基于飽和原理的柔性機械臂減振研究

張 戈， 高志慧， 邊宇樞

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100083)

柔性機械臂因具有輕質、操作靈活、能耗低等特點被廣泛應用于工業制造領域與航空航天領域[1]。但柔性機械臂的柔性結構在運動過程中會產生彈性變形和機械振動[2]，當機械臂執行搬運、裝配、噴涂等往復性作業時，周期性剛性運動或者剛性運動的周期性成分成為持續激勵。當持續激勵的頻率與機械臂模態頻率接近時，就會發生共振。這種情況下，即使小幅激勵也可激起劇烈振動響應，破壞系統穩定、惡化動態性能。目前常見的工業機械臂，在國際標準測試條件下，其低階固有頻率常低至幾赫茲。而輕型高速機械臂與大型空間機械臂的低階固有頻率更可低至1 Hz以下[3-4]；另一方面，隨著工作速度不斷提高，機械臂的操作頻率不斷趨近機械臂的低階固有頻率。

與柔性結構不同，柔性機械臂不僅模態密集而且模態參數會隨拓撲結構的變化而變化。此外，剛性運動引發的激勵頻率也會隨工作任務而改變。在這種情況下，單純依靠機械臂結構設計難以完全規避共振的發生。另外，阻尼雖然能夠在一定程度上減小參數激勵共振的非穩定區域，但是不能直接起到消減振幅的作用。因此，單純通過提高機械臂自身結構阻尼來抑制共振的做法也顯得力不從心。

目前國內外對于柔性機械臂的振動研究主要集中在非共振的小幅振動上，對于柔性機械臂在持續激勵下的共振的研究尚不多見。

柔性機械臂是剛柔耦合的非線性動力學系統。利用這種系統的獨有特性進行減振，為柔性機械臂的振動研究開辟了新的思路。在眾多的非線性耦合作用中，飽和是多自由度非線性振動系統的一種特有性質，它的產生依賴于內共振的形成。當非線性振動系統的某些模態頻率滿足公度關系時，則在一定條件下會形成內共振。眾多學者對基于內共振的抑振策略進行了研究[5]。Sun等[6]利用具有時滯的非線性吸振器引起了被控系統不同模態之間的內共振，將低頻模態振動能量轉換到高頻模態，從而抑制了基頻范圍的振動。Karimpour等[7]利用內共振將懸臂梁的振動能量傳遞至吸振器并轉化為電能。Bian等[8-9]提出了一種基于內共振現象的吸振器，可以快速吸收大部分振動能量，并通過試驗驗證了其可靠性。但現有研究大多都是針對瞬時激勵引起的振動，而非持續激勵所引起的振動。

在內共振的基礎上，飽和原理進一步揭示了外激勵與內共振模態之間存在的一種能量傳遞關系。當外激勵幅值超過臨界點時，與外激勵共振的內共振模態的振幅不會隨外激勵幅值的增長而增大，多余能量會被傳輸到低階內共振模態中。許多學者對飽和原理進行了研究。Warminski等[10]選取梁、板等作為研究對象，基于飽和原理探討了利用壓電陶瓷致動器去控制主共振或參激共振。Xu等[11]使用非線性飽和控制器有效抑制了非線性束狀結構的高振幅振動。Kandil等[12]采用非線性飽和控制器對旋轉葉片動力系統在非穩態轉速下的振動進行了有效的抑制。但這些研究大多以單一的柔性結構為對象，對于剛柔耦合的柔性機械臂尚未有充分的研究。

本文以剛柔耦合的柔性機械臂為研究對象，利用內共振構建了半主動式吸振器，建立了系統的動力學模型，應用多尺度法求解系統的穩態解，研究了計入吸振器的柔性機械臂在持續小幅外共振激勵作用下的飽和現象，并且通過數值仿真驗證了吸振器的有效性。

1 系統動力學建模

1.1 建立坐標系與模型假設

圖1 包含吸振器的柔性機械臂模型Fig.1 The model of the flexible manipulator with a vibration absorber

為建立柔性機械臂的動力學模型，需要對柔性機械臂進行模型假設：

1)柔性臂的材質是均勻的，材料是各向同性的，柔性臂的結構滿足Euler-Bernoulli梁的特點；

2)柔性機械臂在水平面內運動，柔性臂的彈性變形也發生在該平面內。

采用假設模態法將柔性臂的橫向彎曲變形離散。柔性機械臂發生彎曲變形的各階模態中，第一階模態動能量較大并在振動響應中起主要作用，因此選取一階模態作為被控模態。記柔性臂的一階模態響應為q1，則柔性臂的變形近似為

w(x,t)=φ1(x)q1(t)

(1)

