基于裂縫分布特征的RC框架中間節點受剪性能計算拉壓桿模型

董俊宏， 楊 紅,2， 趙雯桐

(1.重慶大學 土木工程學院，重慶 400045；2. 重慶大學 山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室，重慶 400045)

大量震害結果表明，鋼筋混凝土框架結構中若節點先于梁端、柱端出現塑性鉸而發生剪切破壞，則一般會造成嚴重損失。因此，對節點區進行正確的計算分析、抗震構造設計是確保結構抗震性能的重要環節。采用有限元方法模擬節點的受力規律時，正確計算節點區的剪應力-剪應變關系曲線是有限元模型合理、非線性變形計算結果準確的基礎和前提。因此，正確計算節點的剪應力-剪應變關系是亟待解決的問題。

在計算節點受力性能時，拉壓桿模型因傳力機理清晰、適用于D區(平截面假定不符合區域)等優勢，受到了眾多學者的青睞。20世紀90年代，Schlaich[1]提出了拉壓桿模型設計方法，為拉壓桿模型在D區的應用奠定了基石。Hong等[2]提出了基于變形的拉壓桿模型，該模型的次斜壓桿布置方式合理，符合節點桁架機構的力學性能。Mitra等[3-4]提出了一種分布式桁架拉壓桿模型，該模型的主要特點是水平拉桿和豎向拉桿的交點均設置鉸接點。Hwang等[5]建議了一種軟化拉壓桿模型，該模型由主斜壓桿機構、水平機構和豎向機構組成，其建立原則基本符合節點的傳力機理。Park等[6]針對鋼筋混凝土柱提出了一種拉壓桿模型的建立方法，其拉桿、壓桿和結點的模型化思路有一定的創新性。此外， Paulay等[7-8]、Kitayama等[9]和Lowes等[10]等均對混凝土節點的抗震性能進行了大量研究工作，促進了拉壓桿模型的發展。

綜上所述，節點拉壓桿模型的主要特點和原則是，計算模型的構成應反映主斜壓桿機構、桁架機構和約束機構的特點；次斜壓桿的布置形式多樣，大致平行于節點主對角線；結點通常視為理想鉸接點以達到簡化計算的目的；水平拉桿代表箍筋。

前述已有節點拉壓桿模型多是為計算節點的抗剪承載能力而提出的，其建立過程一般未考慮計算節點的剪應力-剪應變骨架線的相關問題。為此，本文基于梁柱組合體抗震性能試驗中節點裂縫的發展規律和分布特征，提出了一種新的節點拉壓桿模型并應用于剪應力-剪應變骨架線的計算。最后，利用OpenSees有限元軟件中的超級節點單元模擬梁柱組合體抗震性能試驗，對本文提出的拉壓桿模型的有效性和適用性進行了驗證。

1 基于裂縫分布的拉壓桿模型

1.1 模型介紹及基本假定

圖1為4個梁柱組合體抗震試驗結果[11]，其裂縫分布規律較為一致。本文基于節點區混凝土的裂縫發展規律及試驗結束后裂縫的分布特征，在考慮了前文所述，各典型拉壓桿模型的優點后提出了基于裂縫分布的拉壓桿模型，如圖2所示。從圖2可知，斜壓桿AE代表主斜壓桿機構，水平拉桿、豎向拉桿及次斜壓桿代表桁架機構，約束機構則通過采用Mander約束混凝土本構關系[12]體現。

圖1 節點裂縫分布Fig.1 The crack distribution of joint

圖2 基于裂縫分布的拉壓桿模型Fig.2 The crack-based strut-and-tie model

為了簡化計算，并提高該模型的通用性，對該模型采用了以下6個基本假定：

①計算中不考慮節點保護層混凝土。

② 拉桿變形假定。

本文假定只有水平中拉桿HD能產生軸向變形，忽略豎向邊拉桿AG和CE、豎向中拉桿BF和水平邊拉桿AC和GE產生的軸向變形。提出這一假定的主要原因是基于柱縱向鋼筋一般遠大于節點水平箍筋的事實。此外，根據傅劍平等[13-15]的試驗結果可知，節點中間層水平箍筋應變最大，靠近節點上、下邊緣的箍筋應變較小(一般明顯低于屈服應變)，節點兩側柱縱筋的應變明顯低于屈服應變，節點正、背面柱縱筋應變最小。這些試驗結果均表明假定②是合理的。

