三跨變高度連續梁橋的精確損傷識別

李春良,林志豪,王方彥,郝達靖

(吉林建筑大學 交通科學與工程學院,吉林 長春 130118)

橋梁損傷識別常用的方法有動態法和靜態法。動態識別法多是基于頻率、振型、模態曲率、頻響參數等[1-5]開展的損傷識別,但這些動態識別法大多在數據采集過程中都對外界環境(如溫度、風速、鐵路等干擾)、傳感器精度等要求較高。

靜態識別法多是基于一些損傷識別指標來識別出結構的部分損傷信息[6-8],如基于跨中位移差值指標對簡支梁的損傷識別[9]和基于豎向支座反力差值指標對兩跨等剛度連續梁橋進行的損傷識別[10],還有是依靠局部抗彎剛度的變化來進行損傷識別[11]。但這些方法都是針對一跨、兩跨的等高度梁結構,對變高度的結構涉及不多,而在實際工程中三跨變高度的連續梁居多。

目前也有學者基于振型模態測量建立了損傷識別指標[12],但該方法僅用于抗彎剛度連續變化的梁結構。還有一些基于統計分析[13]或模糊邏輯[14]的損傷識別方法,但研究機理尚不明確。

可見,如果能夠給出一套既具有理論支持,操作性又強的損傷識別方法是十分必要的。本文結合損傷前、后變高度連續梁橋局部剛度變化的特點,基于傅里葉級數理論和數值積分法,解決了變高度連續梁橋局部損傷后剛度具有突變性和離散性在解析計算中不好處理的難題。同時，建立了變高度連續梁橋的損傷識別模型,給出了三跨變高度連續梁橋的損傷識別方法和具體的加載流程。在實際橋梁檢測中,只要獲得中支座反力二次差值數據,就能識別出三跨變高度連續梁的具體損傷位置、損傷范圍等信息。

1 加載流程與作用位置

將無損傷的空間連續梁結構簡化為二維梁結構,并且三跨連續梁結構在尺寸上與中跨跨中O-O′截面完全對稱,見圖1。

圖1 三跨連續梁圖與荷載作用位置

根據梁長和中跨跨中截面位置,將圖1中的梁對稱于O-O′軸進行等距分段,每段長度均為m。在圖1中,1、2、…、n-1、n、(n-1)′、…、2′、1′點處為移動荷載F的依次作用位置。圖1中a和a′、a+m和a′-m關于O-O′軸對稱,a、a′為移動變量。

對圖1中的結構進行檢測時,主要包括正向(A-O)加載流程與反向(A′-O)加載流程。正向(A-O)加載流程指荷載F依次作用到1、2、…、n-1、n等各標記節線處。反向(A′-O)加載流程指荷載依次作用到1′、2′、…、(n-1)′、n等各標記節線處。可見,對應的正向依次加載第i位置與反向依次加載第i′位置完全對稱于軸O-O′。

2 無損傷時中支座反力二次差值方程

2.1 變高度連續梁抗彎剛度整體化模型

大多數連續梁的高度都是變化的或具有多區段性。基于傅里葉理論,將變高度連續梁多區段分布的抗彎剛度表示成整體化的級數形式為[15]

(1)

式中:I(x)為結構任意x處抗彎慣性矩,可根據任意x處的截面尺寸,利用三角分塊法求解出值；E為基本結構彈性模量。故用式(1)可以計算出變高度連續梁在任意x處的抗彎剛度值,方便數值積分直接使用。

2.2 無損傷時中支座反力基本方程

將圖1中的連續梁結構的中間支座去掉,變成靜定的基本結構,并添加未知力F1、F2等效。當荷載P移動到a處時,能建立未知力的表達式為

(2)

(3)

式中:F1、F2分別為2#、3#支座處添加的未知力。整理得出式(2)、式(3)中的各系數表達式為

(10)

(11)

(12)

將式(4)、式(5)、式(8)、式(9)代入式(13)、式(14)得到Δ1P(0

(17)

(18)

將式(6)～式(9)代入式(15)、式(16)得到Δ2P的表達式為

(19)

(20)

