壓縮荷載作用下考慮T應力影響的裂紋擴展行為特性

李金鳳,何兆益,李修磊,楊 超

(1.重慶交通大學土木工程學院，重慶 400074; 2.重慶交通大學交通運輸學院，重慶 400074;3.三峽大學三峽庫區地質災害教育部重點實驗室,湖北 宜昌 443002)

在地質活動和人為工程擾動因素的作用下,巖石內部會產生大量節理、裂隙、微裂紋、空洞等缺陷,使得其力學性能趨于復雜化。這些缺陷在外部荷載的作用下逐漸擴展、貫通,最終導致地質或巖體工程災害的發生。巖石的破壞實際是內部微缺陷的萌生、擴展、貫通和相互作用的過程。因此,針對巖石內部裂紋尖端的應力狀態、起裂角度、擴展行為的研究具有重要的理論意義和工程價值。

傳統線彈性斷裂力學中裂紋的起裂、擴展屬于裂紋尖端的局部效應,大多數國內外學者[1-2]基本上采用的是Williams[3]展開式中的r1/2奇異項(r為裂紋起裂的徑向半徑)來研究裂紋的起裂和擴展行為。然而,展開式中還存在非奇異項(即常數項)和高階項O(r1/2)。對于高階項O(r1/2),r趨近于0時可忽略,而非奇異項不受r的影響。一般情況下,將裂紋尖端的非奇異應力稱為T應力[4]。忽略T應力會導致部分理論計算結果與試驗結果存在明顯偏差。例如,Ren等[5]采用有機玻璃材料制成半圓盤試件,通過三點豎向加載試驗研究了復合裂紋斷裂擴展行為;Williams等[6]采用中心含直裂紋的有機玻璃試件進行了三點彎拉試驗;李部等[2]采用砂漿制成的類巖石試件進行了單軸壓縮試驗。然而,上述試驗結果與Erdogan等[7]未引入T應力提出的最大周向應力(MTS)準則的計算結果相比差別較大。Tvergaard[8]采用修正的MTS準則,考慮平行于裂紋方向的T應力,研究了T應力對裂紋起裂和擴展行為的影響,證實在MTS準則中引入平行于裂紋的T應力能夠有效提高理論值與試驗結果的吻合程度。Andrews等[9]研究了雙向拉伸荷載作用下裂紋的擴展特性。Ayatollahi等[10-11]采用有限元法并引入T應力,研究了Ⅰ型裂紋和Ⅰ-Ⅱ型復合裂紋尖端的應力分布,指出T應力會明顯影響裂紋尖端最大周向應力,導致起裂角發生變化。劉夢和等[12-13]利用有限元分析探討了空間復合型裂紋的應力強度因子與應變釋放率的關系。何強等[14]基于巖石拉剪斷裂試驗,研究裂紋在載荷作用下起裂、擴展規律,探索斷裂過程中裂紋的擴展行為。Tang等[15]通過引入平行于裂紋和垂直于裂紋的兩個T應力分量,采用修正的MTS準則研究了拉-壓組合荷載作用下T應力對裂紋起裂、擴展的影響。趙艷華等[16]考慮沿裂紋方向的T應力,發現T應力對Ⅰ-Ⅱ復合裂紋擴展的影響不可忽略,尤其是對純Ⅱ型裂紋的影響尤為顯著。

雖然已有大量關于T應力的研究,但主要集中于拉伸荷載作用對裂紋擴展的影響,拉伸荷載作用下裂紋處于張開狀態,T應力僅包含與裂紋方向一致的非奇異應力項。然而,外部荷載作用下巖石往往處于擠壓狀態,此時微小裂紋大多為閉合形態,若裂紋表面存在滑移或滑移傾向時,裂紋表面必然存在摩擦作用,阻止裂紋面的相對滑移[17-18]。因此,裂紋的起裂和擴展與Ⅰ型張開裂紋的假設并不相符。針對壓剪狀態下閉合裂紋,Zhu等[19]和鄭安興等[1]分別采用邊界配點法和偽力法綜合考慮了裂紋表面的摩擦效應對裂紋尖端應力強度因子的影響,應用MTS準則分析了壓剪狀態下巖石的破壞特征。McClintock等[20]考慮裂紋表面的摩擦作用,修正了Griffth斷裂破壞理論,但并沒有考慮T應力的影響。Tang[21]通過分析壓縮荷載下的應力狀態,考慮了裂紋表面的摩擦作用,引入了平行于裂紋和垂直于裂紋的兩個T應力分量(Tx和Ty),但忽略了切向分量Txy。趙彥琳等[22]雖然同時考慮了3個T應力分量的影響,但認為壓縮荷載下只存在Ⅱ型裂紋而沒有Ⅰ型裂紋,一定程度上會影響壓縮荷載作用下計算結果的準確性。

