考慮套管邊界和液柱高壓的射孔液壓力脈動規律分析

李明飛， 竇益華， 曹銀萍， 于 洋， 曹 亭

(西安石油大學 機械工程學院，西安 710065)

當前射孔工藝不斷追求大孔徑、高孔密射孔，將增加射孔總的爆轟能量，引起射孔液強烈波動及射孔段管柱劇烈振動，國內西部陸上油田和美國Fort Worth盆地[1]、Arkoma盆地[2]、墨西哥灣[3]等的油氣開采也遇到射孔事故。為此，有必要探尋射孔液壓力脈動規律，為射孔段管柱動力響應和安全性分析提供依據。

文獻[4]對爆距不大于4 倍炸藥半徑范圍內的鋼板進行了水下爆炸試驗，分析了近距接觸沖擊波的傳播以及與氣泡的相互作用。文獻[5]利用高速相機，測量水中爆轟近場沖擊波，根據沖擊波的掃描軌跡求得沖擊波陣面壓力，并外推沖擊波的初始壓力，用LS-DYNA分析了柱形裝藥近場壓力沿軸向的衰減規律。

文獻[6]對射孔管柱進行了應力強度和瞬態響應分析，得到了管柱位移、速度、加速度、應力等對射孔沖擊載荷的影響規律。文獻[7]對深水自由場、近自由液面、近剛性壁和彈性邊界等不同邊界條件下的水下爆炸氣泡動態特性進行了仿真分析。文獻[8]對復雜邊界近場水下氣泡脈動規律進行了實驗研究，通過高速攝影以及對流場參數、表面壓強和變形響應量的測量，分析了復雜邊界的近場氣泡的壓力脈動特性。文獻[9]采用銅絲電極低電壓條件下打火生成氣泡的方法，配合高速攝影技術，研究了兩平行板間與筒狀區域構成的對稱邊界附近氣泡的脈動特性。文獻[10]采用數值模擬方法，分析了爆轟沖擊下深水圓柱的動態響應，分析了破壞程度與水深之間的關系。文獻[11-12]應用有限元二維分析方法，模擬了爆轟波疊加和干擾對射流偏轉角的影響，關注點為射流偏轉角。

綜上所述，射孔液壓力脈動是水下爆炸的特殊課題，與傳統水下爆炸相比，具有爆點距液面深、靜液柱壓力大、狹長小空間邊界限制等差異，使得射孔液壓力脈動分析與傳統的近液面、小壓力和自由及半自由水下爆炸區別很大，傳統研究成果無法直接應用，需要開展針對性研究。本文考慮相變界面沖擊波傳播的連續性，基于Tait方程，建立沖擊波初始壓力分析方法；考慮套管狹長邊界條件限制，闡明沖擊波傳播規律，構建直達沖擊波分析方法；基于波的反射原理，建立套管交界面、射孔液參數的近似圖解和波反射的分析方法；應用直達和反射波的疊加原理，建立壓力脈動分析方法。

1 爆距對沖擊波峰值壓力影響分析

爆距為0～6倍球形裝藥半徑的爆轟即為接觸爆轟，沖擊波直接作用于套管內壁面。趙繼波擬合了實驗數據，建立了TNT柱形裝藥水下沖擊波傳播距離與時間變化關系的公式

(1)

式中：c0為水中聲速，1.5 km/s；Ai為擬合系數，表征沖擊波強度；Bi為擬合系數，表征沖擊波衰減時間；D為TNT炸藥爆速，D=6.8 km/s。

文獻[13]應用LS-DYNA軟件模擬了水下爆轟壓力沿軸向的衰減曲線，擬合得到了水下軸向爆轟壓力衰減方程

pm=ph+12.02e-0.031x,x<140 mm

(2)

式中：ph是穩定后的壓力，ph=0.23 GPa。

假設柱形裝藥高為h1，球形裝藥半徑為r，R=1/4h1=1/3r，r=3/4h1。高達數千米的射孔液靜液柱壓力為爆轟前初始壓力，記為P0，為沖擊波最終衰減值，Patm為大氣壓。假設原始深度為h，則初始壓力為

P0=Patm+ρgh

(3)

代入(1)和式(2)，得到位移隨時間變化以及壓力峰值和距離關系的公式

(4)

pm=p0+pxe-0.031(R-1/3r)

(5)

式中：pm為爆距R處的壓力峰值，GPa；px為射沖擊波的初始壓力，GPa。

對式(1)求導，即可得到波陣面速度隨時間變化的關系式

(6)

