淺談“解析幾何”教學中空間想象能力的培養

楊立娟

( 綿陽師范學院數理學院，四川綿陽 621000)

“解析幾何”是高等院校數學專業一門重要的基礎課程，是中學平面解析幾何與立體幾何的繼續和提高,是“微分幾何”“高等幾何”以及“拓撲學”等課程的基礎，也為物理學和工程技術提供必要的數學工具.解析幾何是用代數的方法研究幾何問題，通過向量與坐標，建立曲線，曲面方程，研究空間曲線，空間曲面的性質特征.對于空間圖形的掌握，學生的空間想象能力非常重要.因此空間想象能力是解析幾何教學中需要培養的基本能力之一,通過解析幾何課程的學習，需要掌握；

1)基本空間曲線，空間曲面的方程與圖形形狀，并會作圖；

2)根據條件建立空間曲線，空間曲面的方程；

3)一些簡單曲面所圍成的空間圖形的作圖.

在教學實踐中，發現不少學生空間想象能力較差，通過解析幾何的學習，并沒有提升相應的能力，尤其對空間圖形感到困難.本文主要討論解析幾何課程的圖形教學，以培養提高學生的空間想象能力.

1 課堂上的板書教學

數學課堂教學的特點之一，教師在講解時要大量地在黑板上演算，推理，演示，每一步都是嚴謹而準確的，學生的思維與教師同步進行.這種傳統的教學方式是根本，在這基礎上加入現代教育技術手段后，教學方式更加完善，更有效率.解析幾何課程也有大量的計算要板書，除此以外，作為幾何教師，需要有良好的作圖能力，快速，準確的做出空間圖形.每一節課的教學，一些重要的計算，圖形畫法，圖形分析，尤其學生有困難的地方，教師的板書講解，學生更容易聽懂理解，印象深刻，從而掌握所學知識.教學實例如：

(1)曲面，空間曲線的認識.

(2)典型曲面的畫法.柱面，錐面，橢球面，雙曲面，拋物面等.

柱面，錐面，利用幾何定義，畫母線和準線構成圖形.橢球面，雙曲面，拋物面利用平行截割法，了解用平面截割曲面得到的曲線形狀，只需畫若干橢圓，雙曲線，拋物線就可構成圖形.例如雙曲拋物面，可以畫四條拋物線和雙曲線兩支構成，拋物線，雙曲線在什么位置，相互之間位置如何，開口大小，教師板書畫圖，同時學生同步練習本上畫圖，看起來復雜的曲面，幾條曲線快速畫出.畫圖的過程能很好的訓練學生的空間想象能力.通過教學觀察，部分學生是感到困難的，而這也是學習幾何的基本能力.學生通過觀察，動手去做，及教師指導，提高作圖能力及空間感.

(3)曲面所圍成的空間區域.

描繪由幾個曲面圍成的空間區域是解析幾何的一個重點，也是難點，相比于前面的作圖要復雜很多.數學分析三重積分的計算，經常用到曲面所圍成的空間區域.要能正確畫出曲面所圍成的空間圖形，可以分成幾步進行：

(i)判斷每個方程表示的曲面；

(ii)判斷各個曲面的交線以及與坐標面的交線；

(iii)準確畫出各曲面，各交線，關鍵點得到圖形.

(iii)畫出各曲面，各交線，關鍵點，得到圖形(略).

學生能夠正確畫出曲面所圍成的空間區域，并能想象出空間區域的形狀，是對基礎知識，基本能力的檢驗，將極大的訓練和提高空間想象能力.這部分內容也有教學課件，學生能夠觀察到清晰動感的圖形，曲面相交產生交線過程，但對于這個教學難點，需要教師步步分析，幫助學生理解，再輔助教學課件演示加上學生動手去做，才能完全掌握.

2 多媒體輔助教學

“解析幾何”中大量的圖形教學，教師手繪圖形板書是必要的，但是在現代課堂教學中，僅依靠教師手繪是不夠的，效率低，一部分空間想象能力不強的學生感到困難，因此數學軟件的使用和教學課件的制作必不可少.使用教學課件，能增加課堂教學的信息量,展示空間圖形的結構、形成過程，學生觀察的更加清楚.例如解析幾何第四章中：柱面、錐面、旋轉曲面等曲面圖形及形成過程；橢球面、雙曲面、拋物面等用平行截割法觀察曲面的結構；若干曲面所圍成的空間區域，及直紋曲面，都利用了課件教學.學生可以驗證自己的想象力，訓練識圖能力，提高學習興趣和積極性.數學軟件有強大的繪圖功能,能夠精確畫出各種曲線，曲面，可以隨時變換方程，變換參數，可以從不同角度觀察，加上使用各種繪圖命令，可以達到不同效果要求，相比于教學課件更準確、快速.教學課件和數學軟件的使用，提高了課堂效率,提高了教學效果,有利于培養學生的空間想象能力.

另外,“解析幾何”作為高等師范院校數學專業的基礎課程,它的學習對學生今后從事中學數學教學具有指導作用.教學課件的制作和數學軟件的運用是必不可少的現代教育技術基本技能,教師在教學過程中，會有良好的示范作用.教師會講解課件的制作方法、數學軟件的安裝和使用方法，學生在學習解析幾何過程中不僅學習了“解析幾何”的課程內容，培養了幾何能力，同時也學習了幾何課程的教學方法，這對于他們將來成為數學教師具有重要意義.

例1 利用Mathematica畫雙曲拋物面，單葉雙曲面的直母線.(雙曲拋物面，單葉雙曲面都是直紋曲面，曲面上有兩族直母線，利用曲面的參數方程，Mathematica軟件，畫圖，觀察不同的參數，直線的運動形成曲面.)

圖1

例2 利用幾何畫板制作內擺線.(大圓不動，小圓在大圓內無滑動的滾動，動圓周上某點的軌跡叫做內擺線.學生觀察小圓的運動，想象點的軌跡，訓練想象能力.同時學習使用幾何畫板.)

圖2

3 作圖訓練

教師在課堂上手繪圖形，或者利用教學課件，數學軟件演示圖形的制作，空間圖形的形狀，空間圖形的形成，學生觀察的清楚，也能正確理解.但要真正掌握這些內容，必須親自動手.解析幾何課時少，很多內容不能在課上完成.無論是手工畫圖，還是利用數學軟件，畫空間圖形都是難點，而這也正是學習空間幾何需要提高的地方，需要學生課下反復的練習與實驗，不斷的探索，教師可利用網絡交流平臺給予指導.為此教師布置手工繪圖和軟件作圖作業，學生進行實驗，交出合格的作業.

練習1 利用幾何畫板畫外擺線.(圖3)

練習2利用Mathematica畫單頁雙曲面，雙曲拋物面.(圖4)

練習3畫空間曲面圍成的立體圖形(解析幾何課本175頁第4題).略.

圖3

圖4

圖形教學貫穿解析幾何的始終，空間想象能力的形成是一個長期訓練與培養的過程，板書教學與教學課件，數學軟件恰當結合，準確把握教學的各個環節，有效調動學生認真思考與學習，才能取得較好的效果.