③ 假定結點均為理想鉸接點。

一方面，節點區域屬于D區，為了體現節點不符合平截面假定的事實，此模型豎向邊拉桿和水平邊拉桿中的結點均采用完全鉸接的形式；另一方面，假定結點均為理想鉸接點并完全鉸接有助于簡化計算。不少學者也采用了這一做法[16]。

④ 假定各壓桿截面高度之和等于節點核心區。對角線長度在垂直于另一條對角線的平面上的投影長度，具體計算方法見“1.2”節。

⑤ 為簡化計算過程，假定次斜壓桿AF的截面面積等于次斜壓桿BE的截面面積，次斜壓桿HF的截面面積等于次斜壓桿BD的截面面積。

⑥ 忽略箍筋和混凝土的黏結，近似認為箍筋處于理想受拉狀態，沿長度方向應力、應變均勻分布。

1.2 壓 桿

1.2.1 主斜壓桿

為簡化計算，將主斜壓桿AE定義為等直桿。主斜壓桿的截面面積是對節點抗剪性能有重要影響的主要參數，可按以下方法計算。

1)主斜壓桿橫截面高度hstrut

主斜壓桿截面高度hstrut按照式(1)和式(2)進行計算。

(1)

(2)

式中：cb為梁壓區高度；cc為柱壓區高度，分別如圖3所示。由于梁柱組合體試件的梁端一般首先屈服并進入非線性受力，故梁可采用達到承載力極限狀態時的受壓區高度，Hwang等建議cb取為hb/5。hb,hc分別為梁、柱截面高度，N為柱軸力，Ag為柱截面面積，fc為節點的混凝土軸心抗壓強度。

由于軸壓比和節點形狀尺寸的差異，按此方法計算得到的面積是主斜壓桿的斜截面面積，并不是垂直于對角線的截面面積，如圖3所示。

圖3 壓桿正截面夾角Fig.3 Angle of cross-section of strut

因此，斜壓桿截面高度應按式(3)進行修正

hstrut=h·sinβ1

(3)

式中：h為按式(1)和式(2)計算所得結果；β1為h所在直線與對應的節點核心區主對角線的夾角(見圖3)。

2)主斜壓桿橫截面寬度wsturt

主斜壓桿橫截面寬度wstrut可按式(4)計算

wstrut=b-2×(c+djh)

(4)

式中：b為節點寬度；c為節點保護層混凝土厚度；djh為節點水平箍筋的直徑。

根據美國ACI規范[17]的建議，結合Mander約束混凝土的本構關系計算主斜壓桿混凝土抗壓強度。因此，主壓桿的軸力Fn按式(5)計算

Fn=0.85·βs·σc·A

(5)

式中:σc為壓桿應力；A為壓桿橫截面面積。參考美國ACI規范的建議，壓桿的力折減系數βs取0.75。

1.2.2 次斜壓桿

在軟化拉壓桿模型中，水平機構中的次斜壓桿與豎向機構中的次斜壓桿相交，這違背了壓桿不相交的基本原則。因此，這兩種次斜壓桿必須舍去其一。基于圖1的裂縫分布規律，結合軟化拉壓桿模型和分布式桁架拉壓桿模型中次斜壓桿的布置方式，本文建議次斜壓桿AF，BE，BD和HF按圖2的方式布置。

次斜壓桿的截面寬度計算方法與主斜壓桿相同。次斜壓桿截面高度則參考王田友等[18]的計算方法。本文建議按以下步驟進行計算：

步驟1 計算節點核心區對角線長度lstrut

步驟2 根據假定④，求次斜壓桿總高度hz

hz=lstrut·sinβ2

(6)

