醫治解題之“病癥”

張莉

【摘要】中醫診斷尚有“望聞問切”四種基本方法，數學題目靈活多變，數學教學的核心是解題，若把問題看作病癥，怎么醫治？筆者認為波利亞提出的解題四步驟，就是解題人的“望聞問切”。

【關鍵詞】“病癥”? 解題為核心? 波利亞的解題理論

【中圖分類號】G634.55 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）50-0236-01

相信每一位教學工作者，在考試結束之后，聽到學生抱怨較多的是以下幾個理由：某道題沒有看懂題意，不會;某道題課堂上老師講過類似的，但是我就是想不起來怎么做了;某道題考試時我和答案上想的一樣，因為我的不確定解法的正誤，就沒有解答;某道題我會的，只是計算錯啦;等等。筆者發現，在歷屆學生的反饋中都有類似問題，而教師大部分都會以基礎知識不扎實，落實不到位，知識系統不完善等理由給學生分析問題。直到筆者學習了波利亞的解題四步驟理論，才發現給學生們分析的原因分明就是隔靴撓癢。以上學生們的種種抱怨，分明就是解題中的不同病癥，而解題四步驟就是良藥。下面簡單介紹波利亞的解題四步驟方法。

一、波利亞的解題理論

波利亞的解題四步驟，就是明確如何審題。對于解題的先后順序以及每一步的都有提示性的操作方法，使解題工作有法可依。

第一步，理解題目

提示性問題：未知量是什么？已知數據是什么？條件是什么？條件有可能滿足嗎？條件是否足以確定未知量？

第二步，擬定方案——找出已知數據和未知量之間的聯系

提示性問題：你以前見過它嗎？或者你見過同樣的題目以一種稍有不同的形式出現嗎？你知道一道與它有關的題目嗎？這里有一道和你的題目有關而且以前解過。你能利用它嗎？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了有可能應用它，你是否應該引入某個輔助元素？你能重新敘述這道題目嗎？你還能以不同的方式敘述它嗎？

第三步，執行方案

執行你的解題方案，檢查每一個步驟。你能清楚的看出這個步驟是正確的嗎？

第四步，回顧

提示性問題：你能檢查這個結果嗎？你能檢驗這個論證嗎？ 筆者認為，解題過程是一種心智技能。按照加里培林的心智動作形成階段理論，需經過五個階段：動作的定向階段;物質與物質化階段;出聲的外部語言動作階段，不出聲的外部語言動作階段;內部言語動作階段。而波利亞的解題四步驟就是教師教授學生解題的“出聲的外部語言動作階段”，通過四步驟，就把數學解題轉化為“內部言語動作”，最后使數學解題成為“訓練學生思維的體操”。大部分學生在解題過程中面臨的主要矛盾是，有相關的知識，或許是豐富的數學知識，但是就是不知道如何用來解一道相關的問題，不知道怎么切入。波利亞的解題四步驟就如中醫療法的“望聞問切”，為解題提供了一條陽光大道。

下文結合高中數學的一道題來介紹波利亞的解題四步驟，分析方法，供讀者參考，研究。

已知曲線y=■x3+■，求曲線過點P（2，4）的切線方程。

二、解題四步驟

步驟1：理解題目

依次從以下三個方面來分析問題：

（1）未知量是什么？? ?求切線方程。

（2）已知數據是什么？? ?曲線方程，點P坐標。

（3）條件是什么？? ?曲線過點P。

通過三個問題，用簡潔，可操作的思維活動幫助學生快速熟悉問題，理解題意。

步驟2：擬定方案? ?就是找出已知數據與未知量之間的聯系

就本道題而言，引導學生重點思考兩個問題：

（1）曲線的切線方程，如何求？

分析：曲線方程是三次的，進一步思考，以前你解過求三次曲線在某點處的切線嗎？這是一道課堂常規題：確定切點，求導得斜率，點斜式。

（2）過點P的切線方程，什么意思？

分析：找關鍵詞，“過點P”.應理解為：點P可能是切點。故應先判斷是切點嗎？若是怎么求？若不是，怎么求？

通過分析不難發現，在找已知數據與未知量聯系的過程中，你或許考慮的是一道與它相關的輔助題目，或應用輔助題目的解題方法，或者是結論來分析此題。最終你應該得到一個使自己信服的解決方案。由于是從不同的方面分析問題，也促使你關注問題的細節，思維更嚴謹。

步驟3：執行方案

解∵顯然點P（2，4）恰在曲線上，且f'（x）=x2

由題意，以下對點P是不是切點分類討論

（1）若點P是切點，則斜率k=f '（2）=4

則切線方程為：y-4=f '（2）（x-2）

即：4x-y-4=0

（2）若點P不是切點，可設切點為P0（x0，y0），則x0≠2.

y-y0=f '（x0）（x-x0），又點P在切線上

故4-y0=f '（x0）（2-x0）

從而4-（x03+）=x02（2-x0）

解得x0=-1，x0=2（舍）

切線方程為：x-y-2=0

綜上，切線方程為：4x-y-4=0;或x-y-2=0

步驟4：回顧? ?檢查你的解答，使你的思路更清晰，簡潔。

就本例題而言，通過回顧就能解決學生可能出現的計算錯誤。把點帶入所求方程驗證。也更進一步完善學生知識體系中求切線方程的問題，進而通過一道問題，擴充到一類問題。

三、一些感悟

波利亞的解題四步驟，看似解決了一道問題，而是剖析題目的實質，通過相似問題間的辨析，找細微差異，進而理解了一類問題，事半功倍。由于不同層次的學生，在知識學習過程中有不同的差異，教師在教授的過程中，針對學生出現的問題，就能進行行之有效的幫助，達到分層教學的目的。當然，學生通過潛移默化，也能根據自我情況，從不同的側面不同的層次進行解題訓練，形成有效的學習方法。對于學生養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力，進而提高學生學習數學的興趣，增強學好數學的興趣是行之有效的，進而完成高中數學課程目標的要求。

參考文獻：

[1]《普通高中數學課程標準（2017年版）》

[2]G﹒波利亞.馮承天譯.怎樣解題[M].上海科技教育出版社，2011.