1.2 吸振器控制模型

吸振器主要由電機、剛性支桿兩部分組成。剛性支桿簡化為無質量剛性桿與端部的集中質量mC。電機作為吸振器定子隨柔性臂一起振動，剛性支桿作為吸振器動子在電機的驅動控制下繞電機軸轉動。通過控制電機力矩τ2，使得柔性臂的振動模態和吸振器的振動模態形成內共振，構建能量的跨模態遷移通道，并通過吸振器的阻尼消耗振動的能量，從而實現減振。

采用反饋控制原理對吸振器進行控制。設計線性反饋和非線性反饋聯合作用的控制器實現振動控制的目標。線性反饋包括位置反饋和速度反饋，引入吸振器振動響應的角位移信號，構造調節吸振器固有頻率的剛度項；引入吸振器振動響應的角速度信號，構造調節吸振器阻尼的阻尼項。在線性反饋的基礎上，設計非線性反饋，引入柔性機械臂系統振動響應信號，構造調節吸振器與柔性機械臂運動耦合關系的非線性耦合項，改善吸振器系統的動態響應和穩態性能。

因此，吸振器的力矩τ2構造為

(2)

(3)

1.3 建立系統動力學方程

在柔性臂末端D施加力，模擬持續外激勵

F=F0cos(ωt+φ)

(4)

應用Kane方法，并代入式(2)～式(4)，求得柔性臂的一階模態響應q1與吸振器的擺動角度φ的動力學方程。其中，吸振器的擺動角度φ也可視為機械臂系統的一個振動模態

(5)

(6)

2 動力學方程的多尺度法求解

2.1 方程無量綱化

為簡化推導過程，對式(5)與式(6)進行無量綱化，定義

(7)

得到無量綱化后的方程為

(8)

(9)

2.2 多尺度法求解

運用多尺度方法對無量綱振動控制方程進行攝動近似解析。引入小量參數0<ε?1，代換系統的非線性項、耦合項和阻尼項，將系統的變量重新標度，規定

(10)

柔性機械臂一階模態頻率ω1≈ω時，外激勵與柔性臂的一階模態發生共振。此時，即使是幅度很小的外激勵也會使柔性臂產生較大的振動響應，影響系統的穩定性。本文以一定頻帶范圍內的小幅外激勵作用下的柔性機械臂的主共振作為主要研究內容。因此，做弱外激勵假設，規定

(11)

將式(10)、式(11)代入式(8)和式(9)，略去ε2和更高項，提取ε0,ε1對應的項，可以得到以下方程。

ε0對應的方程

(12)

(13)

ε1對應的方程

(14)

(15)

應用多尺度法求解式(14)和式(15)的近似解，需引入兩個不同的時間尺度

T0=τ,T1=ετ

(16)

利用求導的鏈式法則將無量綱時間τ的一階導數和二階導數改寫為

(17)

(18)

所取獨立的時間尺度的個數取決于求解的精度。這里取到方程的一次近似解

(19)

φ(τ,ε)=φ0(T0,T1)+εφ1(T0,T1)+O(ε2)

(20)

觀察式(12)和式(13)的形式，可設其解為

(21)

(22)

(23)

(24)

3 穩態解的分析

計入吸振器的柔性機械臂受到持續外激勵后所形成的穩定狀態直接反映了吸振器的吸振效果，因此需要求出系統的穩態解。

3.1 求穩態解

在2∶1內共振存在的基礎上，分析弱受迫的柔性機械臂發生一階模態共振時的穩態響應。引入兩個解諧參數σ1和σ2，σ1為內共振頻率的偏差值，與吸振器的結構設計和控制策略有關，σ2為共振頻率的偏差值，與吸振器的減振頻帶有關，即

ωS2=0.5ωS1+εσ1

(25)

ωS3=ωS1+εσ2

(26)

若存在穩態解，則需要消除長期項。在式(18)和式(19)中,根據消除長期項條件，從而得到可解性條件

(27)

(28)

將式(27)和式(28)中的函數A1,A2表示為極坐標形式

(29)

式中:a1,α1,a2,α2由式(27)和式(28)確定。引入相角

γ1=2σ1T1+2α2-α1

(30)

γ2=σ2T1+φ-α1

(31)

令式(27)與式(28)等號左側的實部與虛部分別為零，并代入式(29)～式(31)得

(32)

(33)

(34)

(35)

1)單模態解，a1≠0,a2=0,表現為線性振動

將a2代入式(32)和式(34)，消去相角γ1可得

(36)

a2=0

(37)

由式(36)可知，單模態解與非線性系數無關。柔性機械臂模態幅值與外激勵幅值呈現線性關系，吸振器不工作。

2)雙模態解a1≠0,a2≠0,表現為非線性振動

將式(32)～式(35)中的相角γ1和γ2消去可得

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

3.2 穩態解存在形式的討論

(44)

