不可思e

全維度空間的 1一、植物中的“黃金螺線”

有人觀察了大自然中的一些植物，它們的花瓣、葉子或者種子的排列，是以一種優(yōu)美的螺旋線方式存在。

曾有一種說法，這樣的排列方式，體現(xiàn)了神奇的“黃金分割率”在自然中的鬼斧神工。

人們觀察到，這些植物的新葉片與上一個(gè)葉片之間的夾角恒為222.5°，這個(gè)角度與圓周的比值恰好等于“黃金分割率”：222.5/360≈0.618。

你可以做一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算：按照這個(gè)夾角排列的葉子，一直到第22片才會(huì)與第一片的方向發(fā)生重疊;而其他任何角度的排列，都會(huì)在第22片之前就發(fā)生了重疊。

222.5°這個(gè)夾角使所有葉子最大程度地利用了太陽光的能量。

對(duì)一些多肉類植物來說，它新的生長(zhǎng)原基并不會(huì)擋住老原基的陽光，為什么也會(huì)按照“黃金分割”的角度來生長(zhǎng)？

這一次是因?yàn)轲B(yǎng)分。

除了陽光，原基最重要的生長(zhǎng)資源就是來自根莖的養(yǎng)分。作為一個(gè)自相似的新原基（注意自相似的概念出現(xiàn)了），它在多肉植物的頂部發(fā)端，那它的胚基應(yīng)該如何選擇長(zhǎng)出的位置，才能最有效地利用養(yǎng)分？

形象地說，它應(yīng)該出現(xiàn)在最不擁擠的那個(gè)位置。最不擁擠，意味著此處可供新原基利用的養(yǎng)分最多，你可以形象地把這種狀態(tài)理解成一種斥力——四周老原基對(duì)新原基的斥力，斥力的平衡點(diǎn)就是那個(gè)最不擁擠的地方，新的胚基就會(huì)在那里出現(xiàn)。

除了陽光和養(yǎng)分，一切生長(zhǎng)資源都會(huì)對(duì)生長(zhǎng)產(chǎn)生制約，這種制約使植物們的進(jìn)化目標(biāo)變得很明確——最有效率地利用這些資源。在這個(gè)大目標(biāo)下，植物進(jìn)化出圍繞著生長(zhǎng)資源進(jìn)行“黃金分割”排列的葉子、花瓣和種子。而“黃金分割”排列對(duì)應(yīng)的那條螺旋線，被稱作“黃金螺線”。至于以前被用來解釋這個(gè)現(xiàn)象的“斐波那契螺線”①，只是“黃金螺線”的一個(gè)近似。“黃金螺線”是“等角螺線”的一個(gè)特例，它是這樣一種特殊的“等角螺線”——每當(dāng)極角增加90°，極徑增加到原來的1.618倍。

二、等角螺線和“飛蛾撲火”

“等角螺線”的形式在大自然中更是隨處可見。

假如此刻的你，正行走在距南極點(diǎn)100公里的冰原上，你的一個(gè)隊(duì)友在南極點(diǎn)處等待救援。除了指南針之外，你沒有任何導(dǎo)航手段。不巧的是你的指南針失靈了，它恒偏離地磁場(chǎng)方向一個(gè)銳角，但你并不知道這一點(diǎn)。那么，指南針最終會(huì)把你導(dǎo)向哪里？你可憐的隊(duì)友還有救嗎？

在這個(gè)例子中，讓我們忽略地理南極和地磁北極（在地理南極附近）的微小偏離，認(rèn)為它們處于同一個(gè)位置。

答案出乎意料卻能夠被情理所接受——你最終仍會(huì)到達(dá)南極點(diǎn)，只是多走了一段路。事實(shí)上在這個(gè)過程中，你的行進(jìn)路線和地球的經(jīng)線始終保持著那個(gè)銳角，你會(huì)走出一條以南極點(diǎn)為原點(diǎn)的螺旋線。

這條螺旋線，就叫作等角螺線。

等角螺線不光出現(xiàn)在上面這個(gè)例子里，比較經(jīng)典的還有對(duì)“飛蛾撲火”的解釋。《西游記·三打白骨精》一節(jié)，唐僧教訓(xùn)孫悟空時(shí)曾說：“掃地休傷螻蟻命，愛惜飛蛾紗罩燈。”以此表達(dá)對(duì)萬物生靈的仁愛之心。三毛也在《撒哈拉的故事》里感慨：“我在想，飛蛾在撲火時(shí)，一定是極快樂幸福的。”一直以來，“飛蛾撲火”被錯(cuò)誤地歸因于昆蟲的“趨光性”本能。可憐的飛蛾們?cè)趬蚜腋八乐斜慌e(cuò)了死因，也賺取了太多的憐憫和感動(dòng)。