本文結合Williams展開式中的奇異項和非奇異項,考慮裂紋表面的摩擦效應,同時引入3個T應力分量(Tx、Ty和Txy),推導裂紋起裂準則,分析T應力對裂紋尖端應力狀態、最大周向應力、最大切向應力、裂紋起裂角和擴展行為的影響,并與已有試驗結果進行比較分析,驗證壓縮狀態下考慮T應力的合理性和有效性。

1 裂紋的應力強度因子計算

壓縮荷載作用會引起巖石內部裂紋閉合,裂紋界面的摩擦約束作用會阻止裂紋的滑移擴展,從而影響裂紋尖端的應力強度因子。如圖1所示,無限大板狀巖石內部有一條長度為2a的裂紋,邊緣均布雙向軸壓應力σ1和σ3,令σ1=σ和σ3=kσ1=kσ,其中k為側壓力系數,若k≥ 0則巖石處于壓縮應力狀態,若k<0則巖石處于拉-壓組合應力狀態。裂紋與主應力σ1方向的夾角為β(稱為初始裂紋傾角)。由偽力法和疊加原理[20],可得到在t-n坐標系中,裂紋表面上的應力分量為

(1)

式中:σt、σn、τnt分別為t-n坐標系下沿t軸、n軸的法向應力和剪切應力。

圖1 雙軸應力下的裂紋形態

考慮裂紋表面的摩擦作用,定義裂紋表面的摩擦系數為f,則由于裂紋上、下表面相對滑動或滑動趨勢產生的摩擦力τ和有效剪應力τ′分別為

τ=fσn

(2)

τ′=τnt-fσn

(3)

利用Muskhelishvili復變函數理論和Riemanm-

Hilbert問題的理論解法,可得到裂紋表面應力的基本解[23]為

(4)

式中:Φ(z)為復變函數;z為自變量。裂紋尖端附近的應力強度因子K可由下式進行計算:

(5)

式中:KⅠ和KⅡ分別為Ⅰ型和Ⅱ型裂紋尖端的應力強度因子,由式(5)并聯立式(1)～(3)可得KⅠ和KⅡ分別為

(6)

(7)

需要注意的是,雖然壓剪應力狀態下張拉型裂紋應力強度因子KⅠ沒有意義,但會導致裂紋尖端應力場發生改變。由式(7)可知,隨著摩擦系數的增大,裂紋尖端的應力強度因子KⅡ逐漸減小。

2 裂紋尖端的應力場

如圖2所示,θ為巖板內部裂紋的起裂角,裂紋尖端的應力場可以表述為[3]

(8)

式中:右端第1項為奇異應力項,該項在裂紋尖端起主導作用,A1為應力強度因子KⅠ或KⅡ;第2項為非奇異項(即常數項),又稱T應力,其大小與r無關,A2為非奇異應力，直接作用于裂紋表面[24];fij為與起裂角無關的無量綱項;第3項及后續項為r的高階項,可以忽略。考慮T應力的裂紋尖端應力場的方程為

(9)

式中:σx、σy、τxy分別為x-y坐標系下裂紋尖端沿x軸、y軸和切向的應力。

圖2 裂紋尖端應力分布

極坐標系下,裂紋尖端應力場的方程式為

(10)

式中：σr、σθ、τrθ分別為極坐標系下的徑向應力、周向應力和剪切應力。若σθ為正值,說明材料處于張拉應力狀態;若為負值,說明材料處于擠壓應力狀態。

在式(1)中, 當σn>0時,裂紋處于張開狀態,因而可以認為裂紋表面不存在摩擦作用,T應力(Tx、Ty、Txy)可定義為

(11)

當σn≤0時,裂紋處于閉合狀態,裂紋表面存在摩擦作用,因而T應力(Tx、Ty、Txy)可定義為

(12)

Li等[25]討論了T應力分量Ty對裂紋擴展的影響,然而并沒有研究初始裂紋傾角β與側壓力系數k對裂紋擴展的影響。Tang[21]考慮了Tx和Ty,忽略了Txy的作用,并沒有得到閉合裂紋尖端完備應力場的理論解。式(11)(12)給出的T應力分量中考慮了β和k兩個變量的作用。