由式(44)可以看出，ξ2>ξ1，下面對a1,a2的實數解的存在形式進行討論。

只存在一個線性解

若U1<0，a2存在三個解，一個線性解，兩個非線性解

若U1>0，則只有一個線性解

由上述分析可知，非線性解中柔性機械臂的模態幅值a1與外激勵幅值無關，僅與吸振器的速度反饋增益、耦合反饋增益、內外共振的調諧狀態以及系統的結構參數有關。

3.3 系統飽和現象分析

圖2 外激勵幅值對系統穩態響應的影響Fig.2 Influence of excitation amplitude on system steady state response

4 吸振器有效性的驗證

4.1 無吸振器時的共振現象

計入柔性臂阻尼條件下，無吸振器時柔性機械臂的末端振動響應如圖3所示。柔性機械臂受到持續小幅外共振激勵時，末端振幅無法依靠柔性臂的自身小阻尼來衰減。證明了即使是小幅的持續外共振激勵也會引起柔性機械臂的劇烈振動。

圖3 無吸振器時柔性機械臂末端振動響應Fig.3 Vibration response at the end of the flexible manipulator without vibration absorber

4.2 內共振現象

由理論分析可知，當內共振完全調諧時(ε=0.05，σ1=0)，柔性機械臂的一階模態頻率和吸振器的振動頻率滿足2∶1公度關系時，系統形成完全內共振。假設模態能量在交互過程中無衰減，即ζ1=0，ζ2=0。設定位置反饋增益kp=0.67和速度反饋增益kd=0。數值仿真得到慢時間域中柔性機械臂一階模態與吸振器模態的模態響應曲線，其中粗實線表示柔性機械臂模態幅值a1的大小，虛線表示吸振器模態a2/10的大小，如圖4所示。

圖4 柔性機械臂一階模態和吸振器模態的模態響應曲線Fig.4 Modal response of first-order mode and vibration absorber mode of the flexible manipulator

4.3 吸振器的飽和控制

在柔性機械臂上添加吸振器，通過改變吸振器的頻率，系統形成2∶1內共振。引入合適的吸振器參數，可以實現柔性機械臂系統的飽和控制，且柔性機械臂的模態幅值將達到飽和后不再增加。設定位置反饋增益kp=0.67，速度反饋增益kd=0.000 1，耦合反饋增益e1=0.01，數值仿真得到柔性機械臂末端振動響應如圖5所示，吸振器剛性支桿轉角如圖6所示。柔性臂與吸振器均出現了飽和現象。

圖5 柔性機械臂飽和控制時末端振動響應Fig.5 Vibration response at the end of the flexible manipulator under saturation control

圖6 柔性機械臂飽和控制時吸振器剛性支桿轉角Fig.6 Vibration response of the vibration absorber rigid rod under saturation control

對比無吸振器和有吸振器時柔性機械臂的末端振動響應，如圖7所示，圖中實線為有吸振器時柔性機械臂的末端振動，圖中虛線為無吸振器時柔性機械臂的末端振動。從圖中可以看出與不進行振動控制相比，采用飽和控制的方法，柔性機械臂的末端振動幅值在2 s后達到飽和狀態而不再增加，外激勵能量傳遞到吸振器中，同時柔性機械臂的末端振動幅值相對無吸振器控制狀態有大幅度降低。以上分析驗證了飽和控制的有效性。

圖7 無吸振器和飽和控制時柔性機械臂末端振動響應對比Fig.7 Comparison of vibration response at the end of flexible manipulator without absorber and under saturation control

5 結 論

本文以剛柔耦合的柔性機械臂為研究對象，構造了具有非線性耦合項的內共振吸振器，通過調節吸振器參數，可以使機械臂的一階振動模態q1與吸振器振動模態φ形成2∶1內共振。

應用Kane方法建立了計入內共振吸振器的柔性機械臂在持續小幅外激勵作用下的非線性動力學方程。

利用多尺度方法得到非線性動力學方程的近似穩態解；通過分析穩態解的存在形式，證明了系統具有飽和特性。

通過理論分析與數值仿真，得到如下結論：

(1)小幅的持續外共振激勵會引起柔性機械臂的劇烈振動響應。

(2)柔性機械臂的一階模態頻率和吸振器的振動頻率滿足2∶1公度關系時，系統形成了內共振，在吸振器與柔性臂之間構建了有效的能量傳輸通道。

(3)在持續小幅的外共振激勵作用下，相對于無吸振器狀態，采用飽和控制可以使柔性機械臂末端振幅顯著減小，證明了吸振器的有效性。