考慮阻尼材料頻變特性的結構響應計算方法

劉 嵐， 劉雨儂,2， 劉 超， 劉 更， 吳立言， 岳彥炯

(1.西北工業大學 陜西省機電傳動與控制工程實驗室，西安 710072;2.中國運載火箭技術研究院，北京 100076；3.中國船舶重工集團公司第七〇三研究所， 哈爾濱 150078)

阻尼材料本身具有高耗能特性，可以在相當寬的頻帶范圍內抑制結構的振動[1]。為了對附加阻尼結構減振性能進行越來越精確的評估，如何在考慮阻尼材料頻變特性的情況下準確進行建模和振動響應計算成為附加阻尼結構振動響應分析的關鍵。

附加阻尼結構振動響應計算的基礎在于對整體結構的準確建模。目前針對附加阻尼結構的建模方法可以分為復模量法、模態應變能及有限元法、解析法三大類[2]。復模量法應用在早期研究中，其忽略阻尼材料的頻變特性，將彈性模量和損耗因子等效為常數處理。Ungar等[3]將阻尼材料的彈性模量近似為復常數，提出了阻尼結構的損耗因子及其計算方法，用來衡量結構的耗能屬性。譚峰[4]在各個頻段內選取常數彈性模量計入復模量法進行了建模，完成了箱體振動加速度和聲輻射的計算，并通過試驗驗證了該方法基本滿足工程應用。模態應變能及有限元法以有限元分析為主要手段，由Johnson等[5]在有限元法的基礎上提出，通過各階模態下的應變能分布求得各階模態阻尼比。國內外學者對模態應變能法進行了深入的研究。Cura等[7]結合模態應變能法，提出了與頻率相關的修正系數，間接考慮了材料頻變特性。Hujare等[8]使用修正的模態應變能法在懸臂梁上進行布局設計并進行了試驗驗證。楊瑞[9]運用模態應變能法對簡單結構進行了分析，并通過試驗對結果進行驗證。解析法主要包括分數導數模型和GHM(Golla-Hughes-Mctavish)模型。其中GHM法運用比較廣泛，由Golla等[10]首先提出，后來經過Mctavish等[11]發展形成一套理論，可以在計入阻尼材料時考慮頻變特性，但其只對簡單梁、板結構進行了分析計算。Zghal等[12]用模態縮減法求解GHM模型中的微分方程，提高了該方法的計算效率。劉天雄等[13]基于哈密頓原理(Hamilton)，使用GHM模型與有限元法相結合，得到了結構的固有頻率、模態阻尼比和響應。總而言之，復模量法主要假設阻尼材料的頻變彈性模量為常數，在工程近似場合多使用這種簡化計算方法。解析法主要在復合結構的動力學方程中引入阻尼材料的本構關系，理論上可直接考慮阻尼材料的頻變特性，其理論清晰并能求得系統精確解，但由于方程的復雜性，它的求解依賴于簡單結構和特殊邊界條件，目前多用于簡單二維結構模型中。模態應變能及有限元法主要通過有限元分析求得各階模態的模態阻尼比，并可將其應用于基于模態的動力學響應計算中，但傳統的模態應變能法沒有考慮阻尼材料的頻變特性。

對附加阻尼結構進行準確建模的最終目的是進行復合結構振動響應的精確計算。常用的結構振動響應計算方法包括完全法和模態疊加法。在完全法計算結構振動響應時，可以在時域求解過程中直接計入材料的阻尼系數，作為材料耗能屬性加以考慮；而為了對復雜結構進行更加高效的計算，通常使用基于模態參數的模態疊加法進行結構振動響應計算[14]。阻尼系數作為其中一項重要的參數，對結構振動響應計算結果有較大的影響，目前取值基本依據工程經驗、試驗測量以及近似理論推導，存在有一定的局限性[15-17]。因此使用模態疊加法的前提是結構模態參數的準確提取，尤其是模態阻尼比的準確性。而目前附加阻尼結構在使用傳統模態應變能法提取模態參數時無法準確計入阻尼材料的頻變特性，在使用模態疊加法進行結構振動響應分析時也無法準確計入各階模態的模態阻尼比。

