星載銣鐘頻率漂移修正方法研究

王劍祥，張金海，陳溶波，涂建輝，楊 煒，崔敬忠

（蘭州空間技術物理研究所 真空技術與物理重點實驗室，蘭州 730000）

0 引言

銣鐘具有體積小、質量輕、功耗低、可靠性高以及壽命長的優點，在導航衛星中得到廣泛應用[1]，但是銣鐘作為二級頻標，主要存在幾個方面的缺點：首先，其頻率準確度稍差，比銫鐘相差一個數量級（銫鐘為10-13量級）；其次，銣鐘的開機頻率復現性不好；第三，其頻率漂移率較大，為10-14/d量級（開機階段和平衡階段為10-13/d）；第四，銣鐘長期頻率穩定度隨著無規噪聲的影響而惡化。這些因素都會影響導航衛星的定位精度[2-3]。為了提高星載銣鐘的導航應用能力，需要在保證其短期頻率穩定度的基礎上，降低頻率漂移的影響。由于銣鐘頻率漂移具有非線性特征，采用線性漂移修正方法不能完全達到目的，需要根據銣鐘頻率漂移的特征開展工作，本文對實際工作的銣鐘特征進行具體分析，研究頻率漂移修正的方法，以期找到合理的途徑，從而充分地發揮銣鐘在導航定位中的作用。

1 銣鐘漂移的特征

銣鐘開機后，其輸出頻率隨時間的變化與具體的設計和環境因素有關，但總的趨勢基本相似[4-5]。圖1為某星載銣鐘開機后輸出頻率隨時間的變化過程，開始階段頻率向正向漂移（漂移率為10-13/d水平），經過約兩天以后，漂移逐漸從正向變為負向，趨于穩定漂移階段（-10-13/d），之后隨開機時間的延長，漂移逐漸減小（小系數10-14/d）。銣鐘頻率漂移對導航和守時的精度影響很大。

如果是線性漂移，對時間精度的影響可用式（1）來表示[6]：

式中：ΔT為時間誤差；α為頻率漂移率；t為時間校準間隔。

圖1 星載銣鐘開機后輸出頻率隨時間的變化曲線Fig.1 Frequency curve of rubidium clock on poweron period

由時間誤差引起的導航定位誤差可以用時差乘以光速來估算，ΔL=cΔT。若取銣鐘天漂移典型值為5×10-14/d，按每天校時一次計算，導航定位精度誤差估計約為0.65 m。如果將銣鐘漂移率修正為5×10-15/d，則其在同等校時間隔內對導航定位精度的影響可以降低一個數量級；在保持同樣導航定位精度的情況下校時間隔可以延長兩倍以上。時間同步信號如果來自于地面站，需要耗費星地數據鏈路帶寬和通信資源，而且會受到電離層對信號傳輸的影響。我國的星載銫鐘即將搭載升空，將銣鐘的頻率漂移與星載銫鐘的進行比較并加以修正，不僅可以實現精確導航，而且可以借助銫鐘長期頻率穩定度好和漂移率低的特性，實現長時間的無地面干預自主導航。

在銣鐘穩定工作階段，可以根據銣鐘漂移的非線性特征，采用多項式進行頻率預估和漂移修正。通常在短時間用二次多項式近似，這時變化趨勢可用式（2）表示：

式中：y(t)為t時刻的相對頻差；t0為計時起點。設a?0、a?1、a?2為模型參數a0、a1、a2的估計值，可以利用已有ti時刻的測量數據yi進行最小二乘法求出模型參數估計值，并在此基礎上進行后期頻率預估。計算可用式（3）：

