基于坐標法的既有線整正方法優化

張少謹　帥文忠

摘要：曲線整正是鐵路養修的關鍵環節，行之有效的算法是靈魂所在。基于最小二乘法和幾何重心法提出了撥道量計算的優化方案，以蘭新鐵路某段曲線為例證實了該算法的可行性。

Abstract： Curve realignment plays a vital role in track maintenance， the essence lies in algorithm. An optimization scheme was proposed based on orthogonal least squares and geometry center algorithm， the feasibility was testified in a curve of Lanzhou-Xinjiang railway.

關鍵詞：正交最小二乘法;曲線整正;切曲差;幾何重心法

Key words： orthogonal least squares;curve realignment;the difference of tangent and curve;geometry center algorithm

中圖分類號：U216.42+6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2019）33-0287-04

0? 引言

基于坐標測量整正曲線的坐標法因其操作安全，理論嚴密，工作效率高等特點而廣泛應用[1-2]。鐵路線路直線段在線路整正中認為變形較小而往往被忽略，但有部分學者認為直線段由于建設時的施工精度以及多年的運行及養護等原因普遍存在著變形的問題。其次在坐標法曲線整正中常用的通過圓曲線段最小二乘法擬合求出初始半徑的方法當半徑與弧長比過大時會出現模糊的問題。此外，目前應用撥道量優化方法沒有考慮整正前后軌道的變化長度從而不符合曲線整正的基本要求[3-5]。針對目前存在的問題本文根據蘭新線實測坐標運用正交二乘法擬合直線段，幾何重心法計算初始半徑，運用切曲差原理求出最優撥道量值。

1? 坐標法整正原理與基本要求

1.1 坐標法整正原理

根據曲線整正基本要求，曲線始終端切線整正前后方向及位置保持不變，即選定既有線始終端切線上各 2個測點坐標如圖1所示ABCD四個點，計算出曲線偏角 α 及交點坐標（XJD，YJD）。根據曲線段計算公式及平面幾何關系，求出初始半徑 R、初始緩和曲線長 l0等要素可得出曲線初始的各要素點及設計里程，根據撥道量優化方法推導出不同的半徑及緩和曲線長組合，應用坐標法計算公式可計算出曲線上各測點的設計坐標。通過計算求得不同的設計坐標與既有坐標的距離，從而得出最優撥道量[6]。具體的計算公式和過程可參考文獻[4]所示。

1.2 坐標法整正基本要求

鐵路既有線整正時整正前后必須滿足：

①曲線轉角值不變;

②整正前后軌道長度保持不變;

③坐標測量的起點和終點在曲線外的直線上，起點和終點的整正撥距為零，保證線路兩端的位置是固定不變以確定直線的方向不變[7]。

2? 關鍵算法設計

2.1 直線段擬合

目前確定曲線轉角的方法是選定既有線始終端切線上各 2個測點坐標如圖1中ABCD四個點，根據四個點的坐標計算出曲線偏角 α 及交點坐標（XJD，YJD）。但有部分學者認為直線段由于建設時的施工精度以及多年的運行及養護等原因也會發生變形，任意選取的ABCD四點不能保證其兩條直線段的斜率，應先將直線段擬合后選取四點，我們基于蘭新上行線K100-K127段七條直線做一個直線段的擬合。常用的最小二乘法擬合只考慮Y因變量方向的單一誤差，而不考慮變量X方向的誤差，由于既有線測量的誤差，既有線線路的橫縱坐標都存在著誤差，因此本文采用綜合考慮橫縱坐標誤差的正交最小二乘法來對直線段擬合[9]。

線路線形中直線線元方程可表示為：

（1）

式中：—采樣點坐標;

a—直線斜率 （帶估參數）;

b—直線y軸截距 （帶估參數）。

若ai，bi為近似值，則：

（2）

得誤差方程：（3）

關于誤差方程的矩陣表達式：

（4）

式中：

（5）

于自變量x考慮誤差，因此直線方程可表示為：

（6）

綜合推導正交最小二乘擬合直線參數方程為：

（12）

則

正負號的取值按實際情況而定。將蘭新線上行線K100-K127段內七段直線段用常用最小二乘法和正交最小二乘法擬合后撥道量平方和如表1所示，提取其中的第一段直線從擬合偏差和中誤差比較如表2所示。從表1和表2可以得出，正交二乘法擬合效果要好于常用最小二乘法擬合。

