軸心軌跡測量中圓弧形導致的偏差及其修正方法

馬會防， 萬 召

(中國航發商用航空發動機有限責任公司，上海 200241)

通過兩個相互垂直的位移傳感器，可以對轉子進行軸心軌跡的測量。軸心軌跡的分析，在水泵[1-2]、發電機[3-5]、機床[6]等多種旋轉設備均有應用，基于對軸心軌跡分析所得到的特征，可判斷設備的運行狀態；特別是在故障診斷方面，關于軸心軌跡的研究成果非常豐富，例如，基于軸心軌跡的轉子升速過程故障特征提取[7]，基于軸心軌跡形態的轉子裂紋故障分析[8],基于軸心軌跡自動辨識高速主軸系統的故障等等，這些研究表明軸心軌跡在旋轉設備中已有廣泛而重要的應用。

近些年來來，隨著我國大力發展航空發動機，軸心軌跡在航空發動領域中的應用也日益深入與廣泛。文獻[9-14]在系統動特性、載荷下的響應、系統穩定性等方面應用到軸心軌跡，文獻[15-16]將軸心軌跡引入到指尖封嚴與泄漏特性的研究中，文獻[17]結合航空發動機轉子對軸心軌跡的提純進行了研究，文獻[18]在分析靜偏心對擠壓油膜阻尼器減振特性的影響時，從軸心軌跡方面進行了研究，文獻[19-20]在進行發動機旋轉葉片-機匣碰摩、軸承座松動等研究時，也進行了軸心軌跡的分析，文獻[21]則基于葉尖間隙測量系統的軸心軌跡測量技術進行了探討。

航空發動相關的軸心軌跡測量，需要結合結構具體特點進行研究，例如，研究擠壓油膜厚度的動態變化時，可在擠壓油膜阻尼器中進行軸心軌跡測量，由于油膜半徑間隙一般在0.1～0.25 mm，即徑向上位移范圍為±0.25 mm，范圍較小，因此對軸心軌跡的測量精度較高，需要盡可能地減少測量誤差；再如，研究葉片斷裂飛脫的試驗中，徑向上位移范圍較大，這在種情況下，如何測得較為精確的軸心軌跡，值得深入研究，已有文獻中對該方面的研究較少，文獻[22]僅涉及到軸心軌跡的提純，而非對軸心軌跡直接提高測量精確度的研究。

為滿足越來越高的測試要求，進一步提高軸心軌跡的測量精度，本文分析了測試截面上轉子圓弧形對測試結果的影響，探討了測量截面上的轉子半徑R以及徑向位移對測量精度的影響，研究表明，測量截面上的轉子半徑越小、徑向位移越大，則測量值與實際值偏差就越大。在對測量偏差進行分析的基礎上，提出了一種測量偏差的修正方法，給出了修正計算公式，該方法需要輸入測試截面的轉子半徑，然后基于測得的位移可計算實際的軸心位移，可以消除圓弧導致的測量偏差，在一定程度上提高測量精度。

該方法簡單，實用性強，即可用于實時測量系統，也可用于測量后的數據處理中，具有重要的實際工程應用價值，對于提高振動測量精度等方面具有重要的參考價值。

1 偏差分析

1.1 偏差產生的原因

軸心軌跡的測量，一般選取轉子某個截面，在截面上布置兩個相互垂直的位移傳感器，開始采集后，每一個數據采集時刻都可以從兩個傳感器分別獲取一個位移值，將該組位移值繪制在平面上，形成軸心軌跡的一個點，下一個采集時刻，形成軸心軌跡的下一個點。

假設某個時刻，轉子軸心只在一個方向上產生了位移，如圖1所示，轉子軸心由O點水平移動到O’點，在X方向(水平方向)的位移為|OO’|=x，測量值與實際位移值一致；轉子軸心在Y方向上未發生位移，但是，Y方向上的位移傳感器會測得一個位移值y，顯然，y屬于測量偏差。同樣，如果僅在Y方向上產生軸心位移時，則在X方向上會產生一個位移測量偏差值。