式中:β2為對角線夾角(見圖3)。

步驟3 計算待分配高度hd

hd=hz-hstrut

(7)

步驟4 暫取次斜壓桿BE與次斜壓桿BD的面積比為5∶4，根據假定④和假定⑤可得

(8a)

(8b)

式中:hBE,hAF,hBD和hHF分別為次斜壓桿BE、次斜壓桿AF、次斜壓桿BD和次斜壓桿HF的截面高度；β3為次斜壓桿AF與對角線的夾角(見圖3)。次斜壓桿的軸力仍按式(5)計算。

1.3 拉 桿

三根水平拉桿HD，AC和GE由節點區水平箍筋組成，共同體現桁架機構的貢獻。在外荷載作用過程中，各節點箍筋受力不均，一般僅部分箍筋達到屈服，且節點中部箍筋的應變皆大于節點上、下邊緣處的箍筋應變。因此，可借鑒Hwang等提出的節點箍筋有效層數的概念(見表1)進行分析。

表1 箍筋有效層數

基于箍筋有效層數的概念，邢國華等[19]認為僅65%的節點區箍筋受力充分。故本文建議按下述公式計算水平中拉桿的橫截面面積AHD

AHD=0.65·n·m·Ajh 1

(9)

(10)

式中：Ajh為節點水平箍筋面積之和；n為箍筋平行于梁縱筋方向的肢數；m為節點區箍筋層數；Ajh 1為節點區單肢箍筋的面積。

水平中拉桿的軸力可根據結點H的平衡條件求得。此外根據美國ACI規范，水平中拉桿的軸力THD與水平中拉桿的應力σHD存在下述關系

THD=βn·σHD·AHD

(11)

根據美國ACI規范， H,D結點屬于C-C-T類型節點，因此拉桿力折減系數βn=0.8。

根據假定②，僅水平中拉桿須考慮鋼筋變形。本文采用常用的雙折線鋼筋本構關系進行計算。

2 模型變形協調條件和受力平衡條件

2.1 變形協調條件

本文以θFED為基本變量建立考慮變形協調的迭代判別式。

圖4是節點發生剪切變形時基于裂縫分布的拉壓桿模型建立的變形圖。根據假定②和變形協調原則，豎向中拉桿BF因轉動產生的水平位移應等于水平邊拉桿AC產生的水平位移，主斜壓桿的軸向壓縮變形按式(12)計算

dlAE≈-θsz·lBF·cosθBAE

(12)

在變形過程中，由幾何關系可知

(13)

(14)

圖4 基于裂縫分布的拉壓桿模型剪切變形示意圖Fig.4 Shear deformation of crack-based strut-and-tie model

(15)

則因壓桿變形而形成的θFED為

θFED=θBAE+θEAF+θBED+dθBAE+dθEAF+dθBED

(16)

除上述方法外，θFED也可由下述方法求得。變形后的θFED與dθHGF、拉桿HD的變形dlHD有如下關系

(17)

為滿足變形協調條件，由式(16)的計算結果與式(17)的計算結果應相等，故可建立以下變形協調條件判斷式

(18)

2.2 力平衡條件

此模型的力平衡狀態由A,C,E,G,B,D,F,H等共8個結點的平衡條件決定。

2.2.1 角部結點

對于A,C,E和G 4個角結點，由于外力可以隨作用在結點上內力而變化，因此，結點A,C,E和G的力平衡關系可自動滿足。

2.2.2 中部結點

假定次斜壓桿HF的應變后，利用力平衡條件，以結點H,D和B為分析對象，可按常規力學方法求解豎向中拉桿和水平中拉桿的內力。最后，以結點F作為校核結點，若在結點F滿足平衡條件的情況下，各壓桿同時也滿足變形協調條件，則該模型符合迭代計算要求。

在受力過程中，因次斜壓桿HF和BD的軸力、AF和BE的軸力分別始終相等，故結點F自動滿足力平衡條件。因此，只要變形協調條件滿足，基于裂縫分布的拉壓桿模型可自動滿足力平衡條件。

