自適應控制系統中矩陣解耦控制算法研究

高偉鵬，賀 國，劉樹勇，楊理華

（1.海軍工程大學 動力工程學院，武漢430033； 2.海軍潛艇學院 動力系，山東 青島266199）

對于船舶機械設備的振動問題，被動隔振無法消除旋轉機械造成的線譜，且工況復雜，無法進行精確建模，常規的控制手段減振效果不明顯。自適應主動控制的基本原理是直接在結構上附加作動器，通過自適應律調節控制輸出信號，驅動作動器產生相反的力抵消初級振動[1-2]。與傳統的控制手段相比，自適應方法在控制具有時變特性的低頻線譜振動上有獨特的優勢[2]。在實際的控制系統中，單一的作動器難以滿足振動控制的需求，需要多個作動器來擴大范圍，即需要采用多通道自適應控制算法（MFxLMS）。但MFxLMS 存在許多局限，例如時延大、參考信號難以提取、通道耦合等問題。

國內外學者對MFxLMS 算法進行了很多研究。文獻[3]提出了一種模塊化的LMS 框架自適應算法來進行多通道的LMS FIR 濾波，即多變量系統的辨識。文獻[4-5]中討論了在頻率跟蹤的基礎上對振動影響進行控制以及引進Sigmoid 函數約束優化控制器權系數抑制輸出飽和問題，顯著改善自適應控制器的性能。文獻[6]中討論了多通道FURLS算法，克服了空間寬帶噪聲收斂速度慢的問題，消除了聲反饋對系統穩定性的影響。文獻[7]討論了窄帶多通道Fx-Newton 控制算法，其迭代矩陣的特征值均接近1，可獲得最佳的收斂速度。文中主要針對MFxLMS 的通道耦合問題進行研究，傳統自適應方法多通過集中式控制實現解耦，簡單的集中解耦運算量大，穩定性差，微小的波動可能會使控制器沿著錯誤的方向收斂，從而導致控制發散[8-9]。

針對通道數較少（n＜4）的控制系統，提出一種矩陣解耦優化算法。其原理是基于前饋補償在次級通道矩陣前插入解耦優化矩陣，實現控制信號與誤差信號的一一對應，此時控制系統等效為多個單回路，系統穩定性和收斂速度均有所提高。同時，為了增強作動器與臨近傳感器之間傳遞函數的作用，解耦矩陣主對角元素取為1，并給出解耦矩陣在工程實現時的具體計算方法。通過雙層隔振平臺的仿真和試驗對矩陣解耦優化算法進行驗證，控制效果明顯。

1 多通道主動控制系統

多通道主動控制系統中控制信號要經過多路次級通道才能到達誤差傳感器，每一個誤差傳感器采集的信號包含所有控制信號對該傳感器的輸出。

文中所探討的多通道主動控制系統包含一個參考信號、N個作動器和N個誤差信號。即存在N×N誤差通道，其響應函數S(n)均用長度為M的FIR濾波器表示。控制濾波器w(n)設為長度為L的FIR濾波器。參考輸入信號、期望信號、誤差信號、控制信號分別為X(n)、D(n)、E(n)、Y(n)，上述信號在多通道控制算法中均為N階向量。控制器權系數矩陣和次級通道傳遞函數矩陣分別為W(n)和S(n)。參數可表示為

其中：

次級通道傳遞函數矩陣為S(n)，維度為N×N。

每一個Sij(n)表示第j個作動器對第i個誤差傳感器之間的次級通道傳遞函數。

多通道自適應控制的算法框圖如圖1所示[10-12]。

圖1 多通道自適應算法框圖

由圖1可得

其中：

誤差信號分量形式可以表示為

注意，式(4)中的yi(n)=wTi(n)x(n)得到的是第i個控制濾波器的輸出。wi(n)為第i個控制器權系數，其長度為L

多通道控制算法的目標函數為

根據最陡下降原理，得到控制濾波器迭代更新算法如下

2 解耦矩陣的構造與工程實現

2.1 解耦矩陣的構造

根據前饋補償原理，構造解耦矩陣使次級通道傳遞函數矩陣的非對角元素為0，實現完全解耦，解耦后的系統等效為多個單回路，輸出信號與誤差信號之間實現一一對應。為了減小解耦矩陣的計算復雜程度，本文構造的解耦矩陣H(n)對角元素均為1，使其在頻率范圍內滿足

這里為對角矩陣，具體可表示為

以三通道主動控制系統為例，插入解耦矩陣后，控制算法框圖如圖2所示。

圖2 三通道矩陣解耦控制算法框圖

由圖2可得，解耦矩陣的作用相當于是把單一控制器輸出互相疊加到其他控制輸出信號上，以此來抵消其他控制信號對本通道的影響。將新的誤差通道傳遞函數矩陣變為對角陣，這里用頻域表示，則有

求解可得

解耦矩陣H(s)為

2.2 解耦矩陣的工程實現

由式(12)可以看出，解耦矩陣的頻域表示H(s)中包含傳遞函數“乘”、“逆”等復雜運算，而對于文中所涉及到的具體工程應用，次級通道的傳遞函數以濾波器抽頭系數來表示，長度為M。

傳遞函數的“乘運算”在時域內轉化為2個濾波器抽頭系數的卷積，為進一步簡化計算，取卷積中心數據長度為M的數值作為卷積計算結果；非對角元素Hij(n)此時可看作2 個列向量“相除”，在MATLAB中進行運算，得到M×M矩陣，取出其中不為零的一列作為Hij(n)的計算結果，則Hij(n)最后的計算結果為一個長度為M的列向量。