式中:L、L1、L2、L3、L4分別為連續梁總長度、第1、第2、第3跨長度、中支點處等高段長度；EIx為x位置處梁抗彎剛度數值,由式(1)計算；a為荷載P作用位置的坐標值；δ11、δ21分別為橋梁完好時在基本結構2#支座處作用F1=1的力,在2#、3#支座處產生的位移；δ12、δ22分別為橋梁完好時在基本結構3#支座處作用F2=1的力,在2#、3#支座處產生的位移；Δ1P、Δ2P分別為無損傷時荷載F作用在基本結構a時,在2#、3#支座處產生的位移。

2.3 無損傷時中支座反力一次差值方程

(1)正向加載時2#支座反力方程

根據圖1所示正向(A-O)加載流程,當荷載P作用到A-O段內的任意位置a時,由式(2)得荷載在對稱軸O-O′左側移動時2#支座反力方程為

(21)

式中:R2為正向(A-O)加載過程中2#支座反力。

(2)反向加載時3#支座反力方程

進行反向(A′-O)加載時,當荷載P作用到(A′-O)段內的任意位置a′時,由式(3)得荷載在對稱軸O-O′右側時3#支座反力方程為

(22)

(3)中支座反力一次差值方程

將式(21)與式(22)相減,得到兩中支座反力一次差值方程為

R2-R3=

(23)

為簡化公式令

Δ1=δ11·δ22-δ12·δ21

(24)

根據式(24)可將式(23)整理成為

(25)

當圖1中的連續梁無損傷時,連續梁結構在尺寸上完全對稱于O-O′軸,同時a′又為a關于O-O′軸的對稱位置。因此當荷載P作用到O-O′左側a處時在2#支座所產生的R2值,與當荷載F作用到O-O′右側a′處時在3#支座所產生的R3值大小是相等的,此時公式(23)可寫成為

R2-R3=0

(26)

經整理，得出式(23)中的各系數為

(27)

(28)

(29)

(30)

2.4 無損傷時中支座反力二次差值方程

對兩中支座反力進行二次錯位差值,過程如下:

(1)由圖1知,a′與a、a′-m與a+m、對稱于軸O-O′；

(2)分別將a+m、a代入式(25)后作差,即可得到兩中支座反力的二次錯位差值方程為

(31)

在圖1中,當三跨變高度連續梁完好時,當荷載P分別作用在對稱軸兩側對稱處時,2#、3#支座反力相等,二者的反力二次差值曲線恒為水平線。

將a+m、a分別代入式(27)中相減得各系數為

(32)

同理，其他系數為

(33)

(34)

(35)

3 損傷后中支座反力二次差值方程

3.1 損傷后基本參數修正

為區別橋梁損傷前后的各系數的不同,對損傷后基本參數進行修正。

(36)

(37)

(38)

式中:w1為先后在無損傷、損傷后的基本結構的2#支座處作用F1=1的力,在2#支座處產生的位移差；δ′11、δ′21分別為橋梁損傷后,在基本結構的2#支座處作用F1=1的力,在2#、3#支座處產生的位移；δ′12、δ′22分別為橋梁損傷后,在基本結構的3#支座處作用F2=1的力,在2#、3#支座處產生的位移；ξi、xi、ci為連續梁第i處損傷區域的抗彎剛度損失率、中心坐標位置、半寬度；w2、w3分別為先后在無損傷、損傷后的基本結構的3#支座處作用F2=1的力,在2#、3#支座處產生的位移差。

Δ′1=δ′11·δ′22-δ′12·δ′21=(δ11-w1)·(δ22-w3)-

(δ12-w2)2=(δ11·δ22-δ12·δ21)-(δ11·w3+

(39)

為簡化計算,設

則公式(39)簡化為

Δ′1=Δ1-w4

(40)

3.2 損傷后中支座反力二次差值方程

3.2.1 荷載P在損傷區左側時

(1)損傷后中支座反力一次差值方程(左側)

如圖2所示,當荷載P在損傷區左側時,可建立該區的兩中支點反力一次差值方程為

δ′22·Δx1+δ′12·Δx3-δ′11·Δx4)/(Δ1-w4)

(41)

圖2 荷載P作用在損傷區左側

根據損傷區位置(xi-ci,xi+ci),可分別求出式(41)中的各系數表達式為

(42)

(43)

(44)

(45)

(2)損傷后中支座反力二次差值方程(左側)