針對上述兩個問題，本文提出了一種考慮阻尼材料頻變特性的結構響應計算方法。該方法建立了一種考慮阻尼材料頻變特性的改進模態應變能法，準確提取了附加阻尼結構的模態參數；并在運用模態疊加法求解附加阻尼結構振動響應時將各階模態參數準確計入，從而能夠進行振動響應的準確計算。同時通過模態試驗和振動響應試驗驗證了該響應計算方法的準確性。

1 理論基礎

1.1 傳統模態應變能法

模態應變能法是Johnson等在有限元法的基礎上提出的，其基本思想是：在計算附加阻尼結構的模態應變能時，假設附加阻尼不會影響結構的模態振型，那么對于同一個結構可以用無阻尼模態近似代替有阻尼模態，通過無阻尼下的模態分析，得到各階模態下阻尼層模態應變能和總模態應變能的分布情況，從而求得各階模態的模態阻尼比。

在計算中，各階模態的模態應變能如式(1)所示。

(1)

式中：V為附加阻尼結構的總體積；{φ}為附加阻尼結構的實模態向量。

附加阻尼結構的總體剛度矩陣[K]如式(2)所示。

(2)

因此結構總的模態應變能如式(3)所示。

(3)

式中：[K]M為非阻尼層金屬材料的剛度矩陣；[K]V為阻尼材料的剛度矩陣。

通過這種方式將附加阻尼結構的總應變能分為非阻尼層應變能UM和阻尼層應變能UV。根據阻尼材料的耗能機理，可知阻尼層的耗能如式(4)所示。

(4)

式中：βV為阻尼材料的材料損耗因子。

通過模態損耗因子可以表征附加阻尼結構整體的耗能能力，其為阻尼層的耗能量與總模態應變能的比值。因此，附加阻尼結構某階模態頻率對應的模態損耗因子ηi如式(5)所示。

(5)

式中：i為附加阻尼結構的模態階數。

由于在模態試驗過程中直接得到的是模態阻尼比，所以在得到各階模態損耗因子后，可由式(6)換算成各階模態阻尼比ξi。

ηi=2ξi

(6)

由式(6)可知，傳統模態應變能法用實特征向量替代復特征向量計算各階模態阻尼比，可以大大地減小計算量。但是其在減小計算量的同時并沒有考慮阻尼材料的頻變特性，從而使得附加阻尼結構模態阻尼比計算的結果存在較大誤差，因此必須建立一種可以考慮阻尼材料頻變特性的建模方法。

1.2 模態疊加法求解振動響應

基于模態參數的響應計算一般使用模態疊加法，其基本原理是將多自由度的系統動力學問題解耦到模態坐標下，轉化為一系列單自由度的動力學問題。多自由度系統動力學方程如式(7)所示[18]。

(7)

式中：M,C,K分別為系統的質量、阻尼和剛度矩陣；{u}為系統位移列向量；{Fa}為系統所受激勵，一般為時間或頻率的函數。

根據各階模態特征向量的正交性，將上述物理坐標下的動力學方程解耦到模態坐標下，可得如式(8)所示的n個動力學方程。

(8)

式中：Mr為模態質量，Mr={φr}TM{φr}；Kr為模態剛度，Kr={φr}TK{φr}；Cr為模態阻尼，Cr={φr}TC{φr}=2Mrωrζr；Fr為模態力，Fr={φr}T{Fa}；其中r=1,2,…，h。

求解模態坐標下的動力學方程式(8)后可以得到每一階模態所對應的模態參與因子ηr，將其代入式(9)即可求得系統的振動位移響應{u}，從而求出系統的振動速度和振動加速度。

{u}=η1{φ1}+η2{φ2}+…+ηn{φn}=Φ{η}

(9)

式中：Φ為模態矩陣，Φ=[φ1,φ2,…，φn]；{η}為模態參與因子列向量。

由式(8)可知，在系統振動響應計算中，對于一個確定的結構和確定的激勵條件，模態質量Mr、模態剛度Kr和模態力Fr都是已知并確定的，只有模態阻尼Cr計入不夠明確，而其決定參數是模態阻尼比ξr。