重復以上步驟，得到解耦矩陣H(n)的時域解，實現解耦矩陣的工程應用。整個解耦矩陣的計算是在次級通道離線辨識的基礎上完成的，沒有額外增加控制過程中的計算量。且簡化計算后解耦矩陣非對角元素的長度與辨識濾波器長度一致，均為M。

此時，插入解耦矩陣后，新的次級通道矩陣可表示為

這里，為減小計算量便于控制過程的工程實現，Sij(n)與Hij(n)卷積運算時也取卷積中心數據長度為M的數值作為運算結果，則中主對角元素的長度為M。

通過插入解耦矩陣，系統可大致等效于多個單回路。某個控制器權系數的更新只跟對應的誤差信號有關，大大減少了控制系統的計算量，提高了算法的穩定性。

3 仿真與試驗研究

以雙層隔振試驗平臺為研究對象，對矩陣解耦優化算法進行仿真與試驗驗證。系統含有1個參考信號傳感器，3 個電磁作動器（第4 個作動器起承載作用）和3 個誤差信號傳感器。作動器與中層加速度傳感器之間即為物理次級通道，以試驗測得的9組次級通道數據作為仿真中的次級通道模型，對含有白噪聲的雙頻線譜進行控制。

圖3 多通道雙層隔振系統模型

3.1 誤差通道辨識

為了得到控制試驗中較為精確的次級通道模型，利用20 Hz～150 Hz的白噪聲依次激勵4個作動器，采樣頻率為2 kHz，采用橫向濾波器作為辨識模型（以橫向濾波器來逼近誤差通道傳遞函數），階數設為128。部分誤差通道的辨識結果如圖4所示。

圖4 誤差通道辨識結果

辨識結果用橫向濾波器表示，橫坐標代表濾波器階數，縱坐標為每1 階對應的抽頭系數。圖4中圖4(a)、圖4(b)、圖4(c)分別代表了1號作動器與1號傳感器、2號傳感器和3號傳感器之間的誤差通道辨識結果，不難看出1號作動器與1號傳感器之間的誤差通道辨識系數較大，符合客觀事實。同理，圖4(d)、圖4(e)為2號作動器與2號傳感器、3號作動器與3號傳感器之間的誤差通道辨識結果。

3.2 多通道控制仿真

將上述辨識得到的誤差通道放在Simulink控制模型中，進行三通道主動控制仿真。模擬參考輸入信號為40 Hz 與60 Hz 的雙頻信號疊加高斯白噪聲而成。

實際的誤差通道矩陣為

由S(n)構造解耦矩陣H(n)，其主對角線元素為1，將解耦矩陣置于控制信號之后；用新的次級通道矩陣對參考信號濾波。矩陣解耦控制仿真程序如圖5所示。

控制迭代步長為5×10-5，控制濾波器長度為300階，對不考慮通道耦合和矩陣解耦優化兩種情況分別進行控制仿真，結果如圖6、圖7所示。

圖5 矩陣解耦控制仿真程序圖

圖6 不考慮耦合時對雙頻激勵控制效果

圖7 矩陣解耦控制算法對雙頻激勵的控制效果

由圖6、圖7仿真結果可知，不考慮通道耦合時直接進行控制，3 個控制點處基本處于控制失效狀態，甚至出現振動加劇情況；而矩陣解耦優化算法使3個控制點處都產生較好的隔振效果，其平均隔振效果可達24 dB（40 Hz）和11 dB（60 Hz），1號控制點效果最佳。仿真結果表明在多通道控制時矩陣解耦優化是非常有必要的。由于所用激勵線譜頻率均為100 Hz以下，為了更加直觀描述控制效果，頻譜圖中橫坐標頻率的范圍設為0～100 Hz，控制系統在0～100 Hz振動減小，但超過100 Hz頻段則可能表現出頻譜變大，并非在全頻段均為頻譜下降。

3.3 多通道控制試驗

搭建控制平臺，涉及的主要設備有主被動一體化電磁作動器、激振器、LA-200 功率放大器、dSPACE 控制系統及臺架、直流穩壓穩流電源及Junus JSP-180-30驅動器、加速度傳感器和XK343L-8信號調理器等。平臺上安裝4個作動器，第4個僅作為被動裝置起支撐作用。雙層隔振平臺及部分設備如圖8所示。

圖8 試驗臺架及部分設備

將上層加速度信號作為控制系統的參考輸入信號，將中層加速度信號作為控制系統的誤差信號。試驗中采用37 Hz 與110 Hz 的雙頻振動激勵，采樣間隔為0.000 1 s。三通道矩陣解耦控制前后3 個點的頻域響應如圖9所示。

圖9中表明了3 個加速度傳感器信號控制前后的頻域響應，37 Hz線譜的控制效果優于110 Hz。各頻率隔振效果具體情況如表1所示。

圖9 三通道集中式控制效果

表1 控制前后三通道振動衰減情況

表1中可以直觀看出三通道矩陣解耦控制對于雙頻線譜激勵有較好的控制效果，平均振動衰減可達21.6 dB（37 Hz）和10.9 dB（110 Hz），其中在2號控制點的隔振控制效果最佳。

4 結語

本文將矩陣解耦優化算法應用于多自由度主動隔振系統中，并進行仿真和試驗分析。針對控制系統中的次級通道耦合，基于前饋補償原理提出一種矩陣解耦優化算法。為增強作動器與臨近傳感器之間傳遞函數的作用，解耦矩陣主對角元素設為1，給出解耦矩陣工程實現方法。解耦后的系統等效為多個單回路系統，提高了算法的穩定性，減小計算量。

搭建雙層隔振試驗平臺進行仿真和試驗驗證，結果表明：矩陣解耦優化算法對于雙頻線譜激勵有良好的控制效果，3 個點的平均振動衰減為21.6 dB(37 Hz)和10.9 dB(110 Hz)。