陳紫薇 ，張 渝，邱春蓉

（西南交通大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，成都 610031）

良好的動(dòng)車(chē)輪對(duì)外形尺寸不僅能保證列車(chē)在軌道上的正確位置，使列車(chē)安全運(yùn)行[1]，還能降低輪軌間的磨耗，延長(zhǎng)車(chē)輪的使用壽命，從而減少制造和維修成本[2]。因此，動(dòng)車(chē)輪對(duì)尺寸的預(yù)測(cè)將有助于提前預(yù)防風(fēng)險(xiǎn)，確保運(yùn)行安全并提供經(jīng)濟(jì)的維修建議。

近年來(lái)，有大量基于數(shù)據(jù)挖掘的預(yù)測(cè)算法被應(yīng)用在輪對(duì)磨耗與尺寸數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)中。衷路生等人[3]提出基于耦合模擬退火優(yōu)化最小二乘支持向量機(jī)的車(chē)輪踏面磨耗量預(yù)測(cè)模型，所建立的模型用于現(xiàn)場(chǎng)車(chē)輪踏面磨耗量的預(yù)測(cè)是有效的。何蕾[4]采用了ARIMA模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)高速列車(chē)輪對(duì)尺寸數(shù)據(jù)，結(jié)果顯示BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)結(jié)果更加準(zhǔn)確。廖貴玲[5]分別采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和GA-SVR方法進(jìn)行了輪對(duì)尺寸預(yù)測(cè)建模和仿真，試驗(yàn)結(jié)果表明，GASVR比BP算法的預(yù)測(cè)精確度更高。華莎等人[6]提出了一種結(jié)合PSO-GA-LM優(yōu)化的最小二乘支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型，該模型在車(chē)輪踏面磨耗預(yù)測(cè)中具有良好的性能。

盡管上述模型能夠有效地進(jìn)行輪對(duì)預(yù)測(cè)，但是仍然存在參數(shù)復(fù)雜，大數(shù)據(jù)量處理速度慢，預(yù)測(cè)精度有待進(jìn)一步提升的不足。極限學(xué)習(xí)機(jī)（ELM，Extreme Learning Machine）是近年來(lái)備受關(guān)注的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型之一，被廣泛應(yīng)用于故障診斷、圖像識(shí)別、風(fēng)速預(yù)測(cè)等工程領(lǐng)域[7]。相比于其他預(yù)測(cè)模型，它具有計(jì)算速度快，泛化性能好及預(yù)測(cè)精度高的優(yōu)點(diǎn)。將核函數(shù)引入極限學(xué)習(xí)機(jī)中，能夠有效地改善原始ELM模型的穩(wěn)定性[8]。核函數(shù)有多種類(lèi)型，融合多種核函數(shù)的多核學(xué)習(xí)方法能夠獲得較為精準(zhǔn)的預(yù)測(cè)結(jié)果[9]，由此提出了多核極限學(xué)習(xí)機(jī)（MK-ELM，Multiple Kernel Extreme Learning Machine）[10]模型。采用粒子群優(yōu)化算法（PSO，Particle Swarm Optimization）對(duì)MK-ELM模型的關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，將優(yōu)化模型應(yīng)于動(dòng)車(chē)車(chē)輪尺寸數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，利用CRH2車(chē)型動(dòng)車(chē)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證該方法的合理性和可行性。

1 PSO-MK-ELM預(yù)測(cè)算法

1.1 ELM

ELM[11]是一種單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它包括3個(gè)分層，即輸入層、隱含層與輸出層。

給定N組訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)集(x,t)，x、t分別為輸入、輸出向量。當(dāng)ELM的隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為L(zhǎng)，且激勵(lì)函數(shù)為g(x)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)輸出可表示為

