基于最小二乘法曲線擬合的軌距參數測量方法

史紅梅,許 明,余祖俊

(1.北京交通大學 機械與電子控制工程學院,北京 100044；2.中國鐵道科學研究院集團有限公司 通信信號研究所,北京 100081)

鐵路行業近年來在高速和重載兩方面得到了快速發展,行車密度大大增加,也對鐵路基礎設施的狀態提出了新的要求,及時檢測鐵路基礎設施狀態成為保障鐵路交通順利運行的重要基礎。軌距對評價線路質量、指導軌道養護維修作業和保證行車安全非常重要,是軌道檢測最基礎的一項指標,快速及時地掌握軌距參數具有重要的意義。

根據中國鐵路總公司2014年頒布的《鐵路技術管理規程》[1],軌距是鋼軌頭部踏面下16 mm范圍內兩股鋼軌工作邊之間的最小距離。直線軌距標準為1 435 mm[1]。傳統的軌距測量方法主要采用人工機械測量,實際使用中效率低,而且耗費大量的人力物力；或者采用光電傳感器及伺服進行現場測量,它的主要缺點為現場機械振動容易造成伺服機構的磨損破壞[2]。隨著非接觸式測量技術的發展,基于機器視覺技術的軌距檢測方法已經得到越來越廣泛的應用[3-5]。測量鋼軌軌距參數的研究重點是在獲取鋼軌輪廓信息后,運用合適的算法實現軌距點的快速精確定位以準確計算軌距值[6]。

本文設計了一套安裝在手推式軌道檢測小車上的軌距參數測量系統,利用左右鋼軌兩側共四臺二維激光三角傳感器采集鋼軌斷面輪廓,通過對采集輪廓進行旋轉平移并利用改進的ICP算法標定,得到軌道基準坐標系下的鋼軌輪廓。利用最小二乘法擬合軌頂部分輪廓曲線,在連續的輪廓曲線上提取軌面下方16 mm處的軌距特征點,從而實現軌距點的定位,計算軌距,實現了軌距的高精度非接觸式測量,誤差在±1 mm范圍內。

1 軌距測量系統的方案

軌距測量系統方案系統框圖見圖1。本文設計的軌距測量系統采用基于激光三角測量原理[7]的二維激光三角傳感器ZLDS200作為測量部件,在水平方向和垂直方向的測量范圍分別為170、350 mm,最大測量頻率3 000 r/s,在手推車速度1 m/s的情況下,最小采樣間隔0.3 mm。系統包括四個二維激光傳感器,每兩臺一組,分別測量左軌和右軌的斷面,四個傳感器通過以太網接口與筆記本電腦相連。筆記本電腦實現數據采集、標定還原、曲線擬合和軌距計算。為保證四個二維激光傳感器采集的是同一個斷面,使傳感器在外觸發方式下工作,將一定頻率的脈沖信號接入傳感器的同步端子,在脈沖信號上升沿時刻同步測量輸出結果數據。為了獲取軌距測量位置信息,安裝編碼器記錄小車行走位移,作為鋼軌斷面的位置標簽。

圖1 系統原理框圖

為了精確測量軌距,需要將四個傳感器安裝在同一豎直面來保證激光傳感器掃描的是同一平面,同時要注意傳感器與鋼軌的角度,使鋼軌斷面在激光傳感器的量程范圍內,能夠掃描出完整的鋼軌軌頭斷面。傳感器安裝位置示意見圖2。

圖2 傳感器安裝位置示意

本文設計的軌距測量系統安裝在一輛手推式鋼軌全斷面檢測車上,傳感器實際安裝效果見圖3,兩個激光二維掃描傳感器可以采集軌頂踏面的全部輪廓,同時也能采集軌頂踏面下方16 mm處的輪廓,兩個傳感器的激光帶位于同一平面,既保證了采集到的輪廓屬于同一鋼軌斷面,也避免了傳感器之間的相互干擾。

圖3 傳感器實際安裝效果

2 基于改進ICP算法的傳感器標定

2.1 傳感器標定的原理

二維激光傳感器輸出的測量點坐標是基于傳感器坐標系的,將其轉換到軌道基準坐標系下才能用于軌距計算。傳感器坐標系與軌道基準坐標系的相對位置見圖4。

圖4 傳感器坐標系與軌道基準坐標系的相對位置

本文定義軌道基準坐標系以左軌軌底中心為原點,垂直軌道方向為X軸,豎直方向為Y軸,沿軌道方向為Z軸,而傳感器坐標系則是以傳感器水平方向為U軸,傳感器垂直方向為V軸,垂直激光平面方向為W軸,將傳感器坐標系下坐標(U,V,W)轉換到軌道基準坐標系下坐標(X,Y,Z)的過程稱為傳感器的標定[8-14]。