可是，如果“趨光性”是正確的，為什么在白天的時(shí)候沒有大批飛蛾飛向太陽？

其實(shí)，“飛蛾撲火”的真正原因，是它億萬年進(jìn)化形成的導(dǎo)航系統(tǒng)。一只飛蛾最節(jié)省能量的飛行方式，自然是直線飛行。那么，它要以什么為參照，才能知道自己是在飛直線？

答案是太陽光或星光。由于距離遙遠(yuǎn)，太陽光和星光可以被看作是平行光。如果飛蛾總是與這兩種光形成固定夾角飛行，那么它的本能就會(huì)判斷：我是在直線前進(jìn)。問題是當(dāng)飛蛾遇見火，這些近距離的點(diǎn)光源發(fā)出的并不是平行光，但可憐的飛蛾并不知道這一點(diǎn)，它仍會(huì)在導(dǎo)航系統(tǒng)的作用下按固定夾角飛行。和你在南極冰原的結(jié)果一樣，它也會(huì)行進(jìn)出一條螺旋線，最后一頭撞在光源上。這條螺旋線也是以光源為原點(diǎn)的等角螺線。

對(duì)飛蛾夜間的觀察，清晰地驗(yàn)證了這個(gè)解釋。

三、等角螺線的“自相似性”來自于“e”

想象你自己是一只可愛的鸚鵡螺寶寶，從卵中的胚胎開始慢慢長(zhǎng)大。你一邊長(zhǎng)大，一邊要擴(kuò)建自己的房子。你要把新接出來的一段房子，造得和老的一段房子一模一樣，因?yàn)槟愕闹w尺寸雖然在增大，但樣子卻沒有變——說白了，你的成長(zhǎng)具有自相似性。于是最終，你的房子就變成圖上的形狀。

這又是一條等角螺線。

那到底為什么自相似地成長(zhǎng)模式就需要把房子造成等角螺線的樣子呢？

因?yàn)榈冉锹菥€是一種具有“自相似性”的螺線，而且是唯一具備這種性質(zhì)的螺旋線。用數(shù)學(xué)語言描述就是：放大這條曲線，得到的是它自身;縮小這條曲線，得到的還是它自身。實(shí)際上，無論是放大、縮小或是求導(dǎo)，無論是求它的漸屈線、垂足線還是對(duì)它進(jìn)行反演，最終得到的曲線仍然是它自身。

這個(gè)自相似的特性來自于它的數(shù)學(xué)表達(dá)式：r=aebθ，這是一個(gè)指數(shù)函數(shù)。因?yàn)閑θ項(xiàng)的存在，你無論用上述的哪種方式折騰公式的右邊，數(shù)學(xué)表達(dá)式都不變——eθ就是所有具有“自相似性”生長(zhǎng)模式的老祖宗。

有人會(huì)問，做一個(gè)直線形的類似喇叭一樣的殼，不也是自相似的嗎？應(yīng)該也能滿足鸚鵡螺的生長(zhǎng)啊？這樣的房子的確曾被某些軟體動(dòng)物選擇過，但大都因?yàn)樾袆?dòng)不便和耗材太多，慢慢被進(jìn)化的剪刀剔除，所有存留下來的幾乎都是螺線形。等角螺線因此被稱為“生長(zhǎng)螺線”。

17世紀(jì)的瑞士著名數(shù)學(xué)家雅可布·伯努利曾對(duì)等角螺線進(jìn)行了畢生的研究。他對(duì)它如此癡迷和厚愛，以至于要求后人在自己的墓碑上刻下了這樣的座右銘——“縱然改變，依然故我。”用來描述等角螺線那神奇的自相似性質(zhì)。悲催的是，雕刻墓碑的工匠卻把等角螺線刻成了阿基米德螺線，這成為伯努利乃至數(shù)學(xué)史上永久的遺憾。

四、“e”從何來

從鸚鵡螺的例子，我們大概可以揣摩出自然增長(zhǎng)的規(guī)律，并且這個(gè)規(guī)律隱隱約約和“e”有關(guān)。

它不是一種以時(shí)間為變量的線性增長(zhǎng)，而是一種指數(shù)增長(zhǎng)。它的“增長(zhǎng)率”不是固定的，而是與當(dāng)下的存量息息相關(guān)，換句話說，它的增長(zhǎng)率等于當(dāng)前值乘以一個(gè)固定倍數(shù)。而如果這個(gè)倍數(shù)是1時(shí)，它的導(dǎo)數(shù)就是它自身，那么這個(gè)時(shí)候指數(shù)函數(shù)的底應(yīng)該是多少呢？