式中：us為波陣面速度，km/s；n=2；A1=7.2；B1=7.5×10-2；A2=4.9×1010；B2=7.8×10-13。

根據式(4)，借鑒根據TNT水中爆炸沖擊波峰值的相似律定理[14]，可計算近、中遠場沖擊波壓力峰值Pm

(7)

式中：R為爆距，m；K與α值與比例距離r有關，12≤r<240，K=5.2×107，α=1.13，6≤r≤12，K=4.4×107，α=1.50；m為裝藥質量，kg。

以TNT球形裝藥為例，r=14 mm，裝藥質量為18.1 g，靜液柱壓力P0=65 MPa，沖擊波初始壓力Px=4.1 GPa，分別代入式(4)和式(6)，分析各點處峰值壓力，結果如圖1所示。代入式(7)，分析波的傳播速度，代入式(4)分析沖擊波到達時間，結果如圖2～圖 4所示。r=4.5，峰值壓力為0.75 GPa，位于離射孔彈最近套管內壁面與射孔液界面處，隨后，壓力隨爆距增大先迅速減小到0.2 GPa，之后減小速度趨于平緩，并最終恢復到P0。由圖3可知，波陣面傳播速度最大值為4.17 km/s，也出現在r=4.5處，隨著爆距的增加迅速下降到1.79 km/s，保持穩定。由圖4可知，r=4.5處，沖擊波到達時間為22.7 μs，隨爆距增大而增長。

圖1 依據爆距劃分爆轟類型示意圖Fig.1 Schematic diagram of detonation type explosion distance

圖2 沖擊波峰值壓力與比例距離關系曲線Fig.2 The variation of peak pressure of shockaccording waveto with proportional distance

圖3 波陣面傳播速度隨爆距變化規律Fig.3 The variation of wave front propagation

圖4 時間隨爆距的變化規律Fig.4 The variation of time with velocity with proportional distanceproportional distance

2 套管界面沖擊波反射規律分析

若沖擊波由甲物質傳播到乙物質，將從交界面向入射物質中反射沖擊波或稀疏波[15]。當乙物質密度明顯小于甲物質，即比甲物質“軟”時，傳播稀疏波，反之，則傳播反射波。兩種情況的速度和壓力變化如圖5所示[16]。

圖5 沖擊波渡越時的速度和壓力圖Fig.5 Speed and pressure map of a shock wave when passing through a mediummedium interface

若兩介質的沖擊絕熱線已知，在(p，u)平面，繪制兩介質的p(u)曲線C和M(或N)。如圖6所示，點a表示物質甲中的入射沖擊波參數，即u=ua，p=pa。物質乙的沖擊絕熱線位于物質甲下方，反射波為稀疏波，即為N曲線，表現為b點處壓力減小， 速度增大； 反之則得到M曲線，表現為d點處壓力增大，速度減小，反射波是沖擊波。使用matlab擬合圖4曲線，建立沖擊波傳播時間和爆距的公式

t=8×r-30

(8)

圖6 確定沖擊波分界面時初始參數近似圖解Fig.6 Approximate diagram of initial parameters for determining the shock wave crossing

式中：r為比例距離，滿足精度的取值為0≤r≤26.3。

已知物質的沖擊絕熱線的形式為

D=a+λu
或D=a+λu+λ0u2

(9)

射孔液中沖擊波陣面上沖擊波速度DⅡ可根據式(10)計算，式中系數如表1所示。

(10)

表1 沖擊絕熱線式(10)的系數

沖擊波陣面處的質量和動量守恒方程為

ρ0D=ρ(D-u)

(11)

P-P0=ρ0uD

(12)

式中：ρ為波陣面上的介質密度，g/cm3；ρ0為物質初始密度，g/cm3；D為沖擊波速，km/s；u為波陣面上的粒子速度，km/s；P為波陣面上的壓力，GPa；P0為波陣面前的壓力(P0?P時可以忽略P0)，GPa。

聯立式(9)和式(11)可得波陣面上粒子速度和壓力關系

(13)

將式(8)代入式(11)中可得P=P(u)形式的沖擊絕熱線方程

P-P0=ρ0(a+λu+λ0u2)u

(14)

如圖7所示，根據式(13)繪制射孔液的沖擊絕熱線。射孔液壓力為靜液柱壓力，波陣面上的粒子速度為0，隨壓力升高，粒子速度增大，壓力達到最大值0.75 GPa，粒子速度達到322 m/s。由圖8可知，沖擊波在套管中傳播時，波陣面壓力與粒子速度成正比。

(15)

將式(15)代入式(14)中，可得P=P(ρ)形式的沖擊絕熱線方程

(16)

因為比容v=1/ρ，可以得到P=P(v)形式的沖擊絕熱線方程

(17)