激光三角傳感器的標定是將測量點的坐標從傳感器坐標系轉換到軌道基準坐標系的過程,通過旋轉和平移使實現兩個坐標系的轉換。傳感器坐標系相對于軌道基準坐標系的旋轉角度分別為α、β、θ,兩個坐標系原點的在三維坐標下的距離分別為Δx、Δy、Δz,兩個坐標系變換公式為

( 1 )

定義旋轉矩陣

( 2 )

平移矩陣

( 3 )

2.2 傳感器的標定過程

對傳感器的標定過程,實質上就是求取目標點集和傳感器點集之間的旋轉矩陣R和平移矩陣T的過程,也就是點集配準。本文采用迭代最近算法即ICP算法計算R和T。標定過程以傳感器在無磨耗的標準60鋼軌上采集的輪廓數據作為傳感器點集,以標準60鋼軌的截面輪廓點數據作為目標點集。

ICP算法是點集精確匹配中一種重要的算法。ICP算法通過迭代計算使對應點對距離均方誤差最小。ICP算法復雜度較高,運行時間長,為了提高運算效率,本文對算法進行了改進。本文使用的是二維激光三角傳感器,W軸無輸出,因此規定某一斷面在傳感器坐標系下W軸坐標與軌道基準坐標系下Z軸坐標相同,標定被改進為將傳感器坐標系下坐標(U,V,Z)轉換到軌道基準坐標系下坐標(X,Y,Z)的過程,所以公式(1)變換為

( 4 )

三維點集匹配需要計算傳感器坐標系三個坐標軸的偏轉角α、β、θ和偏移量Δx、Δy、Δz共六個參數,而二維點集匹配只需要計算傳感器坐標系在XY平面內的偏轉角α和偏移量Δx、Δy三個參數,運算時間大大減少。進一步改進,在標定過程中不加入Z軸坐標,上述公式變為

( 5 )

通過這種方法,將三維點集匹配轉換成了二維點集配準,減少了運算量,提高了運算效率。

ICP算法迭代停止的標志是兩組點集距離小于給定的閾值或超過最大迭代次數,迭代次數越多,算法運行時間越長。當ICP算法因迭代次數達到最大值而停止迭代時,如兩組點集距離仍然過大,則不能滿足匹配精度。針對這個問題,本系統首先對傳感器點集粗配準,根據傳感器設計安裝位置,先對傳感器點集進行一次旋轉平移,使其與軌道基準坐標系下的鋼軌輪廓具有較大的相似性。

設初始旋轉矩陣為R0,初始平移矩陣為T0,傳感器采集的鋼軌輪廓點集N(i)的坐標為(U(i),V(i)|i=1,2,3,…,n),粗配準后點集N(i)變換為點N′(i),坐標為(U′(i),V′(i) |i=1,2,3,…,n),變換公式為

( 6 )

變換后得到的點集N′與匹配目標點集M已經具有很高的相似性,匹配得出的旋轉矩陣R和平移矩陣T的準確度將提高。在得到經過粗配準的鋼軌輪廓點集之后,運行ICP算法,計算兩個匹配點集之間的旋轉矩陣R和平移矩陣T。

經過粗配準和ICP算法匹配后,傳感器采集的輪廓點坐標已經從傳感器坐標系轉換到軌道基準坐標系下,可以用于軌距點的定位計算。由傳感器采集的原始數據點(U,V)到軌道基準坐標系下的輪廓點(X,Y),其變換過程為

( 7 )

所以,標定矩陣最終為

TR=RR0

( 8 )

TT=RT0+T

( 9 )

左側鋼軌兩臺傳感器采集到的原始輪廓圖像見圖5(a),經過標定的輪廓曲線見圖5(b)。

圖5 標定前后鋼軌輪廓圖像

3 軌距點的定位

為了計算軌距參數,首先要確定位于鋼軌輪廓圖像上的軌距特征點。由于采集數據是鋼軌輪廓上的離散點,很可能不包含軌距點,造成軌距點定位不準,本文提出了一種利用曲線擬合的方法定位軌距點。