圖1 測量偏差示意圖Fig.1 Sketch for measurement deviation

由圖1可知，產生測量偏差的原因在于被測截面是個圓弧形，由于測點位置是固定的，當轉子軸心在一個方向上移動時，必然在另一個方向上引起測量偏差。

圖1只是軸心位置的一個特例，當軸心位置不在圖示的坐標軸上時，軸心位移測量值并不等于軸心的實際位移值，兩個傳感器的測量值都含有一定的偏差量，測量值是真實位移值與偏差值的疊加值，下面將采用MATLAB仿真計算對旋轉過程中產生的偏差進行更為詳細的說明與描述。

MATLAB對轉子進動時軸心軌跡的仿真計算模型，如圖2所示，轉子以偏心半徑e進行圓形進動，轉子截面半徑R，設位移傳感器布置在坐標軸的正半軸上，兩傳感器測得的位移值分別為x，y，顯然x，y是圓心坐標(x0，y0)的函數，其關系式為

(1)

式中：x0=ecos(θ);y0=esin(θ)。

由式(1)可根據圓心坐標(x0，y0)得到測量值x,y。

圖2 MATLAB仿真模型示意圖Fig.2 Sketch for MATLAB simulation model

x，y構成的軸心軌跡中包含有測量偏差的軸心軌跡。根據該MATLAB仿真模型進行計算，可以模擬出測量得到的軸心軌跡，例如，偏心距e=1 mm、轉子截面半徑R=3 mm時，x，y的仿真結果如圖3所示。

圖3 MATLAB模擬的軸心軌跡測量結果Fig.3 Results of measurement on axis orbit from MATLAB simulation

由圖3可知：(1)當一個通道的測量值達到最大時，該通道此時的測量偏差最??；(2)當一個通道的測量值達到最大時，另一個通道此時的測量偏差最大。

將上述的x，y，繪制成軸心軌跡，如圖4所示。

圖4 x與y構成的軸心軌跡Fig.4 Axis orbit of x and y

由圖4可知，軸心軌跡在第一、第三象限的測量偏差較大，當然，這與傳感器的布置位置有關系，如果傳感器不是布置在0°,90°，而是布置在90°,180°，則測量偏差將在第二、第四象限較大。

1.2 偏差大小的量化分析

由“1.1”節可知軸心軌跡產生測量偏差的原因，但未知這種偏差對測量結果的影響具體有多大，本節將嘗試量化分析偏差的大小。

圖1所示情形——在X方向的位移測量值不含有測量偏差量，而在Y方向上的測量值恰恰全部為偏差量，非常適合于進行偏差的量化分析與研究。

結合圖1，圖中所示偏差量y可以表示為y=|AB|=|AO|-|BO|，圖中測試截面上的圓半徑為R，即|BO’|=|AO|=R，可得

(2)

式中：y為偏差量的絕對值，為考察偏差量的相對大小，以y/x的百分比表示偏差量的相對值。

根據工程中常見的轉子位移幅值范圍，取X方向上的位移x具體范圍值為0.05～2 mm，取常見的轉子半徑R為10～200 mm，根據式(1)可計算(x，y)，x∈(0.05,2)，y∈(0.05,2)，R∈(10,200)范圍內y/x的百分比，如圖5所示。

圖5 y/x百分比曲面Fig.5 Surface of y/x percentage

由圖5可知：(1)X方向位移值的大小，位移值x越大，Y方向測量的偏差相對值就越大，近似于一種線性增加；(2)測量截面圓半徑的大小，圓半徑R越小，測量偏差相對值就越大，非線性增加，圓半徑R較小時，增加很快；(3)位移值與測量截面圓半徑的聯合影響，當圓半徑R較小，且位移值較大時，測量偏差相對值很大(可達10%量級)；當圓半徑R較大，且位移值較小時，測量偏差相對值較小。

根據上述分析，在工程應用中，我們可以：

(1)采用式(1)對測量偏差的大小進行評估；

(2)為減少測量偏差，在徑向跳動都滿足測量精度要求的各轉子截面中，盡可能地將測量截面選擇在轉子截面半徑較大處；

(3)對測量精度要求高的情況下，有必要對測量值進行修正。

2 偏差的修正

2.1 修正方法

由“1.2”節可知在一定情況下，軸心軌跡的測量偏差較大，需要進行修正，以消除修這種圓弧形導致的測量偏差。

修正方法與原理(見圖6)，當轉子軸心由O點運動到O’點時，在X方向上的測量值為x，其實際位移值為x0，同樣，在Y方向的測量值為y，其實際位移為y0。如果求出x0與y0，則求出了轉子軸心的實際位移。