式中：v為沖擊波陣面后比容，cm3/g；v0為沖擊波陣面前比容，cm3/g。

將射孔液參數代入式(17)，在(p，v)平面繪制射孔液等熵卸載線，如圖9(a)所示。v=0.77 cm3/g、密度為1.3 g/cm3時，射孔液壓力為65 MPa，說明射孔液未壓縮，與實際情況相符。v=0.5～0.6 cm3/g處，沖擊波壓力逐漸增大，射孔液密度迅速增大，說明射孔液壓縮到一定程度時，所需壓力也迅速增大。v<0.5 cm3/g時，射孔液壓力隨比容下降而下降，說明在v=0.5 cm3/g處，射孔液的流體性質發生了改變。實際應用中，可取v=0.5～0.6 cm3/g的等熵卸載線，如圖9(b)所示。

圖7 射孔液的沖擊絕熱線圖Fig.7 Perforating liquid impact insulation diagram

圖8 套管沖擊絕熱線圖Fig.8 Casing impact insulation diagram

圖9 射孔液的等熵卸載線Fig.9 Perforating fluid isentropic unloading line

pr=pA-pB

(18)

如圖11所示，采用表1和表2的值，運用式(16)和式(17)，繪制沖擊波由射孔液傳到套管內壁面的近似圖解，依據圖10原理分析反射波大小，分析結果如表3所示。離射孔彈最近套管處的爆距為62.3 mm，由式(16)分析求得峰值壓力為75 MPa。根據式(14)，求得射孔液波陣面上粒子速度uA=0.32 km/s，即為圖11(a)中的A點，過A點作P=P(v)曲線下半支曲線1，再作曲線2，曲線2關于射孔液的p=p(u)曲線對稱。曲線2與套管P=P(u)曲線相交在B點，即為交界面處波陣面狀態參數對應的點，壓力為3.8 GPa，速度uB=0.13 km/s。隨爆距增大，交界面處速度、壓力和反射能越來越小。R=307.7 mm處，反射波壓力Pr=50 MPa，低于65 MPa，說明R=307.7 mm時，套管的反射作用可忽略，說明16孔/m射孔，某一射孔彈周圍的4顆射孔彈將會對該射孔彈產生影響，其余遠端彈的作用可忽略。

表2 爆距和比例距離表

圖10 由低動力學阻抗傳入高動力學阻抗物質的沖擊波傳播示意圖Fig.10 Schematic diagram of shock wave propagation from low dynamic impedance medium to high dynamic impedance medium

表3 不同爆距對應的沖擊波參數

圖11 射孔液和套管交界面上沖擊波參數近似圖解Fig.11 Approximate diagram of shock wave parameters at the interface between perforating fluid and casing

3 考慮沖擊和反射波疊加射孔液的壓力脈動分析

根據文獻[17]提出的的爆轟載荷階段劃分，射孔壓力脈動曲線可分為：①原始靜液柱壓力階段；②指數形式衰減階段，壓力迅速衰減到1/3峰值；③倒數形式衰減階段，衰減速率明顯減緩，該階段壓力很小，變化幅度也很小，近似認為此段區域壓力為0。沖擊波到達某點時，壓力瞬間跳躍到峰值，并以指數函數降低至峰值的1/3，衰減系數為θ。此階段射孔液中任一點的壓力為

P(t)=Pm·e-t/θ, 0≤t≤θ

(19)

式中：時間衰減系數θ由試驗確定，或由式(20)計算確定

(20)

式中：r0為裝藥半徑，m；c=1 500 m/s為射孔液中聲速。

從1/3壓力峰值降低到初始壓力階段，壓力隨時間變化關系的公式為

(21)

其中，各參數計算公式為

(22)

爆轟沖擊波對射孔液的沖擊和擾動，使射孔液發生壓力脈動，射孔液壓力脈動是水下爆炸的特殊課題，與傳統水下爆炸相比，具有爆點距液面深、靜液柱壓力大、狹長小空間邊界限制等差異，使得射孔液壓力脈動分析與傳統的近液面、小壓力和自由及半自由水下爆炸區別很大，傳統研究成果無法直接應用，有必要開展針對性研究。需考慮接觸、近和中遠場爆轟的不同，需考慮套管內壁面反射作用，需考慮沖擊波反復疊加作用。如圖12所示，給出了射孔液與套管交界面處0號彈的射孔壓力脈動分析圖，該點壓力包括0號彈沖擊波的反射壓力脈動P0(t0)，也包括1～4號彈發出的強沖擊的反射波Pri(i=1,2,3,4,)，還包括該點處疊加壓力脈動Pi(ti) (i=1,2,3,4,)，因此，該點的射孔壓力脈動用式(23)分析

