基于梯形分布的雙方叫價拍賣博弈及均衡分析

■ 崔曉婕（甘肅有色冶金職業技術學院）

拍賣是一種典型的市場交易方式，集中市場競爭的特點使其能更有效地進行資源配置。拍賣有多種形式，一級密封拍賣和雙方叫價拍賣是兩種常見的拍賣方式。國內外學者們對這兩種拍賣理論做了很多研究工作，已經取得了一些研究成果，但是他們的拍賣設計模型都是把賣者的偏好服從均勻分布作為一個基本的假設條件，其實這一假設忽略了一個重要事實，即如果投標人具有一定的知識和理性，在拍賣過程中會表現出明顯的集中趨勢。所以正態分布或偏態分布更符合拍賣者的偏好規律，文獻[2]提出用三角形分布來模擬正態分布建立模型。本文則針對拍賣者的偏好規律，提出一種比三角形分布更符合實際的分布函數—梯形分布，這種分布函數體現了實際拍賣市場中拍賣者的偏好不僅具有集中趨勢，還會在集中點保持一定的平衡。所以本文用梯形分布代替均勻分布來改進模型，最終所得均衡結果與現實的吻合性明顯優于經典模型，對實際拍賣工作具有一定現實指導意義。

一、雙方叫價拍賣模型

（一）經典雙方叫價拍賣模型

在雙方叫價拍賣中，潛在的賣者和買者同時開價，賣者提出要價，買者提出出價，然后拍賣商選擇成交價格p清算市場；所有要價低于p賣者賣出，所有出價高于p的買者買入；在價格p下的總供給等于總需求。首先看以下肖特金和薩繆爾遜建立的一個簡單的雙方叫價拍賣模型，在該模型中有一個買者和賣者交易單一不可分物品，賣方的成本為c，物品對買方的價值為v，且v∈[0,1]，c∈[0,1]。雙方同時報價和，當時成交且交易價格否則無交易發生。這樣，在交易的情況下，賣者的效用是，買者的效用是若交易不發生，他們的效用均為0。在此交易機制下，如果信息是完全的，物品對賣方的成本c和對買方的價值v為共同知識，這就成了一個納什需求博弈問題，當v＞c時，該完全信息博弈有連續的純戰略帕累托有效均衡：賣者和買者開出相同的價格每一方得到正的剩余。

下面我們看不完全信息的情況，即c和v各為私人信息，但雙方的估值分布是共同知識。那么戰略組合是一個貝葉斯均衡，如果下列條件成立：

因為v在[0,1]上均勻分布，因此我們有

代入（1）式后，最優化的一階條件為：

同理我們可以得到買者的最優化一階條件：

解兩個一階條件得均衡戰略為：

（二）基于梯形分布的雙方叫價拍賣模型

若一個隨機變量的密度函數可以表示為：

則稱該隨機變量在區間[0,1]上服從梯形分布。（密度函數圖像如圖1）

圖1 梯形分布密度函數圖

下面我們假設c和v都服從區間[0,1]上的梯形分布。

1.賣者最優

其次，由于

其中

所以

⑴若

由一階條件得

由一階條件得

由一階條件得

2.買者最優

對于買者我們做同樣的分析。

首先，因為

由一階條件得

二、基于梯形分布的雙方叫價拍賣模型的均衡分析

以下我們通過數值實例對兩種分布下的雙方叫價拍賣模型進行分析比較。假設

在此情況下，無論是改進的雙方叫價模型還是經典的雙方叫價模型買者的出價都高于賣者的要價，所以兩個模型都能達到均衡，但是如果記為改進的雙方叫價模型的買者與賣者的要價差，記為經典的雙方叫價模型的買者與賣者的要價差，我們有則也就是說，在此情況下改進的雙方叫價模型的買賣雙方的報價差小于經典雙方叫價模型的買賣雙方的報價差，因此改進的模型與現實的吻合性更好，雙方都得到了更為合理的均衡。

在此特殊情況下，經典的雙方叫價模型不能成交，而且改進的雙方叫價模型買者的出價都低于賣者的要價，因此也不能成交。但是同樣有也就是說，在此情況下雖然兩種模型都不能成交，將進入第二輪拍賣過程，但改進的雙方叫價模型的買賣雙方的報價差小于經典雙方叫價模型的買賣雙方的報價差，相比之下改進的雙方叫價模型在第二輪拍賣中更容易成交。

在此種情況下，經典的雙方叫價模型和改進的雙方叫價模型買者的出價都低于賣者的要價，因此也不能成交，拍賣同樣將進入第二輪拍賣過程。但注意到即在此情況下雖然兩種模型都不能成交，但改進的雙方叫價模型的買賣雙方的報價差小于經典雙方叫價模型的買賣雙方的報價差，相比之下改進雙方叫價模型在第二輪拍賣中更容易成交。

三、結論

若拍賣者的出價服從均勻分布，說明拍賣者的出價在區間[0,1]上隨機取值，與現實拍賣情況不太符合。

若拍賣者的出價服從三角形分布，拍賣者的出價由低到高，在一定點處達到最大，集中趨勢表現最為明顯，隨后即下降。而若拍賣者的出價服從梯形分布，拍賣者的出價由低到高，在一定點處集中趨勢最明顯，且保持一定水平后才下降，這在理論上更符合現實拍賣中的實際情形。

通過以上的算例討論可以知道，當拍賣者出價服從梯形分布時，相對于經典模型與三角形分布的均衡結果，我們證實梯形分布的假設與現實中拍賣情況的吻合性更好。