當荷載P移動至損傷區左側時,分別將a+m、a代入式(41)作差,得到該區的兩中支座反力二次錯位差值方程為

(Δ1-w4)

(46)

其中將a+m、a分別代入式(42)、式(43)中得

(47)

(48)

將a′-m=L-(a+m)、a′=L-a分別代入式(44)、式(45)中得

(49)

(50)

3.2.2 荷載P移動至損傷區右側時

(1)損傷后中支座反力一次差值方程(右側)

由圖2可知,當荷載P移動至損傷區右側時,可建立右側區的兩中支座反力一次差值方程為

δ′12·Δx3-δ′11·Δx4)/(Δ1-w4)

(51)

根據損傷區位置(xi-ci,xi+ci),可分別求出式(51)中的各系數表達式為

(52)

(53)

式中:Δx5、Δx6為分別為荷載P先后作用在無損傷和損傷后的基本結構a處,在2#、3#支座處產生的位移差。

(2)損傷后中支座反力二次差值方程(右側)

當荷載P移動至損傷區右側時,分別將a+m、a代入式(51)作差,得到該區域的兩中支座反力二次錯位差值方程為

(Δ1-w4)

(54)

其中將a+m、a代入式(52)、式(53)中相減得

(55)

(56)

3.2.3 當移動荷載P作用在損傷區域時

(1)損傷后中支座反力一次差值(損傷區)

在圖2中,當荷載P移動至損傷區時,可建立損傷區的兩中支點反力一次差值方程為

δ′11·Δx4]/(Δ1-w4)

(57)

根據損傷區位置(xi-ci,xi+ci)可分別求出以上表達式中的各系數表達式為

(58)

(59)

式中:Δx7、Δx8為先后在無損傷、損傷后的基本結構a處作用荷載P,在2#支座處產生的位移差；Δx9、Δx10為先后在無損傷、損傷后的基本結構a處作用荷載P,在3#支座處產生的位移差。

(2)損傷后中支座反力二次差值方程(損傷區)

當荷載P移動至損傷區域內時,分別將a+m、a代入式(57)并作差,即可得到損傷區域上的兩中支座反力二次錯位差值方程為

(60)

其中,將a+m、a分別代入式(58)中相減得

(61)

(62)

將a+m、a分別代入式(59)中相減得

(63)

(64)

3.3 損傷識別分析

整理式(46)、式(54)、式(60)發現,荷載移動到損傷區、損傷區左、右兩側的中支座反力二次差值方程的表達式中,不相同部分為

(65)

(66)

(67)

相同部分為

(68)

通過觀察以上各式發現,所有表達式中有x、a、P、L、L1、L2、L3、ci、ξi、EIx、xi等參量組成。假定以上參數中,除移動荷載P的作用處a為未知變量,其他參數均為已知量,則結論為:

(1)式(65)～式(67)是關于移動變量a的三個不相同的連續多項式,恒不相等。因此,當橋梁出現損傷后,在損傷區、損傷左右兩側這三個區的交界處,中支座反力二次差值方程式一定是不連續,曲線存在突變情況。故當荷載P由損傷區左側進入損傷區或由損傷區進入損傷區右側時,必然在兩交界處會產生兩個突變點。

(2)在橋梁損傷后,利用中支座反力二次差值方程求解得到的兩個突變點的位置、數量、水平距離等信息,能夠判斷出橋梁的損傷位置、損傷數量、損傷范圍等信息。

4 結果分析

4.1 算例

圖1為三跨預應力鋼筋混凝土連續梁,計算跨徑分別為30、50、30 m,中支點等高度區長度為2 m,混凝土C50,預應力筋為12φs15.2,梁高和底板厚呈拋物線變化。截面尺寸見圖3。

圖3 連續梁跨中和支點截面尺寸(單位:cm)

4.2 變高度連續梁抗彎剛度計算結果

先對圖1中的無損傷變高度連續梁的抗彎剛度進行計算,結果見圖4。利用文中方法計算得到的三跨變高度連續梁抗彎剛度曲線與MIDAS計算曲線一致。都表現為越靠近兩中支點處的抗彎剛度值越大,在兩中支點處達到最大值,而跨中位置的抗彎剛度值最小,計算結果符合實際,表明剛度模型可以用來研究變高度連續梁問題。