P0(t0)=Pr0·e(-t0/θ),t0=0～8.3

P1(t1)=[P0(t=8.3)+Pa1]·e(-t1/θ),t1=0～23

P2(t2)=[P1(t=23)+Pa2]·e(-t2/θ),t2=0～31

P3(t3)=[P2(t=31)+Pa3]·e(-t3/θ),t3=0～33

P4(t4)=[P3(t=33)+Pa4]·e(-t4/θ),t4>0

P(t)=P0(t0)+P1(t1)+P2(t2)+P3(t3)+P4(t4)

(23)

式中：Pr0=3.05 GPa，為0號彈反射壓力；θ=12.3 μs，為時間衰減常數；Pai的值可根據宗智研究中的方法求得，為第i號彈沖擊波的反射壓力。

圖12 射孔液與套管交界處正面射孔液壓力脈動分布圖Fig.12 Analysis of the pressure pulsation of the front perforating liquid at the interface between the perforating liquid and the casing

式(23)的計算結果如圖13所示，當沖擊波到達該點時，壓力瞬間達到3.05 GPa，隨后以指數形式高速衰減，再以倒數形式衰減，最終恢復為初始壓力65 MPa。圖14給出了1～4號彈產生的沖擊波對壓力脈動的影響曲線圖，14.4 μs時，0號彈沖擊波到達，壓力瞬間達到3.05 GPa，隨后以指數函數衰減至1.7 GPa，22.7 μs時，1號彈沖擊波到達，在套管內壁反射后疊加，壓力為Pa1，隨后Pa1追上p0(t)卸載部分，壓力達到2.3 GPa，再次以指數函數衰減，2～4號彈的影響與1號類同。對比考慮和不考慮彈間干擾和疊加的壓力脈動曲線，爆轟波的干擾和疊加使得射孔液壓力存在數個波峰，增大了壓力脈動振幅和峰值；另外，單射孔彈時壓力恢復到初始壓力的時間為60 μs，多射孔彈時為90 μs，壓力恢復時間增長了30 μs，說明疊加作用增加了壓力脈動的強度。

圖13 射孔液與套管交界面處正面射孔液壓力脈動規律圖Fig.13 Pressure pulsation diagram of the front perforating liquid of perforating bullet at the interface between perforating liquid and casing

圖14 1～4號射孔彈產生的沖擊波對射孔液壓力脈動的影響規律圖Fig.14 The effect of shock wave generated by perforating bullets 1—4 on perforating liquid pressure pulsation

考慮到常用射孔槍彈間結構的相似性，圖14中的射孔液壓力脈動規律可為常規的射孔槍彈組合下射孔的壓力脈動分析提供參考。式(23)即為考慮爆點距液面深、靜液柱壓力大、狹長小空間邊界限制、反射和疊加的射孔液壓力脈動分析公式，可為射孔管柱的動力響應和動力強度安全、射孔時封隔器的密封及完整性分析提供依據。

4 結 論

本文建立了沖擊波初始壓力分析方法，建立了沖擊波傳播規律研究方法，得到了直達沖擊波理論分析方法，構建了射孔液、套管交界面參數的近似圖解和反射波的理論分析方法，考慮反射和疊加，闡明了射孔液壓力脈動規律，得到以下結論。

(1)考慮射孔井的深液面下爆轟、高靜液柱壓力特點，建立了爆轟產物向射孔液擴散形成沖擊波的初始壓力分析方法，并經實例井驗證。

(2)考慮套管狹長邊界條件限制，闡明了沖擊波傳播規律，構建了直達沖擊波分析方法；基于波的反射原理，建立了套管交界面、射孔液參數的近似圖解和波反射的分析方法，實例分析表明，峰值壓力可達0.75 GPa級別，波陣面速度可達4.17 km/s級別，隨爆距呈指數衰減至初始壓力值65 MPa，沖擊波陣面傳播時間與爆距呈正比。

(3)構建了射孔液、套管交界面參數近似圖解法和反射波理論分析方法。實例分析表明，反射波壓力明顯大于入射波，并隨爆距增大而減小。某一射孔彈周圍的4顆射孔彈將會對該射孔彈產生影響，其余遠端彈的作用可忽略。

(4)考慮套管內壁面的反射和波間干涉，建立了完整的聚能射孔壓力脈動規律分析方法，并根據實際生產井的參數，分析了該井的射孔壓力脈動曲線，對比分析考慮和不考慮彈間影響的壓力脈動，彈間影響使得射孔液壓力存在多個波峰，增大了壓力脈動振幅和峰值；另外，多彈射孔較單枚射孔壓力恢復到初始壓力的時間增長了30 μs，說明疊加作用增加了壓力脈動的強度。