因此如果可以準確得到結構所有模態的模態阻尼比，那么就可以得到更加準確的結構振動響應。但是對于復雜的多自由度系統，求解全部模態的模態阻尼比基本上是不太可能的；另一方面是對于確定的激勵工況，并不是結構的所有模態都可以被激起，大部分模態對振動的影響很小。因此在使用模態疊加法進行振動響應計算時并不需要計入結構的全部模態參數，只要將對振動響應貢獻較大的有限n階模態的模態阻尼比ξr進行準確計入，即可得到更準確的振動響應計算結果。

2 考慮阻尼材料頻變特性的結構響應計算方法

為了對附加阻尼結構的振動響應進行準確計算，提出了考慮阻尼材料頻變特性的結構響應計算方法。該方法在傳統模態應變能法的基礎上，建立了一種考慮阻尼材料彈性模量和損耗因子頻變特性的改進模態應變能法，通過迭代準確提取附加阻尼結構的模態參數；并在運用模態疊加法求解復合結構振動響應時將各階模態的模態參數準確計入，從而得到附加阻尼結構振動響應的準確計算結果。在仿真的同時通過模態試驗驗證了模態參數提取的準確性，并通過振動響應試驗驗證了該方法求解振動響應的準確性。詳細流程如圖1所示。

圖1 考慮阻尼材料頻變特性的結構響應計算方法Fig.1 Calculation method of structural response considering dynamic characteristics of damping materials

3 改進的模態應變能法

3.1 阻尼材料的頻變特性

阻尼材料屬性具有隨激勵和溫度變化的特性[19]。在穩定的外界溫度下，不同型號阻尼材料的屬性隨激勵頻率的變化特性不同。為了準確考慮阻尼材料的頻變特性，本文根據廠商提供的SA-3C型阻尼材料的屬性表，通過最小二乘法擬合得到該材料的彈性模量與損耗因子隨頻率變化的規律，如圖2所示。其中E(f)為阻尼材料頻變彈性模量;β(f)為阻尼的頻變材料損耗因子；f為頻率。

圖2表明阻尼材料的彈性模量和材料損耗因子受激勵頻率的影響明顯，在不同的模態頻率下對應的材料屬性是不相同的。因此在求解各階模態阻尼比的過程中，根據阻尼材料頻變特性曲線對模態應變能法中的阻尼材料屬性進行修正，可以得到準確的模態參數。

圖2 SA-3C型阻尼材料頻變特性Fig.2 Dynamic characteristics of SA-3C

3.2 考慮阻尼材料頻變特性的改進模態應變能法

本文提出了一種考慮阻尼材料頻變特性的改進模態應變能法。即在傳統模態應變能法基礎上，引入SA-3C材料的彈性模量和材料損耗因子隨激勵頻率的變化規律，通過迭代修正各階模態頻率對應的材料參數，完成附加阻尼結構的建模及模態參數的準確計算。

如圖3所示為使用本文改進模態應變能法求解M階模態參數的計算流程，具體計算步驟如下：

圖3 改進模態應變能法計算流程圖Fig.3 Flow chart of improved modal strain energy method

步驟1確定阻尼材料的類型、激振力的頻率范圍；

步驟2選取激振頻率范圍的均值fi對應的彈性模量E(Fi)和損耗因子β(Fi)，將其作為初始材料參數計入模態應變能法中對結構進行模態分析，得到第i階固有頻率Fi與對應振型；

步驟3將第i階固有頻率Fi和最初計入的材料屬性對應的頻率值fi通過|(Fi-fi)/Fi|≤ε進行判定。若滿足判定條件，輸出第i階模態的模態應變能分布；若不滿足判定條件則返回步驟2中修正阻尼材料參數為E(Fi)，β(Fi)，再次進行模態分析，直到滿足判定條件后停止迭代計算；

