預緊力對螺栓聯接機匣模態頻率的影響研究

邵 俊，伍濟鋼，周 根，陽德強

（湖南科技大學 機械設備健康維護湖南省重點實驗室，湖南 湘潭411201）

在航空發動機工作過程中，機匣結構極易發生振動，長久便容易使結構產生疲勞損傷，甚至發生斷裂，這將導致極大的安全隱患。在影響機匣結構振動特性的眾多因素中，除了各構件自身制造精度、材料屬性等因素之外，螺栓預緊力是影響機匣振動特性較為顯著的因素。隨著航空發動機設計要求的提高，預緊力對機匣振動特性的影響越來越受到重視。因此，研究螺栓預緊力對機匣模態參數的影響，在設計階段準確分析和預測航空發動機機匣結構的振動特性就顯得十分重要。

近年來，國內外學者對于預緊力對結構動態特性的影響進行了大量研究。Liu等[1]以螺栓聯接的兩個板件為研究對象進行了一系列模態測試，結果表明螺栓聯接預緊力對裝配件動態特性具有很大的影響。Beards[2]進行了一系列實驗，發現通過調節預緊力可以在一定程度上控制結構的共振頻率。趙猛[3]以螺栓聯接的兩段組合式懸臂梁模型為例開展研究，研究發現螺栓預緊力不同時，裝配結構模態頻率差異較大。鄭宗勇[4]基于有限元計算與試驗分析相結合的方法，分析了預緊力矩和結合面摩擦系數對整體結構模態頻率的影響。孫衍山等[5]研究了螺栓分布和螺栓數量對機匣抗彎剛度和振動頻率的影響。郇光周[6]利用有限元分析軟件建立了導彈艙段間螺栓聯接結構的有限元模型，研究了螺栓不發生屈服以及接觸面不發生松動的預緊力范圍。姚星宇等[7]利用薄層單元模擬航空發動機螺栓連接結構，研究了螺栓預緊力對軸向剛度的影響。

這些研究大多僅僅表明預緊力對螺栓聯接結構動態特性存在一定的影響，并未研究預緊力對各階模態頻率的影響大小。文中首先建立預緊力作用下的螺栓聯接結構模態方程，其次，以螺栓連接板試件為例，基于有限元分析和實驗結合的方法，驗證了本文螺栓聯接接觸面處理方法的準確性；然后，利用有限元分析軟件ANSYS Workbench 建立了機匣有限元模型，進行了不同預緊力作用下的機匣結構模態分析；最后，分析了剛性機匣和預緊力作用條件下的實體機匣各階模態頻率相對差異，重點研究了預緊力變化對機匣各階模態頻率影響程度。

1 預緊力作用下模態方程建立

模態分析基本方程為

式中：M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；x、、分別為位移、速度和加速度向量；F(t)為載荷向量。

若忽略阻尼的影響，即考慮結構自由振動模態，式(1)可進一步簡化成

自由振動模態方程式(2)可化為

式中：I為單位矩陣，φ為振型向量，ω為固有頻率。

在螺栓預緊過程中，連接結構內部會產生一定預應力，導致連接結構整體剛度K產生一定的剛度擾動ΔK。因此，預緊力作用下螺栓聯接結構模態方程為

此時，ΔK相應引起固有頻率產生一定擾動，式(4)變為

聯合式(3)和式(5)，則得頻率平方的偏移量

對非零振型φ，可將式(6)等式兩側同除以式(3)，得到預緊力對固有頻率平方影響幅度的一般表達式

由式(7)可見，螺栓預緊力引起相同振型的固有頻率平方的偏移，其相對偏離大小與結構剛度K、預緊力引起剛度矩陣改變量ΔK及質量矩陣有關。

同時，在多自由度系統中，參與各階模態參數的剛度和質量并不是結構的全部剛度和全部質量，而是結構“模態上”活躍的部分有效剛度和有效質量[8]。因此，螺栓預緊會導致機匣剛度矩陣產生擾動ΔK，若其主要增加參與某階模態參數的有效剛度，則預緊力對該階模態參數影響較大；若擾動剛度ΔK主要增加其非有效剛度，則預緊力對該階模態參數影響較小。