3 節點剪應力和剪應變計算公式

1) 節點剪應力

節點水平剪力等于各壓桿軸力的水平分量之和，節點水平剪應力τ可按式(19)計算

(19)

式中:Fni為第i個壓桿的軸力;αi為第i個壓桿與水平線的夾角；bj為節點側面有效寬度；bc為節點正面有效寬度。

2) 節點剪切變形

如圖4所示，本文將豎向中拉桿的轉角θsz作為節點平均剪切角γ，即有

γ=θsz

(20)

4 程序流程圖

根據上述壓桿、拉桿的應力、應變及軸力、變形計算公式，結合變形協調條件及力平衡條件等，在Matlab平臺上編制了基于裂縫分布的拉壓桿模型剪應力-剪應變骨架曲線的計算程序，程序流程見圖5。

5 試驗驗證

選取17個梁柱組合體試件的試驗結果[20-21]對基于裂縫分布的拉壓桿模型所計算的節點剪應力(τ)-剪應變(γ)曲線的合理性進行了驗證。圖6的對比結果表明，本文建立的模型能較為有效地計算節點的τ-γ骨架曲線，計算曲線與試驗結果整體吻合較好。此外，將τ-γ曲線的峰值應力計算結果、相應試驗結果以及誤差百分比匯總于表2，其平均誤差為10.85%，計算精度在合理范圍內。

圖5 程序流程圖Fig.5 Program flow chart

表2 峰值應力的模擬結果與實驗結果

圖6 各試件剪應力-剪應變骨架曲線Fig.6 The shear stress-strain skeleton curves of specimens

為進一步說明本文建立的基于裂縫分布的拉壓桿模型的合理性，下面將驗證各壓桿的受力情況。

節點斜裂縫發展的一般規律是，沿節點核心區對角線方向首先出現主裂縫，然后在這條主裂縫兩側，以平行于對角線方向逐步出現新的斜裂縫，且對角線附近的裂縫發育最為明顯，裂縫寬度最大。可見，這些位置的主拉應力最大，其他位置拉應力相應減小。該現象說明本模型的主斜壓桿的壓應力最大，遠離對角線的的次斜壓桿的壓應力更小。

因此，如果基于裂縫分布的拉壓桿模型中各壓桿的壓應力符合主斜壓桿最大、兩側次斜壓桿依次遞減的規律，則該模型的受力機理比較合理。

限于篇幅，僅以試件J-2和J-5為例進行說明，模型各壓桿的壓應力計算結果如圖7所示。圖7表明，主斜壓桿受力最大、次斜壓桿BE受力次之、次斜壓桿BD受力最小，符合前述受力規律。

6 基于超級節點單元的節點剪切模型應用

將本文提出的基于裂縫分布的拉壓桿模型用于多個典型梁柱組合體試驗的有限元模擬分析之中，可驗證該模型的有效性、適用性。

Lowes等[22]提出了一種基于轉動鉸模型的二維超級節點單元模型。其結構較為嚴謹、體系較為完整，能夠較為有效地描述節點區各分量之間的關系，具有可操作性強、計算效率高、收斂性好等特點。

各梁柱組合體試驗均采用OpenSees平臺的梁柱節點單元(超級節點模型)模擬節點區的非線性受力性能。超級節點模型中，節點剪切塊的τ-γ骨架曲線采用本文提出的基于裂縫分布的拉壓桿模型計算確定。

圖7 壓桿應力-節點剪應變關系曲線Fig.7 The compression stress-shear strain curves of struts

6.1 超級節點模型節點剪切塊的定參方法

節點剪切塊的τ-γ骨架線定參方法如下：

1)第一個關鍵點P1是圖8中直線上升段的頂點，為簡化計算，剪應力τp1近似取τp2的一半；γp1則根據節點τ-γ曲線的計算結果取與P1點對應的剪應變。

圖8 節點剪切塊剪應力-剪應變骨架曲線關鍵點Fig.8 Key points of shear stress-strainskeleton curve of joint shear block