圖6 修正方法解釋用圖Fig.6 Explanation for modification method

在坐標系XYO中，圓O’的中心坐標為(x0，y0)，它與坐標軸交于B點和C點，兩點坐標分別為(0，R+y)、(R+x，0)，則將兩點坐標代入圓O’的方程，可得方程組

(3)

解方程組可得，解一

(4)

解二

(5)

從數學上講，式(3)方程組的確存在兩組解，解不唯一，如圖7所示，圓O’與圓O’’均是方程組的解，兩圓都通過點B、點C，且半徑均為R。

圖7 式(3)方程組的兩個解Fig.7 Two solutions for equation group(3)

分析解二的表達式可知，x0，y0分別由兩項相加而得，若忽略帶有根號的第二項，則x0，y0分別為(R+x)/2，(R+y)/2，x0，y0的值可達到R的量級，而一般情況下的位移值較小，即測試截面半徑R遠大于位移測量值x，y以及修正后的位移值x0，y0，因此可以排除解二的可能；但在位移值與R量級接近的特殊情況下，需要謹慎考慮解二的可能性。

由公式可知，在軸心軌跡測量的ti時刻，根據ti時刻測得的X方向、Y方向的測量值xi，yi，及時計算出實際軸心位移值x0i，y0i，所以，軸心軌跡的修正方法可在實時測量系統中對軸心軌跡進行實時修正。當然也可以先采集、存儲數據，獲得數據后再進行后處理以修正數據。

2.2 修正方法的驗證

由于“2.1”節中采用理論推導的方法得到修正公式，這種情況下很難再采用理論方法證明公式的正確性，但可以采用實例計算進行一次驗證。

前面“1.1”節中的軸心軌跡數據含有圓弧形導致的偏差，可用“2.1”節中的數據修正方法進行修正。以X軸為起始點，逆時針方向為順序，對軸心軌跡上的各點依次利用“2.1”節解一中的式(4)，進行數據的修正。修正前后的軸心軌跡對比如圖8所示。

圖8 修正前后軸心軌跡對比Fig.8 Axis orbits before and after being modified

由圖8可知修正后的數據圓度明顯得到改善。

前面“1.1”節中的軸心軌跡理論上是半徑為1 mm的一個圓，修正后的軸心軌跡上各點的x，y與其對應的理論值相減，可得到x，y在各處的偏差量，如圖9所示。

圖9 修正值與理論值的偏差量Fig.9 Deviation between modified data and theoretical data

修正后的數據與理論值偏差在10-15mm以內，偏差非常小，修正方法可以消除圓弧形導致的測量偏差。

2.3 工程應用

某轉子軸心軌跡測量截面上的圓半徑R為20 mm，該測試對測試結果精度要求較高，需要對測得的軸心軌跡進行修正，以消除圓弧形測量截面引起的偏差。

運用“2.1”節解一中的式(4)，對X，Y方向上各時刻的位移測量數據依次、逐點進行修正，修正前后的時域數據對比如圖10所示。

由修改前后的X，Y方向的時域數據圖可知，在各峰值處測量偏差變小，這與圖1中所示的情形是相應的，圖10中的峰值對應于圖1所示的軸心軌跡在坐標軸上的情景，此時，測量值接近實際位移值。

修正前后的軸心軌跡如圖11所示。

圖10 修正前后XY方向的時域數據Fig.10 Time field data in X and Y direction before and after being modified

圖11 修正前后的軸心軌跡Fig.11 Axis orbits before and after being modified

軸心軌跡在第一、第三象限得到較大量的修正。

3 結 論

首先，本文分析了轉子軸心軌跡測量中圓弧形導致的測量偏差，以及偏差的大小與截面半徑、徑向位移的關系；其次，提出了偏差的修正方法，該方法計算公式簡單，容易理解，便于應用，可用于實時測量系統，也可用于后處理程序中，最后，提供了一個軸心軌跡修正的實例。

本文解決了軸心軌跡測量中圓弧面導致的偏差問題，有利于提高測量結果精度，具有很強的工程實際應用價值。