3 考慮T應力的斷裂準則

針對裂紋的起裂和擴展問題,一些學者提出了幾種常用的斷裂判據,主要包括MTS準則、最大能量釋放率(MERR)準則、最小應變能密度(SED)準則、局部對稱性(LS)準則、臨界距離(CD)準則等[26]。其中,MTS判據應用最為廣泛,該準則認為裂紋沿著最大周向應力σθmax方向起裂擴展,適用于抗拉強度明顯小于抗剪強度和抗壓強度的脆性材料(如巖石)。為此,本文將按照MTS準則,同時考慮T應力對裂紋的起裂、擴展行為的影響,裂紋起裂擴展應滿足如下條件:

(13)

將式(10)代入式(13),可得起裂角需滿足下列方程:

(14)

當裂紋起裂角θ確定后,通過考慮裂紋尖端臨界半徑rc的情況,由式(10)便可得到裂紋起裂時的臨界周向應力σθc為

(15)

Bobet[27]使用最大剪應力準則(MSSC)對巖石內部裂紋的起裂角和應力進行了預測,發現該準則能夠很好地描述試驗過程中裂紋的擴展行為。該準則認為,當剪切應力絕對值|τrθ|達到臨界剪切強度τc,即|τrθ|≥τc時,裂紋開始擴展。

根據上述的MSSC和MTS準則,裂紋尖端可能發生張拉型開裂、剪切型開裂或者是張拉-剪切復合型開裂,具體情況如下:①如果σθmax<σθc而且|τrθ|max<τc,裂紋尖端將不會出現開裂的跡象;②如果σθmax≥σθc而且|τrθ|max<τc,裂紋尖端將發生張拉型開裂;③如果σθmax<σθc而且|τrθ|max≥τc,裂紋尖端將發生剪切型開裂;④如果σθmax≥σθc而且|τrθ|max≥τc,裂紋尖端將發生張拉-剪切復合型開裂,其中|τrθ|max為剪切應力絕對值的最大值。

4 考慮T應力的裂紋起裂理論分析

由式(10)可知,裂紋尖端的應力分布依賴于KⅠ、KⅡ、Tx、Ty、Txy和r,其中KⅠ、KⅡ、Tx、Ty和Txy與給定的β、k和f有關,可利用式(6)(7)(12)計算得到。Schmidt[28]和Golos等[29]根據MTS準則提出裂紋尖端過渡區臨界半徑rc的計算公式如下:

(16)

式中:KⅠC為Ⅰ型裂紋的斷裂韌度。當考慮T應力的影響時,按下式將裂紋尖端臨界半徑rc進行歸一化處理:

(17)

式中:α為歸一化系數。根據Williams等[3,15,21,30]的試驗結果和理論分析,計算過程中取α=0.1較為理想,即rc=0.005a。

4.1 T應力對周向應力和剪切應力的影響

k不同時T應力隨β的變化如圖3所示。由圖3可以看出,Tx隨著β的增大由k值逐漸增大到1.0,而Ty隨著β的增大由1.0逐漸減小到k值;當β相同時,k越大對應的Tx和Ty越大;當β=45°時,Tx=Ty。由于Txy=fTy,可知當f為正值時,Txy與Ty有著相同的變化規律。

圖3 k不同時T應力隨β的變化

當β=30°,k=0.5,f=0.3時,T應力對裂紋尖端周向應力和剪切應力的影響如圖4所示。由圖4(a)可知,不考慮T應力時的周向應力均大于含T應力時的值,因而在壓縮荷載作用下,忽略T應力的影響將使得裂紋尖端的周向應力增大,導致高估起裂荷載,所以T應力的存在起到阻止或延緩裂紋起裂和擴展的作用。分析T應力的影響時,若考慮Tx和Ty忽略Txy得到的最大周向應力偏小;若只考慮Tx得到的最大周向應力偏大。而本文同時考慮Tx、Ty和Txy的計算結果適中。

圖4 T應力對周向應力和剪切應力的影響

由圖4(b)可以看出,考慮T應力與否或只考慮部分T應力得到的剪切應力存在較大的差異,T應力對裂紋尖端應力狀態的影響顯著,因而在分析荷載作用下裂紋起裂和擴展的行為時需全面考慮T應力的影響,而不應忽略或只考慮部分T應力的影響。

圖5 側向壓力系數對裂紋尖端應力的影響

4.2 側壓力系數對周向應力和剪切應力的影響

圖5給出根據式(10)計算得到的不同側壓力系數k值下歸一化周向應力和剪切應力隨起裂角θ的變化,其中,β=30°,α=0.1,f=0.3。由圖5(a)可以看出,當θ介于0～180°時,裂紋尖端周向應力極值隨著k值的增大由正值逐漸減小為負值,也就是說裂紋尖端由拉應力狀態逐漸過渡到壓應力狀態;當θ介于-180°～0時,裂紋尖端周向應力極值隨著k值的增大由負值逐漸增加到正值,說明裂紋尖端由壓應力狀態逐漸過渡到拉應力狀態。以上表明,裂紋的起裂角隨著k值的增加由正傾開裂逐漸向反傾開裂過渡(正傾是指θ與β的傾向一致;反傾是指θ與β的傾向相反)。