步驟4通過第i階模態應變能分布，利用模態應變能法求出模態損耗因子，進而求出該階模態阻尼比；

步驟5重復以上步驟2～步驟4完成其它階模態對應模態阻尼比的計算；

步驟6輸出M階模態的固有頻率、振型和模態阻尼比。

3.3 仿真與試驗模型

為了驗證改進模態應變能方法的準確性，本文以約束阻尼結構的矩形板為研究對象，將仿真與試驗結果進行對比驗證。

矩形板的幾何尺寸如圖4所示。其中，基層材料為鋼，彈性模量E1=201 GPa，密度為ρ1=7 850 kg/m3，泊松比為μ1=0.3，長寬厚為400 mm×400 mm×2 mm；阻尼層選用SA-3C型阻尼材料，其頻變彈性模量E(f)與損耗因子β(f)如圖2所示。密度為ρ2=1 450 kg/m3，泊松比為μ2=0.495，長寬厚為300 mm×300 mm×2 mm；約束層的材料為鋁，彈性模量為E3=68.9 GPa，泊松比為μ3=0.3，長寬厚分別為300 mm×300 mm×1 mm，密度為ρ3=2 700 kg/m3。約束阻尼結構的邊界條件為基層四邊的固支約束，阻尼層和約束層覆蓋在基層的正中部，三者共同構成約束阻尼板結構。

圖4 算例模型圖(mm)Fig.4 Example model(mm)

3.4 模態參數提取及試驗驗證

首先進行模態參數的仿真提取。依據SA-3C阻尼材料的頻變特性，使用改進模態應變能法進行迭代計算，提取了考慮阻尼材料頻變特性的各階模態參數，包括固有頻率、模態阻尼比和振型。使用改進模態應變能法仿真計算得到的結果見表1。

本文通過約束阻尼板的模態試驗對改進模態應變能法提取模態參數的準確性進行驗證。試驗模型與仿真模型一致，將復合矩形板的基層四邊固定在剛性架上達到四邊固支的效果。由于基層板正面粘貼了約束層和阻尼層，為測試基層結構在附加阻尼材料后的振動響應，在基層板反面布置9×9=81個測點，試驗模型基層測點布置和實測圖，如圖5所示。模態試驗使用的激勵方式是移動力錘法，選用DYTRAN 5800B4型沖擊力錘，通過預試驗得到力譜曲線可知有效試驗頻率范圍為0～750 Hz，故本文只研究該范圍內的模態特性。模態試驗后進行了數據的處理，主要包括頻響函

數擬合、模態參數提取。通過數據處理，可以得到模態疊加法所需要的模態參數，包括固有頻率、主振型和模態阻尼比，模態試驗結果如表1所示。

圖5 基層測點布置與實測圖Fig.5 Test points distribution diagram

表1 仿真與試驗模態參數對比

最后將模態試驗和改進模態應變能法仿真得到的前五階振型圖進行對比，結果如圖6所示，仿真和試驗得到的各階模態振型一致，表明了在試驗和仿真中不存在丟失模態的情況。

根據表1和圖6的結果，將改進模態應變能法、傳統模態應變能法提取的模態參數與模態試驗結果進行對比。改進模態應變能法提取固有頻率的誤差范圍為-3.04%～3.41%，模態阻尼比的誤差范圍為-0.03%～3.71%，其提取的模態參數與模態試驗結果較為接近。而傳統模態應變能法提取固有頻率的誤差范圍為0.84%～21.19%，模態阻尼比的誤差范圍為-10.84%～-17.02%，其僅在第四階與模態試驗結果較為接近，其余各階均存在較大誤差。

出現上述結果的原因是傳統模態應變能法計入的材料參數為平均頻率375 Hz對應的阻尼材料屬性，所以該方法的分析結果在375 Hz附近可以得到比較準確的模態參數，但是在遠離該頻率的情況下，其結果與試驗數據相比存在誤差。而本文的改進模態應變能法在計算過程中通過迭代，不斷修正材料的頻變彈性模量和損耗因子，因此各階模態的固有頻率和模態阻尼比結果與模態試驗結果更接近。