式中，βi為第i個(gè)隱含層節(jié)點(diǎn)和輸出層節(jié)點(diǎn)之間的權(quán)值向量；w為隱含層節(jié)點(diǎn)的輸入權(quán)值；b為偏置。式（1）可以簡(jiǎn)化為Hβ=T。ELM隨機(jī)產(chǎn)生w與b，通過(guò)計(jì)算隱含層的輸出矩陣H，來(lái)計(jì)算輸出權(quán)值矩陣β=H+T。其中，T為目標(biāo)矩陣，H+為隱含層輸出矩陣H的廣義逆，當(dāng)HHT為非奇異時(shí)，H+=HT(HHT)-1。為了提高網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性，引入正則化系數(shù)η，I為單位矩陣，則輸出權(quán)值的最小二乘解為：

因此，ELM的相應(yīng)輸出函數(shù)為

1.2 MK-ELM

在特征映射函數(shù)g(x)未知的情形下，將核函數(shù)引入到ELM中，則可形成新的基于核的核極限學(xué)習(xí)機(jī)方法，定義核矩陣

結(jié)合式（4），網(wǎng)絡(luò)輸出可表示為

核矩陣是每個(gè)點(diǎn)之間的高維映射之后的內(nèi)積構(gòu)成的矩陣。稱為核函數(shù)的核矩陣必須是半正定的。常用的核函數(shù)有：

由于每個(gè)核函數(shù)的自身的局限性，在面對(duì)部分輪對(duì)尺寸復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、較大的數(shù)據(jù)規(guī)模時(shí)，常用的核函數(shù)構(gòu)成的學(xué)習(xí)機(jī)不能很好的兼顧預(yù)測(cè)結(jié)果的泛化性能和學(xué)習(xí)性能。考慮到全局函數(shù)多項(xiàng)式核函數(shù)泛化性能強(qiáng)，學(xué)習(xí)能力弱，局部函數(shù)RBF核函數(shù)學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，泛化能力弱的特點(diǎn)，基于核函數(shù)的Mercer性質(zhì)[12]，構(gòu)造了多項(xiàng)式核函數(shù)Kpoly和RBF核函數(shù)Krbf加權(quán)構(gòu)成的多核函數(shù)：

式中，μ∈[0,1]，表示多核函數(shù)權(quán)重系數(shù)，當(dāng)μ為1時(shí)，多核函數(shù)K為多項(xiàng)式核函數(shù)，當(dāng)μ為0時(shí)，K為RBF核函數(shù)。

1.3 PSO優(yōu)化MK-ELM

MK-ELM需對(duì)式（5）中正則化系數(shù)η以及式（9）中的核參數(shù)σ、p、μ進(jìn)行尋優(yōu)，若隨機(jī)選擇模型關(guān)鍵參數(shù)則可能導(dǎo)致結(jié)果誤差較大，因此，在本文中，采用PSO算法優(yōu)化參量η，σ、p、μ以建立PSOMK-ELM預(yù)測(cè)模型。PSO算法[13]是一種隨機(jī)搜索和并行優(yōu)化算法，具有簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)和快速收斂等優(yōu)點(diǎn)。模型回歸預(yù)測(cè)值相對(duì)于實(shí)際值的偏差可用均方根誤差（RMSE，Root Mean Square Error）表示，選擇RMSE作為算法的適應(yīng)度函數(shù)：

式中，xi表示實(shí)際值；yi表示預(yù)測(cè)值；n表示訓(xùn)練樣本的總數(shù)。也就是說(shuō)，在給定范圍內(nèi)尋找到一組η，σ、p、μ，以確保模型的RMSE值最小。待獲取到模型優(yōu)化參數(shù)后，將之代入式（5）、式（9），即可得到PSO-MK-ELM模型表達(dá)式。

PSO-MK-ELM預(yù)測(cè)模型的詳細(xì)建模過(guò)程如下：

（1）產(chǎn)生一組種群規(guī)模為40的粒子群初始值。每一個(gè)粒子的位置P(i).location=[ηi(t),σi(t),pi(t),μi(t)]T和速度P(i).velocity=[Δηi(t),Δσi(t),Δpi(t),Δμi(t)]T隨機(jī)初始化。

