認知結構化視角下數學復習課的教學探索*

趙慶林

雖然關于認知結構的界定有很多，但認為個體頭腦中的認知結構以及知識之間的聯系才是認知結構的本質特征已成為大家的共識。所謂認知結構化，便是建立在這個共識基礎上，通過學生的認知結構與知識結構在有效的思維策略的支持下建立的雙向互動的學習過程。而這實際上也是數學研究者關注的認知結構的動態性的具體體現。認知結構化視角下的數學復習課，需要教師以教育學、教育生態學、教育心理學為理論依據，站在系統的高度、結構的角度審視、優化數學教學，用系統的觀點、結構化的思想來設計、組織課堂教學，使學生學習后能把知識與方法串成鏈、組成塊、結成網。本文對數學復習課的現狀進行分析，并嘗試從認知結構化的視角出發對數學復習課進行討論與構建，以期引發研究者的進一步思考與探索。

一、當下數學復習課中常見的問題

1.重知識練習，輕知識遷移。這種現象比較常見，主要表現為教師就知識復習知識，就知識點練習知識點，對于知識內在的邏輯與生成關注不夠，特別是對于知識本身所具有的正向遷移作用研究不夠，壓制了知識本身具有的生長力，以至于轉換情境后學生便不能有效運用知識解決類似或相關的問題。

2.重點狀突破，輕結構生成。如教學蘇教版五上《多邊形的面積復習》一課時，有的教師引導學生就本單元學習的平行四邊形、三角形、梯形的面積計算進行復習，并有針對性地對學生進行強化練習，這些做法應該說并無不妥，但對學生數學素養的培育來說是不夠的。對學生結構化思維的培養來說，單個知識點的突破是必要的，但在復習課中更要注重知識之間的結構生成，如長方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式的演變及其之間的關系，最終實現學生對數學知識、思想與方法的結構化學習。

3.重橫向整理，輕縱向聯結。如教學蘇教版五上《解決問題的策略復習》一課時，教師最常見的回顧與整理思路是就本冊書解決問題的策略即“一一列舉”進行練習與反思，雖然通過不同情境的轉換加強了學生對“一一列舉”策略的認識與技能提升，但如果僅僅停留于此，最多算是一種橫向整理，缺乏縱向聯結。所謂縱向聯結，就是教師在引導學生復習“一一列舉”策略時，需要關注學生學過的畫圖、列表等策略，并將它們充分融入當下的復習活動中。

4.重教師引導，輕學生自主。這也是數學復習課中常見的現象，教師精心設計，強力引導，但對于學生學習的自主性重視不夠。其實，復習課中最大的挑戰是問題來源于不同基礎的學生，解決這些問題靠單一的、統一的行動步調是不現實的，這就需要充分調動學生的自主性。

二、認知結構化視角下數學復習課的內涵與特點

在認知結構化視角下的數學復習課教學中，教師要從結構主義的觀點出發設計數學復習課，把零散的數學知識置于整體知識結構中，從知識產生、演變的順序與學生的認知發展過程出發架構課堂，引領學生主動經歷整理、練習、對比、辨析的過程，在復習過程中既注重知識練習又注重知識遷移，既注重點狀突破又注重結構生成，既注重橫向整理又注重縱向聯結，既注重教師引導又注重學生自主，通過學生的認知結構與知識結構的有效聯結、互動，培養學生的數學結構化思維。認知結構化視角下的數學復習課主要有如下五個特點。

1.整體性。認知結構化視角下的數學復習課不只關注單個知識點的復習，更希望通過在知識點之間建立聯系來打通知識生長的路徑，進而促進學生知識、能力、素養等方面的整體發展。在復習課上，教師不僅要看見由零散的知識點構成的知識網絡，也要看見由經驗與知識構成的學習過程，還要看見由已知和未知構成的方法路徑。如此，認知結構化視角下數學復習課的整體性是一個復合性概念，它是由具有整體性的知識網絡、學習過程和方法路徑等構成的更大的教學整體。

2.關聯性。美國教育學家布魯納在《教育過程》一書中指出：“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構。”教學其實就是教授和學習學科結構。認知結構化視角下的數學復習課不是單純地讓學生掌握事實和技巧，而是幫助學生學習結構，因而它強調學習事物之間的關聯性。當學生掌握了這些知識之間的聯系，在某種程度上也就有了認識上的整體概念，這對于他們理解與掌握單個知識點來說又會起到很好的促進作用。

3.過程性。認知結構化視角下的數學復習課追求的是知識的聯結、關系的建構以及思維的生長。它的過程性主要體現在兩個方面。從教師層面來說，主動挖掘復習內容背后的思想價值，站在更高處確立復習課的主題，厘清知識之間的關系，進一步發現知識產生、演變的順序，并遵從學生的認知發展過程組織具體的復習過程；從學生層面來說，復習就是一個主動經歷知識整理、練習、對比、辨析、反思、領悟以及思維提升的過程。

4.延展性。延展性一定是從時間和空間兩個維度發生的。在時間維度，是指學習的過程不局限于課堂時間之內；在空間維度，是指學習的場域、主題、內容等不局限于教室、教材等。認知結構化視角下數學復習課的延展性最終體現在學生的知識、能力、思維、素養的提升與發展方面。