2.2 幾何重心法求初始圓心

根據曲率劃分的圓曲線段測點的坐標運用3點成圓的方法可以得出n個半徑值及圓心坐標，n個半徑值可以組成如圖2所示的多邊形A1A2A3…An，多邊形幾何重心計算過程如下所示：

根據三角形定理可知，已知三角形△A1A2A3的頂點坐標Ai（xi，yi）（i=1，2，3）。它的重心坐標為：

已知三角形△A1A2A3的頂點坐標Ai（xi，yi）（i=1，2， 3）。該三角形的面積為：

（15）

多邊形幾何重心原理：將多邊形劃分成n個小區域， 每個小區域面積為σi，重心為Gi（xi，yi），利用求平面薄板重心公式把積分變成累加和：

由前面所提出的三角形原定理和數學定理可以得出求離散數據點所圍多邊形的一般重心公式：以Ai（xi，yi）（i=1，2，…，n）為頂點的任意N邊形A1A2…An，將它劃分成N-2個三角形（如圖2）。每個三角形的重心為Gi（xi，yi），面積為σi。那么多邊形的重心坐標G（x2，y2）為：

（18）

（19）

結合既有線數據通過三點法和平均值法以及幾何重心法比較可以得出，幾何重心法結果更加精確，如表3所示。

2.3 撥道量優化

基于目前的組合優化撥道量時，不滿足整正前后軌道長度的變化的基本要求，有部分學者提出基于曲線約束法原理的組合優化方法，但是基于曲線約束法原理的撥道量優化約束性較大，撥道量結果值往往較大，基于存在的問題我們采用切曲差原理的撥道量優化[10]。

曲線約束法是以初始半徑及緩和曲線長下的既有線現有曲線段長L為約束條件，由曲線段長L推導出不同的半徑及緩和曲線長組合從而比選出最優的撥道量值。如公式所示：

（20）

則：（21）

切曲差優化撥道量值原理如圖3所示，根據曲線要素計算公式可以推求切曲差q的表達式：

（22）

在等長緩和曲線，曲線轉角以及半徑確定的情況下，可以進一步推導出切曲差表達式：

（23）

根據曲線整正的基本要求整正前后直線保持不變，軌道長度保持長度不變，從而q保持不變，根據切曲差表達式，如果給定一個半徑R可推導出緩和曲線長的表達式：

（24）

根據確定的半徑及緩和曲線長組合即可求得不同的撥道量值。

求出不同曲線段的撥道量值如表4所示。

3? 算法實現

采用本文所設計的算法，結合既有線第一段與第二段曲線坐標，通過在直線段擬合后撥道量值和多組任意點選取兩點求得的撥道量值對比可以看出，任意點選取兩點求得的撥道量值根據選取點的不同撥道量值變化較大，直線擬合后撥道量值較小，結果更加精確，結果如圖4和圖5所示。

4? 結論

坐標法在對既有線進行曲線整正計算中理論嚴密，計算簡潔。通過直線段坐標正交最小二乘法擬合后，撥道量的值更加精確，采用的幾何重心法所求得的初始半徑計算簡單，符合工程實際。采用的切曲差原理的撥道量優化算法更加符合曲線整正要求。

參考文獻：

[1]任少偉，胡欣明.運用坐標法進行既有復曲線撥距計算[J].鐵道運營技術，2011，17（03）：58-60.

[2]張金良.偏角法和坐標法在既有鐵路線路整正中的拓展研究及應用[D].華東交通大學，2017.

[3]H Yang，LI-Long. Existing Railway Curve Realignment Constrained Optimization Algorithm Research Based on Coordinates[J]. Mathematics in Practice & Theory， 2009， 39（24）：166-171.

[4]XF Duan，F Han. Method Study on Curve Realignment of Existing Railway Based on Point Cloud Data[J]. Railway Standard Design， 2013，2013（08）：15-18.

[5]候茂盛.基于最優化理論的既有鐵路曲線整正方法研究及應用[D].蘭州交通大學，2015.

[6]譚海長，周廣勇.淺析鐵路線路大修坐標法整正曲線[J].建材與裝飾，2018（22）：267.

[7]TB10098-2017，鐵路線路設計規范[S].

[8]劉文濤.基于坐標算法的鐵路線路整正系統研究[D].蘭州交通大學，2013.

[9]石培澤.基于正交最小二乘法既有線平面線形擬合[J].四川建筑，2017，37（05）：92-95.

[10]王保成，韓峰.基于坐標測量的既有曲線整正計算優化方法研究[J].蘭州交通大學學報，2008（01）：11-13.