圖6 試驗與仿真振型圖對比Fig.6 Comparition of experiment and simulation modes

4 基于模態參數的振動響應分析與試驗

在改進模態應變能法準確提取模態參數的基礎上，本文使用模態疊加法進行了基于模態參數的結構振動響應分析，并與振動響應試驗結果進行對比。

分析模型仍使用上文所述的約束阻尼結構模型。在基層上選取相應的激振點和測試點進行振動響應分析，激振點與測試點位置如圖7所示。根據本文建立的考慮阻尼材料頻變特性的結構響應計算方法，為取代原有模態阻尼比的經驗值，將上文提取到的各階模態參數準確計入模態疊加法中進行振動響應計算，分別計算激振點1和點2時測試點的振動響應。同時在相同約束狀態下使用激振器進行振動響應試驗，將試驗結果與仿真計算結果進行對比。圖8為試驗與仿真的加速度頻響結果對比，其中圖8(a)和圖8(b)分別顯示當激振點1或激振點2被激勵時，仿真和試驗中測試點的振動加速度頻響曲線。

圖7 激振點與測試點位置分布圖Fig.7 The distribution of excitation points and test point

圖8 試驗與仿真的加速度頻響結果對比Fig.8 Comparison of acceleration frequency response results between experiment and simulation

對比仿真和試驗數據可知，基于本文方法進行的結構振動響應仿真結果基本和試驗結果吻合。在頻率0～500 Hz內，仿真和試驗結果的共振頻率誤差不大于5%，共振峰值的誤差不大于12%，二者基本吻合；而在頻率500～750 Hz內，仿真和試驗結果的共振頻率誤差不大于5%，共振峰值的誤差不大于25%；超過750 Hz后共振頻率和共振峰值的誤差變大，這是由于試驗過程中，附加阻尼材料后約束阻尼結構整體剛度下降，激勵錘與試件接觸時間增加，會導致激振力的有效頻率范圍降低，因此超過該頻率范圍的試驗數據會產生較大的誤差，導致仿真與試驗數據差異變大。但總體來看，上述振動響應數據的對比分析可以驗證本文方法在0～750 Hz頻段內計算附加阻尼結構振動響應問題上的準確性和有效性。

5 結 論

本文在傳統模態應變能法和模態疊加法的基礎上，建立了一種考慮阻尼材料彈性模量和損耗因子頻變特性的結構響應計算方法。并通過模態試驗和振動響應試驗對使用該方法的模態分析與振動響應仿真結果進行了對比驗證。得到主要結論如下：

(1)根據廠商提供的SA-3C型阻尼材料的材料屬性，擬合得到了該材料的彈性模量與損耗因子隨頻率變化的規律。得出了阻尼材料屬性受激勵頻率影響較為明顯的結論，明確了阻尼材料頻變特性對附加阻尼結構振動響應計算的準確性有較大影響。

(2)本文提出的改進模態應變能法以有限元法為基礎，用實特征向量替代復特征向量計算各階模態阻尼比，能夠在復雜結構的模態參數提取過程中減小計算量；其次通過迭代計入了阻尼材料的頻變特性，保證了模態參數的準確提取。本文方法相比解析法能更快速地提取三維復雜結構的模態參數，相比復模量法和傳統模態應變能法的準確性更高。同時本文方法提取模態參數的準確性得到了模態試驗的驗證，仿真值和試驗值的誤差小于3.71%。

(3)本文提出的考慮阻尼材料彈性模量和損耗因子頻變特性的結構響應計算方法，在通過改進模態應變能法提取準確的模態參數基礎上，基于模態疊加法進行振動響應計算時用準確的模態阻尼比替換原有的經驗值，進行了準確的振動響應計算，并與振動響應試驗結果進行對比，驗證了該方法的準確性。

(4)本文以約束阻尼板結構為模型進行仿真和試驗，對于仿真頻段和試驗頻段的準確性有較大的限制。在0～750 Hz的頻段范圍內，本文提出的考慮阻尼材料彈性模量和損耗因子頻變特性的結構響應計算方法得到的分析結果更加接近實際的試驗結果；在750 Hz以上頻段出現較大誤差，原因是在預實驗中力錘的力譜曲線顯示有效試驗頻率范圍為0～750 Hz。因此為了進一步驗證本文方法在復雜結構和更寬頻段范圍上的準確性，針對三維復雜結構的驗證性試驗將是后續研究的方向。