Rn空間中幾乎凸不等式系統的度量正則性與全局誤差界

陳慧敏

( 西華師范大學數學與信息學院，四川南充 637009)

0 引言

在本文中, 考慮如下不等式系統：

f(x)≤0，x∈C，

S∶={x∈C|f(x)≤0}=C∩(lev≤0f)，本文中始終假設集合S≠?.當X=Rn時,f為幾乎凸函數, 集合C?Rn為幾乎凸集，此時，稱該系統為幾乎凸不等式系統(1).當X=Rn時，f為凸函數，集合C?Rn為閉凸集，此時，稱該系統為凸不等式系統(2).凸不等式系統(2)為幾乎凸不等式系統(1)的特殊情況.

近年來，關于誤差界、度量正則性和Slater條件的研究在數學規劃中引起了廣泛的關注.度量正則性已被認為是當代變分分析的核心概念之一，其在廣義方程，變分不等式，優化等方面發揮著非常重要的作用(參見文獻[1,2,3]).1998年，Deng[4]在Banach空間中證明了凸不等式系統的度量正則性、全局誤差界和Slater條件之間的關系.在一定條件下，文獻[5]在 空間中證明了幾乎凸不等式系統(1)全局誤差界的存在性，即：存在λ>0，使得

d(x,S)≤λ[f(x)]+，?x∈C.

1 預備知識

首先回顧一些相關的概念與基本結論.

f(tx+(1-t)y)≤tf(x)+(1-t)f(y)，?x,y∈S，?t∈[0,1]，

為證明主要結論, 我們需要如下定義、引理和命題.

定義1[6]設A，B是Rn的子集， 若clA=clB和riA=riB， 則稱集合A和B近似相等， 表示為A≈B.

定義2[3]設A是Rn的子集， 若存在Rn的一個凸子集D， 使得D?A?clD， 稱A為幾乎凸集.

定義4[4]假設系統(1)的解集S非空且集合??S， 若存在正常數δ和τ(δ)， 使得：

d(x,S)≤τ(δ)[f(x)]+當d(x,?)≤δ，?x∈C

稱系統(1)在集合?上有度量正則性，其中[f(x)]+=max{f(x),0}.

當?={z}時， 稱系統(1)在z處有度量正則性.若系統(1)在z處有度量正則性，并且對任意的z∈S均成立， 則稱系統(1)在集合S中的每一點處都有度量正則性.

注1[8]A為幾乎凸集且riA=?， 則riA和clA為凸集.

2 主要結果

S∶={x∈D|h(x)≤0}非空， 考慮以下結果：

(ⅰ)系統(2)具有全局誤差界.

(ⅱ)系統(2)在任意非空集合??S上具有度量正則性.

(ⅲ)系統(2)在集合S上有度量正則性.

(ⅳ)系統(2)在集合S內每一點處都有度量正則性.

(ⅴ)系統(2)滿足Slater條件.

則以下關系成立：

(ⅰ)?(ⅱ)?(ⅲ)?(ⅳ)?(ⅴ)

證明在Banach空間中，Deng[4]證明了該結論成立.當x∈D∩domh，在Rn空間中，經過驗證該結論仍成立.當x∈D|domh時，h(x)=+∞，[h(x)]+=+∞， 故該結論顯然也成立.

clf(x)≤0，x∈clC

(3)

(ⅰ)系統(1)具有全局誤差界.

(ⅱ)系統(1)在任意非空集合??S上具有度量正則性.

(ⅲ)系統(1)在集合S上有度量正則性.

(ⅳ)系統(1)在集合S內每一點處都有度量正則性.

(ⅴ)系統(1)滿足Slater條件.

則以下關系成立：

(ⅰ)?(ⅱ)?(ⅲ)?(ⅳ)?(ⅴ)

證明(ⅰ)?(ⅱ)：幾乎凸不等式系統(1)具有全局誤差界，即：存在正常數λ>0， 對于任意的x∈C， 都有d(x,S)≤λ[f(x)]+.

所以，對于任意的x∈C且滿足d(x,?)≤δ， 上式也是成立的.故系統(1)在集合S的任意非空子集?上具有度量正則性.

(ⅱ)?(ⅲ)：已知系統(1)在集合S的任意非空子集?上具有度量正則性， 即存在正常數δ與τ(δ)， 使得

d(x,S)≤τ(δ)[f(x)]+，當d(x,?)≤δ，?x∈C

當?=S時， 易得系統(1)在集合S上有度量正則性.

(ⅲ)?(ⅳ)：系統(1)在集合S上有度量正則性， 即存在正常數δ與τ(δ)， 使得

d(x,S)≤τ(δ)[f(x)]+，d(x,S)≤δ

所以， 若幾乎凸不等式系統(1)滿足Slater條件， 則系統(1)在集合S中的每一點處都有度量正則性.

(ⅰ)凸不等式系統(3)有全局誤差界?幾乎凸不等式系統(1)有全局誤差界.

(ⅴ)幾乎凸不等式系統(1)滿足Slater條件?凸不等式系統(3)滿足Slater條件.

證明(ⅰ) 證明參見文獻[5].

d(x,S)≤τ(δ)[f(x)]+，當d(x,S)≤δ

同理， 用類似的證明方法可以推出(ⅲ)、(ⅳ)成立.

(ⅴ)由文獻[8]中引理6.3與命題6.2可知， 幾乎凸不等式系統(1)滿足Slater條件可以推出凸不等式系統(3)滿足Slater條件.