工程結(jié)構(gòu)可靠度分析中統(tǒng)計(jì)矩法研究
——驗(yàn)算點(diǎn)基本變量點(diǎn)位變化對(duì)結(jié)果影響討論

王培宇 （中南大學(xué)資源與安全工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410000）

1 引言

工程結(jié)構(gòu)可靠度分析是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、安全評(píng)估的重要構(gòu)成部分，將工程中的不定性因素以隨機(jī)變量形式表示，從概率角度對(duì)工程結(jié)構(gòu)可靠度進(jìn)行定量描述。[1]目前結(jié)構(gòu)點(diǎn)的可靠度計(jì)算方法主要有：一次二階矩法、JC 法、驗(yàn)算點(diǎn)法、蒙特卡羅（Monte-Carlo）法、隱式FORM法、統(tǒng)計(jì)矩法等[2]。

統(tǒng)計(jì)矩法是一種基于結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的統(tǒng)計(jì)矩計(jì)算可靠指標(biāo)、失效概率的方法。統(tǒng)計(jì)矩法不需要考慮基本變量的概率分布，不需要考慮功能函數(shù)的顯、隱式形式，不需要考慮設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)和反復(fù)迭代運(yùn)算，是一種應(yīng)用廣泛的可靠度計(jì)算方法[3]。

但在應(yīng)用統(tǒng)計(jì)矩方法進(jìn)行可靠度計(jì)算時(shí)，驗(yàn)算點(diǎn)一般是按照功能函數(shù)中基本變量依次從左到右、從上到下的順序構(gòu)建。本文將說明工程結(jié)構(gòu)可靠度分析中統(tǒng)計(jì)矩法驗(yàn)算點(diǎn)基本變量排列順序變化對(duì)可靠指標(biāo)的影響。

2 統(tǒng)計(jì)矩法簡(jiǎn)介

統(tǒng)計(jì)矩法求解結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)、失效概率，可分為兩部分：一是求解各驗(yàn)算點(diǎn)的功能函數(shù)值，二是求解對(duì)應(yīng)驗(yàn)算點(diǎn)的試驗(yàn)系數(shù)。然后通過各驗(yàn)算點(diǎn)的功能函數(shù)值與對(duì)應(yīng)驗(yàn)算點(diǎn)的試驗(yàn)系數(shù)可求解出可靠指標(biāo)和失效概率[4]。

2.1 功能函數(shù)值求法

在工程結(jié)構(gòu)可靠度分析統(tǒng)計(jì)矩法中Z=g（X1，X2，…，Xn）為功能函數(shù)，顯然Z也是隨機(jī)變量。

統(tǒng)計(jì)矩法驗(yàn)算點(diǎn)形式普遍是按照功能函數(shù)中基本變量 Xi=（i=1,2，…，n）依次從左到右、從上到下的順序構(gòu)建。統(tǒng)計(jì)矩法中在基本隨機(jī)變量定義域上分別對(duì)稱取兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)（xi1，xi2），一般取 xi1=μXi+σXi，xi2=μXi-。

按照統(tǒng)計(jì)矩法驗(yàn)算點(diǎn)形式的普遍構(gòu)建規(guī)律，一般統(tǒng)計(jì)矩法驗(yàn)算點(diǎn)形式應(yīng)為（x1，x2，…，xn）。對(duì)于 n 個(gè)基本隨機(jī)變量，則有2n個(gè)取值點(diǎn)，則取值點(diǎn)存在2n種組合方式，相應(yīng)可求出2n個(gè)功能函數(shù)值。則統(tǒng)計(jì)矩法驗(yàn)算點(diǎn)功能函數(shù)值為

2.2 試驗(yàn)系數(shù)求法

試驗(yàn)系數(shù)是由各基本隨機(jī)變量之間的相關(guān)系數(shù)求得，具體求法如下：

注：

①其中ρij是基本隨機(jī)變量Xi和Xj的相關(guān)系數(shù)。

②相關(guān)系數(shù)ρij的符號(hào)是基本隨機(jī)變量Xi和Xj符號(hào)的乘積。例如對(duì)于驗(yàn)算點(diǎn)（μ1+σ1，μ2-σ2，μ1+σ1）所對(duì)應(yīng)的功能函數(shù)值為p+-+，其中第二個(gè)下標(biāo)的符號(hào)為“-”，第三個(gè)下標(biāo)的符號(hào)為“+”，ij=（-）（+）=（-），則 ρ23為“-”。

2.3 可靠指標(biāo)求法

3 驗(yàn)算點(diǎn)基本變量點(diǎn)位變化影響證明

統(tǒng)計(jì)矩法驗(yàn)算點(diǎn)形式普遍是按照功能函數(shù)中基本變量依次從左到右、從上到下的順序構(gòu)建。

若驗(yàn)算點(diǎn)基本隨機(jī)變量點(diǎn)位發(fā)生變化，也即驗(yàn)算點(diǎn)基本隨機(jī)變量排列順序變化，對(duì)于n個(gè)基本變量，則有n！種驗(yàn)算點(diǎn)形式。