（2）通過(guò)等式（10）計(jì)算F得到個(gè)體適應(yīng)度作為確定單個(gè)粒子的最佳位置P(i).best,以及每個(gè)群體的最佳位置G(i).best。

（3）使用以下等式更新粒子速度和位置：

式中：ω表示慣性權(quán)重；ωmax取0.9；ωmin取0.4；c1、c2表示學(xué)習(xí)因子，c1取 2.2，c2取 1.8 ；r1、r2表示兩個(gè)隨機(jī)數(shù)。種群數(shù)為50，最大迭代次數(shù)為100。

（4）重復(fù)步驟（2）和（3），直到滿足終止條件F＜1×10-3。返回最佳參數(shù)η，σ、p、μ。

2 基于PSO-MK-ELM輪對(duì)尺寸預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建與評(píng)價(jià)

2.1 輪對(duì)尺寸數(shù)據(jù)

輪對(duì)包括車(chē)輪和車(chē)軸，車(chē)輪與鋼軌接觸面為踏面。由于車(chē)輪傳遞輪軌間的驅(qū)動(dòng)力及制動(dòng)力，且經(jīng)常與軌道發(fā)生撞擊、摩擦，容易導(dǎo)致車(chē)輪踏面磨損，使車(chē)輪踏面直徑減少。日常檢修車(chē)輪，主要通過(guò)檢測(cè)輪對(duì)踏面外形尺寸來(lái)初步判斷車(chē)輪磨耗程度，包括輪徑值等。輪徑值即車(chē)輪踏面直徑，本文采用的CRH2車(chē)型動(dòng)車(chē)輪對(duì)尺寸原始數(shù)據(jù)是由裝載于鐵軌上的光截圖像檢測(cè)系統(tǒng)記錄所得，其輪徑值安全運(yùn)用范圍為790 mm～860 mm。

2.2 預(yù)測(cè)模型建模過(guò)程

圖1表示PSO-MK-ELM輪對(duì)尺寸預(yù)測(cè)模型建模過(guò)程，包括數(shù)據(jù)處理流程圖，預(yù)測(cè)模型建立及PSO參數(shù)優(yōu)化。具體建模步驟如下：

（1）數(shù)據(jù)采集與清洗。由于動(dòng)車(chē)輪對(duì)的檢測(cè)數(shù)據(jù)易受測(cè)量位置、維修人員測(cè)量習(xí)慣及載荷、鋼軌狀況等因素的影響，導(dǎo)致記錄歷史測(cè)量數(shù)據(jù)會(huì)存在測(cè)量誤差和明顯的異常點(diǎn)，故采用局部加權(quán)回歸散點(diǎn)平滑法（LOWESS ，Locally Weighted Scatterplot Smoothing）對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪處理。

（2）數(shù)據(jù)重構(gòu)。輪對(duì)尺寸數(shù)據(jù)整體呈現(xiàn)為隨運(yùn)行時(shí)間變化的時(shí)間序列。采用滾動(dòng)預(yù)測(cè)模式，假定序列中前m個(gè)歷史輪對(duì)數(shù)據(jù)對(duì)此后的第m+1個(gè)值有影響，設(shè)原始序列Xi按照xi=(Xi，Xi+1，…，Xi+(m-1))重構(gòu)出的多維矩陣即為輸入數(shù)據(jù)集，yi=Xi+m為輸出集，并將重構(gòu)的樣本劃分為訓(xùn)練集和測(cè)試集。

（3）預(yù)測(cè)模型建立。用訓(xùn)練集數(shù)據(jù)訓(xùn)練MKELM網(wǎng)絡(luò)，采用PSO算法進(jìn)行關(guān)鍵參數(shù)尋優(yōu)，獲取最佳模型參數(shù)。

（4）預(yù)測(cè)結(jié)果評(píng)價(jià)。獲取到模型參數(shù)后，應(yīng)用測(cè)試集數(shù)據(jù)在建立好的PSO-MK-ELM模型中進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到模型最終預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖1 基于PSO-MK-ELM的輪對(duì)尺寸預(yù)測(cè)模型建模過(guò)程

