀態信息以及控制器輸出，則（5）可以重新寫成：

注2 本文設計的事件觸發參數σ 適用于系統的整個動態過程，與系統所處的作用域無關。

本文的主要目標是在選取合適的事件觸發參數之后，設計出對應的魯棒狀態反饋控制器，保證系統的漸近穩定性。

3 主要結果

引理1[15]對于任意的矩陣Y 、D 和H ，其中Y 是對稱矩陣，Y+DFH+HTFTDT＞0 對所有滿足FTF ≤I 的矩陣F 成立，當且僅當存在一個常數θ ＞0，使得Y-θDDT-θ-1HTH ＞0 成立。

首先，定義誤差變量：

根據定義式（7），不等式

始終成立。

因此，控制率（4）可以重新寫成：

則閉環系統式（1）可以重新描述為：

定理1 如果存在Pi=PTi＞0，Pj=＞0，S=ST＞0，δij，φij，βij，εij＞0，其中i,j ∈Ξ，使得對于分段仿射系統所有可能的切換序列Ω：

均成立，則系統（1）漸近穩定。

證明 針對離散分段仿射系統，在其每個子系統的作用域上分別引入一個Lyapunov函數：

其中Pi∈Rn×n，S ∈Rn×n為對稱正定矩陣，且i ∈Ξ。

當x( k )∈Xi，x( k+1) ∈Xj時，其中i,j ∈Ξ ，即分段仿射系統從子系統i 切換到子系統j 時：

根據李雅普諾夫穩定性定理，如果對于系統所有可能的切換序列（包含從一個作用域切換到它本身的情況），ΔV( )k ＜0 均成立，即不論子系統之間如何切換，分段仿射系統的能量函數始終是衰減的，則系統漸近穩定。

其等價于：

其中：

為進一步處理系統中的仿射項，引入狀態橢圓集約束（3），有：

另一方面，不等式（8）可以重新寫成：

運用S 過程，將式（13）～（15）進行整合，有：

成立，則式（13）也成立，其中δij＞0，φij＞0。

則問題轉換為求解δij、φij、Pi、Pj、S、Ki使得式（16）成立。

注3 當i ∈Ξ0，此時bi=0，系統（1）相當于一個普通的分段系統，不用對仿射項進行處理，從而不需要再考慮橢圓集信息，顯然，由式（11）可以直接推導出式（10）。所以當橢圓集包含原點時，定理1中的式（11）替換成式（10）來求解即可，證畢。

證明 運用Schur補定理及引理1，基于式（11），可得：

必須成立，其中εij＞0，βij＞0。

通過簡單的矩陣變換可得：

其中：

根據矩陣求逆定理：

可以推導出：

運用式（22）及Schur補定理，將式（21）轉換為：

另因為

可得：

注4 對于i ∈Ξ0，此時bi=0，不用對仿射項進行處理，從而不需要再考慮橢圓集信息，由式（17）可以直接推導出式（18），此處證明過程省略。

4 仿真結果

考慮如下的PWA系統[16]：

五個子系統被分割為：

將式（22）離散化，T=0.1 s，控制目標是將系統穩定到原點位置。

在下面的仿真過程中，用

來衡量信號傳輸減少的情況。

由圖2～4可以看出，在周期事件觸發機制減少了信號傳輸次數之后，基于定理2設計的周期事件觸發控制器仍然可以保證分段仿射系統漸近穩定性。另外，圖4中0.8代表觸發條件成立，0.2表示不成立。由表1可以看出，通過增大σ 可以進一步減少信號的傳輸次數及控制率的更新，當然此時系統的動態性能也會相應變差，這在以往的研究中已有證實[11]，此處不多加贅述。此外，由圖5可以看出，當時延進一步增大到d=9 時，系統仍然穩定，證明了本文方法的有效性。

圖2 系統狀態軌跡（d=2，σ=0.6）

圖3 控制器輸出

圖4 事件觸發時刻

表1 不同σ 對應的信號傳輸率

圖5 系統狀態軌跡（d=9，σ=0.6）

5 結束語

本文針對同時含范數有界參數不確定性以及狀態時延的網絡化分段仿射系統，提出了周期事件觸發機制及魯棒控制器的協同設計方法。實驗結果證明，相比于周期采樣控制，本文設計的方法可以在保證系統漸近穩定的同時，減少信號的傳輸從而減少網絡帶寬占用。當然本文還存在保守性較大的問題，后續工作將對此加以改進，另外也可以對含有時變傳輸時延或者隨機分布式時延的分段仿射系統做進一步研究。