3.1 定位軌距點的算法流程

軌距點的定位算法流程見圖6,根據軌距定義,軌距點位于鋼軌頂面下16 mm處內側,要計算軌距,首先需要確定鋼軌輪廓頂面下方16 mm處的位置。做軌頂曲線的水平切線,在向下平移16 mm得到特征直線,特征直線與鋼軌內側輪廓的交點即鋼軌輪廓點。

圖6 軌距算法流程圖

本文采用曲線擬合的方法消除基于離散輪廓點定位軌距點引起的誤差,其優點在于將離散的輪廓點集擬合為連續的輪廓曲線后,消除了傳感器分辨率對測量結果的限定。下面詳細介紹軌距點定位的算法流程。

3.2 曲線平滑

受傳感器測量誤差和噪聲的影響,傳感器采集到的鋼軌輪廓存在不平滑現象。為了更好的進行鋼軌輪廓曲線擬合,要對采集數據進行曲線平滑。本文采用了一種自適應平滑濾波方法[15],根據信號的連續度變化進行卷積迭代對鋼軌輪廓進行平滑處理。具體方法如下:

傳感器采集到鋼軌輪廓數據通過標定矩陣旋轉平移得到基于軌道基準坐標系下的數據,設P為輪廓線上所有坐標點p(i)的集合為

P={p(i)=(x(i),y(i))|i=0,1,…,n-1}

式中:n為坐標點的個數。

設S(x)為未經平滑的一維離散信號,經(t+1)次迭代平滑后的信號可表示為

(10)

其中

(11)

式中:k(t)(x+i)≥0(-N≤i≤N)為卷積的權值；N為選取鄰近點的個數。對于自適應平滑,N=1,k(t)(x)隨著信號在x處的不連續度的增大而減小。此外選取

(12)

式中:S′(t)(x)為信號S(t)(x)的導數,其離散形式可表示為

(13)

使用該算法實現平滑的效果主要由σ和t兩個參數決定,σ表示了平滑程度的大小,而t代表迭代次數,通過一系列實驗推算,最終本文選取σ=0.2,t=5,能夠較好的實現鋼軌輪廓平滑,消除噪聲。圖7(a)和圖7(b)分別是曲線平滑前后的采集輪廓與標準輪廓圖形,可以發現輪廓噪聲明顯減小。

圖7 曲線平滑前后的采集輪廓與標準輪廓

3.3 軌頂輪廓曲線的擬合

平滑后得到的鋼軌輪廓為一系列離散點,采用最小二乘法擬合鋼軌輪廓曲線。鋼軌輪廓是由一系列圓弧拼接組成,不可能用一個曲線方程描述整個軌頭部分。擬合輪廓曲線的目的是獲取鋼軌頂面切線,只研究軌頂半徑為300 mm部分圓弧擬合即可,本文提出了基于最小二乘法的圓弧擬合方法。

軌頂部分的輪廓點是輪廓線上所有點中最高的N個點的合集,設Q為輪廓線上位于軌頂部分的坐標點q(i)的合集為

Q={q(i)=(x(i),y(i))|i=0,1,…,N-1}

根據經驗,這里N取50。

設軌頂圓弧曲線是圓心為(A,B),半徑為R的圓的一段圓弧,根據一系列離散點q(i),利用最小二乘法擬合圓的方程。

圓的方程為

R2=(x-A)2+(y-B)2

(14)

即

x2+y2+ax+by+c=0

(15)

式中:a=-2A,b=-2B,c=A2+B2-R2。

輪廓點q(i)到圓心的距離d(i)為

d2(i)=[x(i)-A]2+[y(i)-B]2

(16)

輪廓點q(i)到圓心的距離的平方與半徑平方的差為

δ(i)=d2(i)-R2=[x(i)-A]2+[y(i)-B]2-R2=x2(i)+y2(i)+ax(i)+by(i)+c

(17)

令Q(a,b,c)為δ(i)的平方和，即

Q(a,b,c)=∑δ2(i)=∑[x2(i)+y2(i)+ax(i)+

by(i)+c]2

(18)

因為Q(a,b,c)的值不能為負,因此必然存在一組參數(a,b,c)使Q(a,b,c)取最小值。

Q(a,b,c)對a,b,c求偏導,令偏導等于0,得到極值點,比較所有極值點的函數值即可得到最小值。

(19)

(20)

(21)

解這個方程組,可得

(22)

(23)

(24)

其中

f(x,y)=N∑x2(i)-∑x(i)∑x(i)

(25)

g(x,y)=N∑x(i)y(i)-∑x(i)∑y(i)

(26)

h(x,y)=N∑x2(i)-N∑x(i)y2(i)-∑[x2(i)+y2(i)]∑x(i)