由圖5(b)可以看出,裂紋尖端剪切應力τrθ隨著θ的變化近似為“M”或“W”形狀,且隨著k值的增大逐漸由“M”形狀變化到“W”形狀;隨著k值的增大,|τrθ|max呈現出先減小后增大的趨勢。

4.3 初始裂紋傾角對周向應力和剪切應力的影響

圖6給出了單軸壓縮條件下(即k=0),初始裂紋傾角β對歸一化周向應力和剪切應力隨起裂角θ變化的影響,其中f=0.3。

圖6 初始裂紋傾角對裂紋尖端應力的影響

由圖6(a)可以看出,當θ介于0～180°之間時,β由5°增大到85°的過程中,周向應力的極值由正值逐漸增大到一定程度后再逐漸減小到負值;當θ介于-180°～ 0之間時,β由5°增大到85°過程中,周向應力的極值由負值逐漸減小到某一定值后再逐漸增大到正值。以上分析說明,隨著β的增大,θ由正傾開裂逐漸向反傾開裂過渡。

由圖6(b)可以看出,τrθ與θ之間的關系曲線表現為不規則的“M”或“W”形狀,且隨著β的增大由“M”形狀逐漸過渡到“W”形狀;|τrθ|max對應的θ分布在0°附近,隨著β的增大,|τrθ|max呈現出先增大后減小再逐漸增大的趨勢。

4.4 裂紋表面摩擦系數對周向應力和剪切應力的影響

圖7給出了單軸壓縮條件下不同裂紋表面摩擦系數f對應的歸一化周向應力σθ/σ和剪切應力τrθ/σ隨θ的變化,其中β=30°。由圖7(a)可知,σθmax隨著f的增加逐漸減小,對應的起裂角θ介于60°～68°,且θ隨f值的增大呈緩慢減小的趨勢。由圖7(b)可知,|τrθ|max隨著f值的增大逐漸減小,且對應的θ基本不受f值變化的影響。以上說明,相比k和β,f對裂紋尖端周圍應力狀態的影響要小得多。

圖7 裂紋表面摩擦系數對裂紋尖端應力的影響

圖8 起裂角理論值與試驗結果的對比

5 計算值與試驗結果對比分析

圖8給出了單軸壓縮條件下裂紋起裂角θ隨初始裂紋傾角β的變化。由圖8可以看出,理論值與文獻[29]中的試驗值有較高的吻合程度;不考慮裂紋表面摩擦作用時,張拉裂紋的起裂擴展總是先于剪切裂紋,但是隨著f的增大,兩種裂紋的優先發生嚴重依賴于材料內部的初始傾角。一般情況下,β越小越容易發生張拉開裂,β越大越容易發生剪切開裂。當f=0.3、0.6和0.9時,張拉型裂紋優先發生時對應的β范圍分別為0～73.2°、0～59.1°和0～47.3°,其他角度范圍均是剪切斷裂優先發生。這里需要注意的是,隨著f的增大,沿裂紋表面的摩擦作用更傾向于阻止裂紋的滑動開裂。因此,裂紋表面的摩擦作用能夠抑制張拉裂紋的發生,卻會增加剪切裂紋發生的概率。由圖8還可以看出,β>15°時,θ對β值變化并不敏感;當β較小時,θ隨β的增加而顯著增大,而理論值相對試驗值偏大,其主要原因在于試驗所用試樣尺寸有限,根據遠場應力推求的裂紋尖端應力理論值與實際值存有一定差別。

5 結 論

a. 考慮T應力可有效減小裂紋尖端的周向應力,從而能夠阻止或延緩裂紋的起裂和擴展,考慮非奇異項Tx、Ty和Txy所得到的σθmax和|τrθ|max介于只考慮Tx和考慮Tx和Ty所得到的值之間。

b. 裂紋表面的摩擦系數f越大,裂紋尖端的最大周向應力和剪切應力絕對值的最大值越小,考慮裂紋表面的摩擦效應一定程度上也能起到阻止或延緩裂紋起裂和擴展的作用。

c. 壓縮荷載作用下,裂紋尖端的起裂角θ隨著側向壓力系數k和初始裂紋傾角β的增大由正傾逐漸向反傾過渡;k和β越小,裂紋的起裂和擴展越容易發生張拉開裂;k和β越大,裂紋發生剪切開裂的概率越大。