2)P2節點τ-γ曲線上剛度第一次明顯變小的關鍵點(類似于“屈服點”)，τp2取計算所得τ-γ曲線的第一明顯轉折點對應的剪應力，γp2取相應的剪應變。

3)P3為峰值點，τp3取峰值應力，γp3取對應的剪應變。

4)P4為極限點，τp4取應力下降到峰值應力的80%時所對應的剪應力值，γp4取對應的剪應變。

6.2 典型算例

選取梁柱組合體試件J-6,J-7,J-8和J-10作為典型算例，并利用OpenSees程序完成相應的梁柱組合體試驗的有限元模擬。

6.2.1 有限元模型的建立

如圖9所示，采用OpenSees程序對該梁柱組合體抗震性能試驗進行模擬計算時，應分別確定分析對象中各節點的位置、節點集中質量、材料本構關系、截面恢復力模型、單元類型、外加荷載種類、幾何坐標轉換類型和約束形式等，常規參數的取值可參考OpenSees用戶手冊[23]。

圖9 梁柱組合體有限元模型Fig.9 Beam-column finite element model

(1)單元類型

1)梁柱單元

采用非線性梁柱單元模擬梁、柱構件，各積分點的截面恢復力模型采用纖維模型，梁取3個積分點，柱取4個積分點(見圖9)。

2)節點單元

節點采用超級節點單元進行模擬。其中，節點剪切塊的定參方法詳見“6.1”節，界面剪切分量采用彈性材料模擬，縱筋黏結滑移特征則采用Lowes等建議的模型進行模擬。

超級節點單元的縱筋黏結滑移分量采用一維捏縮材料模型模擬。Lowes等通過錨固鋼筋的拉拔試驗數據，并對節點核心區黏結應力分布進行簡化的基礎上，建立了用于近似模擬貫穿節點核心區縱筋黏結滑移的有限元模型。

(2)截面對象

選擇Fiber Section梁柱單元截面恢復力模型，具體詳見OpenSees用戶手冊。

(3)混凝土和鋼筋本構關系

采用基于Kent-Scott-Park模型的單軸混凝土應力-應變模型Concrete01 Material定義梁、柱的混凝土纖維，鋼筋纖維采用Steel02 Material單軸材料本構模型定義。

6.2.2 梁柱組合體試件的模擬結果分析

依據上述超級節點剪切塊的定參方法，由基于裂縫分布的拉壓桿模型進行計算，可得到試件J-6、試件J-7、試件J-8和試件試件J-16的節點τ-γ骨架線的4個關鍵點，分別如表3所示。

然后，采用OpenSees進行有限元模擬，可得到各試件的節點剪切塊的τ-γ滯回曲線，以及梁端力-位移滯回曲線的模擬結果，分別如圖10、圖11所示。

對比結果表明，本文提出的基于裂縫分布的拉壓桿模型對梁柱組合體抗震性能試驗的模擬效果較好。

表3 節點剪應力-剪應變骨架線的各關鍵點計算結果

圖10 剪切塊剪應力-剪應變滯回曲線Fig .10 The stress-strain hysteretic curve of shear panel

圖11 梁端力-位移滯回曲線Fig.11 The load displacement loops of specimen

7 結 論

為解決鋼筋混凝土框架結構中間層中節點的剪應力-剪應變骨架線計算問題，提出了基于裂縫分布特征的拉壓桿模型，并得到以下主要結論。

(1)根據鋼筋混凝土框架中間層中節點的受力機理，提出了建立拉壓桿模型的基本原則和基本假定。

(2)提出了基于裂縫分布特征的拉壓桿模型，推導了變形協調關系和力平衡方程，建立了節點區的剪應力-剪應變骨架線計算方法，編制了計算程序。

(3)根據17個梁柱組合體試件的試驗結果對提出的拉壓桿模型的合理性進行了驗證，效果較好。

(4)采用多個典型梁柱組合體抗震試驗的有限元模擬分析與試驗結果的對比，進一步驗證了基于裂縫分布的拉壓桿模型在OpenSees中的梁柱節點單元中的適用性和有效性。