圖4 三跨變高度連續箱梁抗彎剛度結果

4.3 損傷識別計算規律分析

4.3.1 損傷位置

梁未發生損傷、在20 m與40 m處出現2 m長的損傷帶(損傷率均為20%)情況見圖5。

圖5 損傷位置不同時的計算方案(單位:m)

利用文中方法計算出來的不同損傷位置時中支座反力二次差值曲線,見圖6。由圖6可知,當橋梁完好時,中支座二次差值恒為零,其曲線為一條水平線。同時發現,其他兩條曲線分別在19～21、39～41 m范圍內出現突變,突變長度為2 m,曲線突變的位置、突變長度與圖5中梁的損傷情況吻合。表明利用文中方法可準確識別出三跨變高度連續梁橋發生損傷的位置。

圖6 不同損傷位置時中支座反力二次差值曲線圖

4.3.2 損傷程度

如圖7所示為連續梁在20 m位置處出現了2 m長的損傷帶(損傷率分別取20%、30%)。

圖7 損傷程度不同時的計算方案(單位:m)

不同損傷程度時中支座反力二次差值曲線,見圖8。由圖8可知,兩條曲線均在19～21 m范圍內發生突變,突變長2 m,突變情況與圖7中的損傷情況吻合。并且30%損傷率的曲線斜率要比20%損傷率的曲線斜率突變幅值大。

圖8 不同損傷程度時中支座反力二次差值曲線圖

4.3.3 損傷區域長度

連續梁在20 m處分別出現為2、8 m長損傷帶，見圖9。

圖9 損傷范圍不同時的計算方案(單位:m)

不同損傷長度時中支座反力二次差值曲線,見圖10。由圖10可知,兩曲線分別在19～21 m、16～24 m范圍處出現了突變,突變區段長分別為2 m和8 m。與圖9所示橋梁的損傷位置、損傷長度吻合。對比發現當橋梁的損傷范圍越大,中支座反力二次差值曲線的突變區段越長。并且曲線突變區段長度就是橋梁的損傷長度。

圖10 不同損傷長度時中支座反力二次差值曲線圖

4.3.4 損傷數量

如圖11(a)所示,在10、35、50 m處同時出現長度為2 m的三處損傷帶；如圖11(b)所示,在60、75、100 m處同時出現長度為2 m的三處損傷帶。

圖11 多處損傷時的計算方案(單位:m)

中跨跨中截面左側多處損傷時支座反力二次差值曲線圖,見圖12(a)。由圖12(a)可知,曲線發生了三處突變,其突變出現在9～11、34～36、49～51 m范圍,突變長度為2 m。并且當損傷出現在中跨跨中截面的左側時,曲線的突變斜率均為負。

圖12 左側和右側多處損傷時支座反力二次差值曲線圖

中跨跨中截面右側多處損傷時支座反力二次差值曲線圖,見圖12(b)。由圖12(b)可知,曲線也發生了三處突變,其突變出現在59～61、74～76、99～101 m范圍,突變長度為2 m。并且當損傷出現在中跨跨中截面的右側時,曲線的突變斜率均為正。

可見圖12中的曲線突變位置與突變數量規律與圖11中的連續梁發生的多處損傷位置、損傷長度等情況相符。表明支座反力二次差值曲線的突變數量就是連續梁的實際損傷數量,同時根據突變曲線的斜率正、負值,可進一步判斷出損傷區域位于在中跨跨中截面的左側或右側。在實際的檢測過程中,可利用這些規律來識別出損傷數量。

5 結論

(1)變高度連續梁的剛度沿梁長方向是變化的,文中建立的整體化剛度模型能實現變高度連續梁剛度不連續變化情況。

(2)當三跨變高度連續梁完好時,中支座反力二次差值曲線無突變；當發生損傷時,中支座反力二次差值曲線出現突變,其突變的位置、范圍、數量分別對應橋梁損傷的位置、長度、數量。

(3)在橋梁檢測過程中,基于文中的方法分析中支座反力二次差值曲線的變化情況,就能識別出橋梁損傷的具體位置、范圍、數量等橋梁損傷識別的關鍵信息。

(4)另外,目前關于測取橋梁支座反力大多都是通過千斤頂來測量,測量方法較單一,下一步工作將需要開發一種高效的支座反力測量系統,進而配合文中的理論研究成果來進行實際的橋梁損傷識別。