這個(gè)底必須等于一個(gè)重要極限的值。這個(gè)重要極限就是lim（1+1/n）n（n→∞），而它的值就是e≈2.718……

注意，e就是這樣被定義出來的。要理解這個(gè)極限意味著什么，有一個(gè)經(jīng)常被使用的例子：假如銀行每年的利率是100%，并且可以讓你隨心所欲地?zé)o限復(fù)利，那么你存入銀行1元錢，一年之后最多能夠拿回多少錢？（所謂“隨心所欲地?zé)o限復(fù)利”，是說你可以1個(gè)月取出本息再存入，也可以1天重存一次，還可以1小時(shí)一次，1秒一次，甚至0.0001秒一次……）

答案是，你能拿到的錢的極限就是e≈2.718元。

“e”，代表了自然增長(zhǎng)的極限。

有意思的是，如果你把重要極限公式括號(hào)里的加號(hào)變成減號(hào)，那么它就變成了一個(gè)新的極限，而這個(gè)新極限的值恰好等于1/e。而這個(gè)新的極限的含義，也有一個(gè)好玩的理解方式：

如果劉慈欣有一個(gè)粉絲群，人數(shù)是1000人。每次他隨機(jī)抽1人發(fā)一張簽名照。如果他連續(xù)抽取了1000次，那么有多少人沒有收到過照片？

答案就是1000*1/e≈368個(gè)。

這是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的“自助重抽樣”問題，不用懷疑，即使對(duì)無窮多的人進(jìn)行無窮多次“自助重抽樣”，仍有1/e的人無緣得見照片。

五、5.“e”是全維度空間中的“1”

“e”在人類科學(xué)中有極為廣泛的應(yīng)用，在熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、信息論、通信工程、甚至經(jīng)濟(jì)學(xué)社會(huì)學(xué)當(dāng)中，到處都能發(fā)現(xiàn)它的身影。

有一個(gè)有趣的猜測(cè)——e之所以無處不在，是因?yàn)樗侨S度空間的“1”，e這個(gè)數(shù)值，只是所有維度的“1”在我們這個(gè)維度的投影之和。

怎么就突然出現(xiàn)了“全維度空間”？如何理解“所有維度在本維度的投影”？

這來自于對(duì)ex的泰勒展開式的幾何直覺：ex=1+x/1！+x2/2！+x3/3！+……

對(duì)于這個(gè)表達(dá)式來說，無論你進(jìn)行了多少次求導(dǎo)，它永遠(yuǎn)還是它自身。

我們可以把x可以看作一維，x2可以看作二維，那么xn就是n維。同時(shí)，我們把求導(dǎo)視作降維。你會(huì)發(fā)現(xiàn)xn經(jīng)過n次降維之后變成了n！，恰好與它降維前下面的那個(gè)除數(shù)相同，從而使這一項(xiàng)變成了1。

求導(dǎo)可以看作降維，但這個(gè)降維是有衰變的，衰變率就是維度數(shù)的階乘分之一，這個(gè)結(jié)果可以視為該維度在本維度的投影值。如果全部維度的x都投影到本維度，我們就得到了上面那個(gè)表達(dá)式。而如果x=1，我們就得到了e。

如此說來，e被想象為所有維度的1在本維度的投影之和，似乎有那么點(diǎn)兒道理。

繼續(xù)放飛思想——?jiǎng)偛糯髣⒊楠?jiǎng)的例子是用概率來解釋的，但概率本質(zhì)是什么？

這種觀點(diǎn)認(rèn)為：概率在我們這個(gè)維度被看作無數(shù)次試驗(yàn)的穩(wěn)定結(jié)果，但也可以看作在全維度中試驗(yàn)一次的結(jié)果。就拿大劉抽獎(jiǎng)來說，某人未被抽到的概率在我們這個(gè)維度需要試驗(yàn)無數(shù)次才能得到精確值;而在全維度空間，只需要抽一次。因?yàn)樵谒芯S度里發(fā)生的這次抽獎(jiǎng)，會(huì)全部按照以上的規(guī)律投影到本維度中來，那個(gè)投影之和就是e。把本維度發(fā)生的事件看作是1，此事件的概率值必然就是1/e。

所以概率其實(shí)是個(gè)全維度空間的投影問題。e就是1，只不過它不是本地的1，而是全維度空間的1在本地的投影數(shù)值。全維度空間的1，在本維度看上去正好就是e那么大。

任何變化過程，都是全維度空間特定結(jié)構(gòu)的形成過程。因此所有描述過程的數(shù)學(xué)形式，都會(huì)含有e的指數(shù)模式。

【責(zé)任編輯：艾"珂】

①"斐波那契螺線是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋曲線，常被人們當(dāng)作“黃金螺線”，但其實(shí)二者間有一些微小差異——斐波那契螺線是離散型的，就是一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)的，但是黃金螺線是連續(xù)的。