5.主動性。從學習性質來說，認知結構化視角下的數學復習追求的是一種深度學習。澳大利亞墨爾本大學教授約翰·哈蒂在《可見的學習：對800 多項關于學業成就的元分析的綜合報告》一書中寫道：“在深度學習中，主要關注關系加工、精細加工，使知識結構化并嘗試超越單一的知識，形成思維框架，這需要計劃、組織、精加工和反思。與此相關的效用量高的教學策略是討論和提問、交互式教學等。”這些效用高的教學策略都需要學生主動參與而不是被動接受。深度學習強調學生內在學習動機的激發，強調學生的深度參與。作為深度學習的一種方式，認知結構化視角下的數學復習課在教學策略的選擇、課堂樣態的營造等方面都離不開學生的主動參與。

三、認知結構化視角下數學復習課的教學策略

1.整體把握，由點及體。

認知結構化視角下的數學復習課不是拋棄知識點單純追求結構的復習，而是在整體視野下引導學生將知識點擴展到知識面，再從知識面擴展到知識體。教師的走向與學生的走向應該是相反的，教師需要從知識體剖解到知識面，再從知識面剖解到知識點，在此基礎上引導學生整體把握。如教學蘇教版五上《多邊形的面積復習》，教師可以從思想層面、方法層面和經歷層面引導學生進行整體把握，學生則從具體的經歷、方法中感悟數學思想。具體來說，知識點分為已知點和未知點，從學習方法的視角來看，從已知到未知是數學學習的基本方法；學習內容分為單一圖形和組合圖形以及規則圖形和不規則圖形，從學習經歷的視角來看，從單一到組合、從規則到不規則是數學學習的基本路徑。無論是學習方法還是學習路徑，都體現了由易到難的基本思想。

由上例可以看出，認知結構化視角下數學復習課的整體把握、由點及體是一種教師與學生雙向互動的建構，其中的關鍵因素在于教師。

2.建立關系，由表及里。

如前所述，認知結構化視角下的數學復習課倡導幫助學生建立關系、學習結構，因而學生的學習過程就是建立關系的過程。對學生來說，從初識關系到加深關系甚至是重新發現與建立關系，主要依靠復習課來完成，對這個過程形象化的理解就是由表及里。以蘇教版四上《數的運算復習》的教學為例，建立關系主要從三個層面進行，首先是初步感知，呈現學生課前整理的相關知識網絡圖，讓學生初步感知和了解知識之間的關聯；其次是問題引領，主要圍繞核心問題進行討論，如“兩三位數除以兩位數和四則混合運算有什么關系？口算和估算、筆算、驗算之間有什么關系？你還發現哪些知識之間是有關系的？有什么樣的關系？”；最后是共同構建，教師帶領學生共同回憶本學期學習的“數的運算”的相關知識點，形成初步的知識網絡圖和認知地圖。

由上可知，由表及里建立關系，其一要發現相互關聯的事物，發現的主體是學生，教師的作用在于推動；其二要通過建立具有層次性的關系將認識引向深入，而層次性正是良好數學認知結構的特征之一，整體是由不同層次的要素組成的，這些不同要素之間的關系構成了不同層次的認識，也構成了由表及里的基本路徑。

3.學習運用，由靜及動。

首先要厘清練習與運用的區別，練習往往圍繞單一知識開展，運用則需要調用更多的知識與方法、策略等，主要是發現問題、提出問題和解決問題，而不是被動等待問題；其次要理解靜與動的關系，認知結構化視角下的數學復習課追求的“動”是一種思維的生長，而“靜”則是思維的停滯。因此，學習運用，由靜及動，即在知識的運用中發展思維。以蘇教版二上《表內乘法和表內除法的復習》一課的教學為例，一是圍繞“平時錯題”學習、運用，讓學生收集自己容易出錯的題目，并寫出正確的做法，重點是引發全體學生對相似問題的反思和討論。二是圍繞“自主編題”學習、運用，重點是突出不同類型問題之間的關聯。三是圍繞“探究問題”學習、運用，學生探究問題與他們的學習經歷、經驗等緊密相關。探究問題主要有方法層面、知識層面、本源層面這三個層面，方法層面主要體現為學生對乘法口訣的理解與記憶；知識層面主要體現為學生對乘法口訣中規律的發現與探究；本源層面主要體現為學生對乘法口訣來源及命名的好奇。對這些探究問題的分析與解決能夠強有力地驅動學生數學思維的生長。

認知結構化視角下，數學復習課的“運用”更像是一種關系的驗證、發現與重新構建。這里的關系已經不局限于學校范疇，而是在學生的學習經驗、生活場域中不斷拓展。

4.結構思考，由此及彼。

結構思考主要體現在延伸中，會滲透一些結構性的思想，讓學生進行結構性思考，在數學問題解決策略方面形成一種結構性意向。所謂由此及彼，是從碎片化思想、單一性思考不斷走向結構性思想、結構性思考乃至在問題解決中形成結構性意向的過程。以上述多個復習課為例，在具體的問題解決過程中，需要引導學生從方法、策略、驗證等方面建構起解決問題的結構性思維。而在反思環節，需要我們改變過去單一的或固化的教學方式，借助學生自己整理的知識網絡圖，結合學生復習的經歷、體會和感悟，重點引導學生圍繞知識與知識之間的關系展開討論和交流，如“在復習過程中，你覺得哪些知識之間的聯系比較重要？為什么？從知識和知識之間的關系方面出發，猜想一下，我們還將遇到什么樣的問題？”，通過結構性思考，重要的是發現學生學習的薄弱關系而不是薄弱知識點，進而通過修復與強化知識之間的聯結改善學生的學習。