2 接觸面處理方法準確性驗證

探究預緊力對螺栓聯接機匣模態頻率的影響時，螺栓聯接接觸面處理尤為關鍵。螺栓有限元分析精確度很大程度上取決于螺栓聯接接觸面處理方法的正確與否。

本文以文獻[9]中螺栓聯接板為例，驗證文中關于螺栓聯接接觸面處理方法的準確性。在該文獻中Farhad Adel 對用M10 螺栓聯接而成的兩塊板進行試驗，兩根梁尺寸大小均為443×42×8.7 mm3，材料分別為7075-T651 鋁合金和碳/環氧復合材料，接頭區域的長度為60 mm，厚度為8.7 mm。螺栓上施加的預緊力矩大小為38 N?m。試件幾何形狀如圖1所示。

圖1 螺栓聯接板幾何形狀

首先建立尺寸相同的實體模型，在保證計算精度的前提下，為兼顧計算效率，對模型進行適當簡化和修改，比如忽略螺紋、倒角等特征。在進行網格劃分時，由于螺栓聯接法蘭結構中能量耗散主要發生在法蘭螺栓接觸面附近，因此，為了保證計算精度，細化聯接區域網格非常重要，而在法蘭其余部分可以使用相對粗糙的網格來降低計算量[10]。

在對接觸面進行處理時，為真實模擬實際工作情況，對螺栓頭與薄板1 接觸面、螺母與薄板2 接觸面和試件之間接觸面均設置為摩擦接觸，所有摩擦接觸均采用增廣拉格朗日乘子法計算，并且將常溫下的摩擦系數置為μ=0.66[11]。

由于螺栓與螺母之間的螺紋副是通過內、外螺紋旋合的形式連接，可近似認為二者之間無相對滑移和相互分離，故對螺母和螺栓之間接觸面設定為綁定接觸，其接觸狀態不會隨時間發生改變，屬于線性情況，可采用罰函數法計算[12]。

螺栓預緊力在ANSYS Workbench 有限元分析軟件中可較簡單模擬。根據式(8)估計施加的螺栓預緊力Fbolt大小[13]。

式中：dbolt是螺栓的直徑，Mbolt是螺栓預緊力矩。

施加在M10螺栓上的預緊力矩大小為38 N?m，則螺栓預緊力Fbolt≈22 352 N。通過仿真分析可以得到如圖2所示螺栓聯接板前6階彎曲振型。

圖2 螺栓聯接板前6階彎曲振型

表1所示為基于試驗和有限元分析的固有頻率值。

由表1可以看出，本文分析結果與模態試驗結果吻合較好，最大誤差為2.54%，說明文中螺栓聯接接觸面處理方法較為合理，在以后的螺栓聯接問題中，可以采用這種接觸面處理方法。

表1 試驗和有限元分析的固有頻率

3 預緊力對機匣模態頻率影響分析

3.1 機匣幾何模型的建立

螺栓聯接機匣結構模型由兩段機匣通過12 個螺栓聯接組成。機匣上下兩個筒體的尺寸完全相同，機匣筒體高290 mm，筒體內半徑為125 mm，壁厚4 mm，即外半徑為129 mm。法蘭安裝邊半徑均為155 mm，其螺栓通孔直徑為14 mm，孔中心距筒體中心143 mm，法蘭邊上均勻分布12個M10螺栓。圖3所示為機匣幾何模型。機匣和螺栓材料均為結構鋼，其材料參數如表2所示。

圖3 機匣幾何模型

表2 機匣和螺栓材料參數

3.2 機匣有限元模型的建立

對機匣模型進行網格劃分時，為提高計算精度，對接觸面附近區域采用細小的網格，而在遠離接觸面的區域可以采用較大的網格來降低計算量。圖4為機匣有限元模型。圖5為螺栓位置網格細化局部放大圖。

在設置接觸時，采用前文驗證過的螺栓聯接接觸面處理方法，將匣體1 與匣體2、螺栓頭與匣體1、螺母與匣體2、螺栓和螺母之間設置接觸對，全模型共設置37 個接觸對。將螺栓和螺母之間接觸面采用綁定接觸，因其接觸狀態不會隨時間發生改變，屬于線性情況，對其采用罰函數方法進行計算。除了螺栓和螺母接觸面之外，其余接觸面均采用摩擦接觸，并運用增廣拉格朗日乘子法計算，同時鋼與鋼摩擦系數選為常用的0.15。