2.3 模型預(yù)測(cè)結(jié)果評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)本文所建立的PSO-MK-ELM輪對(duì)尺寸預(yù)測(cè)模型的性能，采用擬合優(yōu)度R2、均方差（MSE，Mean Square Error)、平均絕對(duì)誤差（MAE ，Mean Absolute Error）和平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE ，Mean Absolute Percent Error）作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量預(yù)測(cè)結(jié)果精度。計(jì)算公式如下：

其中，yi為車(chē)輪尺寸數(shù)據(jù)真實(shí)值；為模型的預(yù)測(cè)值和分別為真實(shí)和預(yù)測(cè)車(chē)輪尺寸的平均值；n為預(yù)測(cè)樣本數(shù)。

一般來(lái)說(shuō)，模型預(yù)測(cè)結(jié)果的R2越接近于1越好，MSE、MAE和MAPE越接近于0越好。

3 應(yīng)用分析

3.1 PSO-MK-ELM模型的輪徑值預(yù)測(cè)分析

采用CRH2車(chē)型某動(dòng)車(chē)1車(chē)廂1號(hào)輪2016年—2017年的部分歷史輪徑值作為數(shù)據(jù)樣本，如圖2所示。圖2a為原始數(shù)據(jù)記錄值的散點(diǎn)圖，圖2b表示輪徑預(yù)處理值，即原始數(shù)據(jù)經(jīng)LOWESS去噪后的結(jié)果。去噪后的輪徑值序列反映了車(chē)輪踏面直徑隨運(yùn)行時(shí)間增加呈單調(diào)遞減的規(guī)律。

擬設(shè)定序列中前5個(gè)歷史輪徑值對(duì)此后的第6個(gè)輪徑值有影響，將輪徑值序列重構(gòu)出228組輸入輸出數(shù)據(jù)集。同時(shí)按照訓(xùn)練集與測(cè)試集數(shù)據(jù)量比值為4：1進(jìn)行學(xué)習(xí)預(yù)測(cè)，即前184組作為訓(xùn)練樣本集，后44組作為測(cè)試樣本集。

圖2 輪徑值數(shù)據(jù)樣本

基于MK-ELM算法對(duì)訓(xùn)練集進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，采用PSO迭代尋找模型最佳參數(shù)。圖3表示PSOMK-ELM預(yù)測(cè)模型訓(xùn)練輪徑值迭代100次的最優(yōu)適應(yīng)度函數(shù)變化圖。由圖3可知，網(wǎng)絡(luò)模型在迭代到第29次時(shí)訓(xùn)練集的RMSE達(dá)到了最低值，輸出此時(shí)的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，即為模型最優(yōu)參數(shù)。

用測(cè)試集數(shù)據(jù)進(jìn)行模型性能檢驗(yàn)。預(yù)測(cè)結(jié)果如圖4所示，采用PSO-MK-ELM模型對(duì)輪徑值進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)際情況具有很好的一致性。計(jì)算得到預(yù)測(cè)值的R2為0.995 1，MSE為0.001 5，MAE為0.028 5，MAPE為0.000 3%，反映出PSO-MKELM預(yù)測(cè)模型具有較高的精度和擬合泛化能力。

圖3 PSO-MK-ELM預(yù)測(cè)模型100次迭代優(yōu)化圖

圖4 車(chē)輪直徑預(yù)測(cè)結(jié)果

3.2 多種算法預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比分析

為了綜合評(píng)定多核極限學(xué)習(xí)機(jī)預(yù)測(cè)車(chē)輪尺寸數(shù)據(jù)的性能，選取傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，極限學(xué)習(xí)機(jī)（ELM），以及線性核極限學(xué)習(xí)機(jī)（L-ELM）、多項(xiàng)式核極限學(xué)習(xí)機(jī)（P-ELM）、RBF核極限學(xué)習(xí)機(jī)（RELM）3種常用的核極限學(xué)習(xí)機(jī)算法與粒子群優(yōu)化的多核極限學(xué)習(xí)機(jī)（PSO-MK-ELM）的預(yù)測(cè)結(jié)果作比較。同時(shí)采用R2、MSE、MAE和MAPE作為評(píng)定指標(biāo)進(jìn)行分析，預(yù)測(cè)結(jié)果，如表1所示。