根據(jù)數(shù)理證明中分析法思想[5]，若證明驗(yàn)算點(diǎn)基本隨機(jī)變量點(diǎn)位變化對(duì)失效概率的影響，由（1）-（5）式，則只需證明驗(yàn)算點(diǎn)基本隨機(jī)變量點(diǎn)位變化對(duì)可靠指標(biāo)、失效概率產(chǎn)生影響。

3.1 驗(yàn)算點(diǎn)形式對(duì)功能函數(shù)值的影響

若僅有3個(gè)基本隨機(jī)變量X1、X2、X3，且對(duì)應(yīng)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別為 μ1、μ2、μ3，σ1、σ2、σ2。

（x1，x2，x3）形式下驗(yàn)算點(diǎn)共有 8 個(gè)如下：（μ1±σ1，μ2±σ2，μ3±σ3），并確定各驗(yàn)算點(diǎn)對(duì)應(yīng)功能函數(shù)值。

同理可以寫出其他形式驗(yàn)算點(diǎn)得到的功能函數(shù)值，結(jié)果如下：

由結(jié)果（6）-（13）可知，驗(yàn)算點(diǎn)基本隨機(jī)變量點(diǎn)位變化不會(huì)對(duì)對(duì)應(yīng)功能函數(shù)值產(chǎn)生影響。推及至n個(gè)隨機(jī)變量，得到的結(jié)論依然成立。

可以如此理解，對(duì)固定功能函數(shù)，一個(gè)確定的驗(yàn)算點(diǎn)不論點(diǎn)位如何變化，代入功能函數(shù)中，各變量的值都是固定不變的，變化的只是值的位置，不會(huì)對(duì)函數(shù)值產(chǎn)生影響。

3.2 驗(yàn)算點(diǎn)形式對(duì)試驗(yàn)系數(shù)的影響

若僅有 3 個(gè)基本隨機(jī)變量 X1、X2、X3，（x1，x2，x3）形式下各驗(yàn)算點(diǎn)的試驗(yàn)系數(shù)如下所示：

同理可以寫出其他形式驗(yàn)算點(diǎn)得到的試驗(yàn)系數(shù)，結(jié)果如下：

由以上得到的結(jié)果可知，驗(yàn)算點(diǎn)基本隨機(jī)變量點(diǎn)位變化不會(huì)對(duì)對(duì)應(yīng)試驗(yàn)系數(shù)的值產(chǎn)生影響。推及至n個(gè)隨機(jī)變量，得到的結(jié)論依然成立。

當(dāng)存在n個(gè)基本隨機(jī)變量，在點(diǎn)位發(fā)生變化時(shí)，只需證明各試驗(yàn)系數(shù)中相關(guān)系數(shù)符號(hào)未曾發(fā)生變化，則試驗(yàn)系數(shù)結(jié)果不受點(diǎn)位影響。

在基本隨機(jī)變量點(diǎn)位發(fā)生變化時(shí)，相應(yīng)隨機(jī)變量前面的符號(hào)可隨之發(fā)生位置變化，也即確定的相關(guān)系數(shù)前的符號(hào)未發(fā)生變化。根據(jù)試驗(yàn)系數(shù)定義式中相關(guān)系數(shù)的符號(hào)規(guī)定可知，相應(yīng)試驗(yàn)系數(shù)未發(fā)生變化。

3.3 驗(yàn)算點(diǎn)形式對(duì)失效概率的影響

由3.1與3.2證明結(jié)論可知，驗(yàn)算點(diǎn)基本隨機(jī)變量點(diǎn)位變化不會(huì)對(duì)功能函數(shù)值與對(duì)應(yīng)試驗(yàn)系數(shù)的值產(chǎn)生影響。

根據(jù)公式（1）-公式（3）可知，功能函數(shù)Z的原點(diǎn)矩、均值、方差均不發(fā)生變化，則根據(jù)公式（4）-公式（5）可知工程結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)、失效概率也不發(fā)生變化。

因此，驗(yàn)算點(diǎn)基本隨機(jī)變量點(diǎn)位變化不會(huì)對(duì)工程結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)、失效概率產(chǎn)生影響。

4 結(jié)語

從3.1、3.2可以得知，驗(yàn)算點(diǎn)基本隨機(jī)變量點(diǎn)位的變化，不會(huì)對(duì)功能函數(shù)值與相應(yīng)的試驗(yàn)系數(shù)的結(jié)果產(chǎn)生影響。也即點(diǎn)位變化影響的僅是功能函數(shù)值與相應(yīng)的試驗(yàn)系數(shù)位置的變化，對(duì)功能函數(shù)值與相應(yīng)的試驗(yàn)系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、結(jié)果均不產(chǎn)生影響。

從3.3可以得知，驗(yàn)算點(diǎn)基本隨機(jī)變量點(diǎn)位變化不會(huì)對(duì)工程結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)、失效概率產(chǎn)生影響。

因此，在統(tǒng)計(jì)矩法中不必?fù)?dān)心因基本隨機(jī)變量點(diǎn)位變化所導(dǎo)致的結(jié)果差異，基本隨機(jī)變量點(diǎn)位變化不會(huì)對(duì)最終失效概率產(chǎn)生影響。