圖4 機匣有限元模型

圖5 螺栓位置網格細化局部放大圖

3.3 不同預緊力作用下機匣模態分析

為了分析預緊力對螺栓聯接機匣模態頻率的影響，本文通過設定10 種不同大小預緊力(1 000 N，2 000 N，3 000 N，…，9 000 N，10 000 N)來對螺栓聯接機匣進行自由模態分析，去除前6階剛體模態，取接下來的前15 階模態頻率結果進行對比。并且考慮到在以往的分析中，螺栓聯接經常被當做剛性聯接(一體式)處理，因此本文同時進行了剛性機匣自由模態分析。表3所示為剛性機匣和不同預緊力作用下實體機匣的前15階固有頻率。

為方便看出剛性機匣和預緊力作用條件下的實體機匣的模態頻率差異，將表3中數據輸出成折線圖，圖6為剛性機匣和不同預緊力作用條件下實體機匣的前15階固有頻率折線圖。

圖6 剛性機匣和不同預緊力作用條件下實體機匣的前15階固有頻率折線圖

從圖6可以看出，對于預緊力作用下的實體機匣，其前15階模態頻率值始終小于剛性機匣對應模態頻率。可以發現，隨著預緊力的增加，機匣結構模態頻率逐漸增大。原因是預緊力增大，由螺栓預緊引起機匣內部產生的預應力隨之增加，導致機匣剛度矩陣擾動ΔK變大，其各階固有頻率總體上有所增大。

3.4 剛性機匣和實體機匣模態頻率差異分析

表3 剛性機匣和不同預緊力作用下實體機匣的前15階固有頻率

定義剛性機匣和預緊力F作用條件下的實體機匣各階模態頻率的相對差異大小δ為式中：ω0n是剛性機匣第n階模態頻率，ωFn是預緊力F作用下實體機匣第n階模態頻率。

通過式(9)計算，得到如圖7所示剛性機匣和預緊力F作用下實體機匣各階頻率相對差異圖。

圖7 剛性機匣和預緊力F作用條件下實體機匣各階固有頻率相對差異

由圖7可知，剛性機匣和預緊力作用條件下實體機匣的第7、11、14 階頻率相對差異較大，其他階頻率相對差異較小。原因是剛性機匣分割成兩段式機匣時，其分割面附近剛度會大大降低，降低的剛度主要是參與第7、11、14 階模態頻率的有效剛度，導致剛性機匣和預緊力作用下實體機匣在第7、11、14階頻率相對差異較大。同時說明在對螺栓聯接結構進行動力學分析時，不能將其簡單簡化為剛性聯接。

3.5 預緊力對機匣模態頻率影響程度分析

預緊力變化時，定義機匣各階模態頻率相對變化大小α為

式中：是預緊力F1作用下實體機匣第n階模態頻率，是預緊力F2作用下實體機匣第n階模態頻率。

分別計算預緊力由1 000 N 增加至5 000 N、2 000 N 增加至6 000 N、3 000 N 增加至7 000 N、4 000 N增加至8 000 N時各階模態頻率相對變化大小α。圖8所示為預緊力由F1增加至F2時機匣各階固有頻率相對變化大小。

由圖8可知，預緊力對各階固有頻率的影響程度各不相同。預緊力變大時，第7階、第11階和第14階固有頻率相對變化較大，而其他階固有頻率相對變化較小。

圖9是預緊力為6 000 N 時機匣7～12 階振型圖。

圖8 預緊力由F1增加至F2時各階固有頻率相對變化大小

圖9 預緊力6 000 N時機匣7～12階振型

結合圖9可看出，第7、11 階振型的連接面處相對變形較大，由預緊力引起的擾動剛度ΔK主要增大參與這幾階模態頻率的有效剛度。因此，預緊力對第7、11、14 階頻率的相對影響程度α較大。而對于其他階振型，連接面處相對變形較小，參與其模態頻率的有效剛度主要不在連接面附近，故擾動剛度ΔK主要增大其非有效剛度，因此，預緊力對其它模態頻率相對影響程度α較小。

4 結語

通過本文研究，得出如下結論：

(1)預緊力作用下的實體機匣，其前15 階模態頻率值始終小于剛性機匣對應模態頻率值。隨著預緊力的增大，機匣各階固有頻率總體上有所增大。

(2)將剛性機匣分割成兩段式機匣時，其分割面附近的剛度會大大降低。因此，在對螺栓聯接結構進行動力學分析時，不能將其簡單簡化為剛性聯接。

(3)預緊力對機匣各階固有頻率的影響程度各不相同。結合振型圖發現，對于連接面處相對變形較大的振型，其模態頻率受預緊力的影響較大；而對于連接面處相對變形較小的振型，其模態頻率受預緊力的影響較小。