由表1可知，ELM模型與傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，預(yù)測(cè)結(jié)果的R2較高，MSE、MAE和MAPE較低，說(shuō)明針對(duì)輪徑值的預(yù)測(cè)，ELM泛化性能更好，預(yù)測(cè)精度更高。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和ELM的預(yù)測(cè)結(jié)果具有不穩(wěn)定性，引入核函數(shù)后不僅保證了預(yù)測(cè)結(jié)果的穩(wěn)定性，還在一定程度上改善了預(yù)測(cè)模型性能。其中，引入多項(xiàng)式核函數(shù)后顯著提高了模型的R2，說(shuō)明P-ELM的泛化性能較強(qiáng)，引入RBF核函數(shù)后降低了模型的MSE、MAE和MAPE，說(shuō)明R-ELM的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性較好。MK-ELM模型由P-ELM和R-ELM加權(quán)構(gòu)成，結(jié)合了兩者的優(yōu)點(diǎn)。采用PSO-MK-ELM模型進(jìn)行輪徑值預(yù)測(cè)，與P-ELM相比，預(yù)測(cè)結(jié)果的R2從0.994 9提高到了0.995 1；與R-ELM相比，MSE降低了92.4%，MAE降低了74.7%，MAPE降低了40%。PSO-MK-ELM模型預(yù)測(cè)結(jié)果的MSE、MAE和MAPE均低于其他5個(gè)模型，說(shuō)明該優(yōu)化模型針對(duì)輪徑值預(yù)測(cè)的精度和準(zhǔn)確性最高，且模型的R2較高，也反映出模型的擬合泛化能力較強(qiáng)。

從實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證可以看出，與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、ELM、L-ELM、P-ELM及R-ELM模型相比，PSO-MK-ELM模型既避免了傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可能存在的結(jié)果不穩(wěn)健的缺點(diǎn)，同時(shí)保證了預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，預(yù)測(cè)結(jié)果表明模型具有較高的預(yù)測(cè)精度、準(zhǔn)確度和擬合泛化能力，能夠較精準(zhǔn)地預(yù)測(cè)輪對(duì)尺寸。

表1 車(chē)輪直徑不同算法預(yù)測(cè)結(jié)果比較

4 結(jié)束語(yǔ)

（1）本文將PSO-MK-ELM算法應(yīng)用到動(dòng)車(chē)車(chē)輪尺寸預(yù)測(cè)上，通過(guò)模型建立及參數(shù)優(yōu)化，對(duì)CRH2車(chē)型動(dòng)車(chē)某車(chē)輪直徑數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，采用擬合優(yōu)度R2、均方差MSE、平均絕對(duì)誤差MAE和平均絕對(duì)百分比誤差MAPE作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量預(yù)測(cè)結(jié)果精度，R2為 0.995 1，MSE為 0.001 5，MAE為 0.028 5，MAPE為0.000 3%。

（2）通過(guò)比較BP算法、ELM、L-ELM、P-ELM、R-ELM、PSO-MK-ELM的預(yù)測(cè)結(jié)果，針對(duì)車(chē)輪尺寸的預(yù)測(cè)，ELM模型比傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化性能更好，預(yù)測(cè)精度更高；引入核函數(shù)后一定程度地改善了預(yù)測(cè)模型性能，PSO-MK-ELM模型針對(duì)輪徑值預(yù)測(cè)的精度和準(zhǔn)確性更高，擬合泛化能力更強(qiáng)。

（3）建立的模型在動(dòng)車(chē)輪對(duì)尺寸預(yù)測(cè)上具有較好的應(yīng)用價(jià)值，可為相關(guān)部門(mén)提供參考。