(27)

k(x,y)=N∑y2(i)-∑y(i)∑y(i)

(28)

l(x,y)=N∑x2(i)y(i)+N∑y2(i)-∑[x2(i)+y2(i)]∑y(i)

(29)

軌頂部分曲線為圓上的一段圓弧,軌頂部分曲線S的定義域為{min[x(i)],max[x(i)]},曲線S的表達式為

x2+y2+ax+by+c=0

min[x(i)]

(30)

3.4 軌距點的定位

軌距點定位過程示意見圖8。在得到軌頂輪廓曲線S后,可以做出軌頂的水平切線L0,向下平移16 mm得到直線L1,直線L1與鋼軌內側輪廓的交點即鋼軌輪廓點。由于鋼軌輪廓P為一系列離散的點的合集,因此可能不存在與直線L1的交點,因此同樣需要利用最小二乘法擬合出鋼軌內側與直線L1相交的輪廓曲線。取鋼軌內側與直線L1距離最小的10個點,同樣采用最小二乘法擬合輪廓曲線,根據60型鋼軌截面可知,軌距點位于一段坡度為1∶20的直線上,據此擬合得到一條直線L2,將擬合得到的直線L2和直線L1求交點g,即可得到軌距特征點的坐標。利用同樣的方法求另一條鋼軌軌距特征點的坐標,在鋼軌基準坐標系下求兩個軌距特征點的距離,即可計算得到軌距。

圖8 軌距點定位過程示意

4 試驗與誤差分析

4.1 試驗驗證

為了驗證軌距測量系統精度和誤差,本系統分別在實驗室環境下和環形鐵道試驗場進行了試驗驗證,環形鐵道試驗場試驗現場圖，見圖9。

圖9 環鐵試驗現場

將測量結果與測量精度為±0.2 mm的0級軌距尺的測量結果進行比較。試驗分為兩部分:第一部分,在實驗室環境下可變間距的鋼軌試驗臺上從1 430 mm至1 439 mm范圍內,每隔1 mm測量一次軌距值,見表1。

表1 不同軌距值下系統測量值 mm

第二部分,在環形鐵道試驗場進行現場試驗,選取鋼軌上多個位置,采用本文提出的測量方法和軌距尺多次測量該位置的軌距值,得到的部分數據見表2。

通過對結果進行對比并經過多次重復性試驗,本文提出的算法可以有效測量出鋼軌的軌距參數,檢測精度達到±1 mm。

表2 軌距試驗測量結果 mm

4.2 誤差分析

對試驗結果進行誤差分析,總結得出軌距測量系統的誤差主要來源于兩個方面:傳感器測量誤差以及手推式軌檢車機械結構造成的誤差。

激光傳感器采用的激光三角法測距,除了本身光學部件造成的誤差以外,還受到測量環境、被測物體表面特性、發射光強及光束直徑大小等因素干擾[16]。本文所使用的二維激光三角傳感器在水平方向的最大測量誤差為0.340 mm,在垂直方向的最大測量誤差為0.525 mm。

為了使小車在鋼軌上順利通行,手推式軌檢車的行走輪側邊與鋼軌內側存在一定的間隙,由于間隙的存在,手推式軌檢車在鋼軌上運行并非貼緊一側鋼軌前行,傳感器坐標系與軌道基準坐標系的相對位置不固定,傳感器的采集位置與標定時的位置存在誤差,引入標定矩陣后,還原得到的斷面與真實斷面存在微小的差別,計算得到的軌距出現誤差。

鋼軌工作邊在長期工作后會出現磨耗現象,廓形發生改變,與標準的鋼軌輪廓有差異。由于磨耗造成的鋼軌輪廓形狀情況復雜,本文提出的軌距點定位方法不能針對其中一些情況準確定位出軌距點,造成了誤差。

5 結論

本文設計的鋼軌軌距檢測系統采用基于激光三角測量原理的二維激光三角傳感器為測量部件,采用非接觸式測量方法,采集鋼軌輪廓點坐標。利用改進ICP算法將采集的鋼軌輪廓與鋼軌標準輪廓相匹配,實現系統標定,完成將傳感器坐標系到軌道基準坐標系的轉換。在軌距特征點定位上,本文提出了一種基于最小二乘法進行軌頂曲線擬合的算法,在連續的輪廓曲線上定位軌距點,相比在離散輪廓點集提高了定位精度。通過現場試驗驗證,系統可以準確軌距參數,檢測精度達到了±1 mm。