也可用矩陣表示：

擬合系數可表示為：

圖2顯示利用Matlab工具對一個銣鐘的測試頻率數據進行漂移二次多項式修正的結果[7]。根據頻率的變化可以計算出其105s取樣時間的Allan方差、Hadamard方差（漂移為-10-13/d）和計時時間為天的時間誤差分別為8.8×10-14、5.81×10-15和5.17×10-9s；經頻率漂移修正后三者分別為8.29×10-15、5.68×10-15和3.12×10-10s。可以看出，漂移修正后的頻率曲線較為平直，計時時間為天的時間誤差估計精度提高了一個數量級，有利于提高導航定位的精度。但是這種修正方法會受到頻率不規則變化的影響，尤其是在銣鐘開機階段和波動階段表現比較明顯。以圖1銣鐘為例，經二次項頻率漂移修正的結果如圖3所示（為了顯示明顯起見，頻率數據進行了垂直整體偏置）。擬合結果剩余頻率偏差較大（尤其是初始階段，表現為擬合曲線不平直），這主要是初期頻率漂移變化較大和數值由正變負所引起。為了減小二次多項式修正的偏差，可以采取分段修正的辦法，但是在分段處會出現較大的誤差。

圖2 銣鐘漂移修正前后頻率比較曲線Fig.2 Comparison of frequency of rubidium clock before and after drift correction

圖3 銣鐘開機和波動情況下的漂移修正效果曲線Fig.3 Drift correction effect of rubidium clock under the condition of start-up and fluctuation

圖4給出了在開機后5×105s時分兩段二次項擬合結果，可以看出，在分段處擬合曲線有較大波動。同時在擬合曲線兩端也有偏離二次項擬合的現象，表現為擬合殘差曲線上翹。為了提高精度，可以增加分段值。結合銣鐘開機后的頻率變化特征，大致分為預熱過程、平衡過程和穩定工作過程。這樣將漂移補償過程也分為三段進行。預熱過程頻率漂移修正時間間隔縮短，以便跟上頻率漂移的變化；平衡過程間隔適當延長，以適應導航需求；穩定工作過程頻率修正時間可以更長，以保障導航系統的穩定性。但無論如何劃分修正時間間隔，在接續點都會出現頻率波動，對總體頻率變化有較大的影響。考慮到劃分越精細，頻率修正的量值越小，也可以將分段值設為與測試數據數量相等，隨時進行頻率修正，這就是Kalman濾波[8]的思想。

圖4 銣鐘漂移分段修正效果曲線Fig.4 Subsection correction effect of rubidium clock drift

Kalman濾波的方法是將頻率和漂移率作為二維待估計向量x，測量值z為頻率偏差，進行最小頻率偏差估算和預測。遞推公式如式（6）：

式中：x(tk+1)為時刻tk+1的估計值；φ(τ)為轉移矩陣；x(tk)為tk時刻值；b(τ)u(tk)為控制量；W(tk)為過程噪聲，τ為時間分步間隔。為調節量。表示過程噪聲均值為0，方差為Q：

其中，v(tk)～N(0,R)，v(tk)為測量噪聲，均值為零，方差為為測量矩陣。

在開始階段，Kalman估計會隨著初始條件的設定而產生不同的數據波動，之后進入穩定狀態。這種少數波動不影響整體頻差估計效果。如果初始頻率和頻率漂移設定與實際測量結果相近，則該波動較小。圖5為采用Kalman遞推的結果，可以看出，經Kalman濾波方法獲得的頻率殘差曲線平直，沒有大的波動和固定變化趨勢，顯示出其普適的擬合與預估能力。

圖5 Kalman濾波頻率擬合結果Fig.5 Kalman filter frequency fitting results

2 銣鐘頻率漂移修正需要考慮的因素

修正銣鐘頻率漂移，首先考慮的因素是頻率漂移隨時間的變化趨勢。短期內銣鐘的頻率漂移是存在波動的，長期看銣鐘的頻率漂移具有固定趨勢。圖6為2015-2018年全球GPS系統上原子鐘的漂移變化。追蹤銣鐘的工作過程，其漂移從10-13/d逐漸降低為小系數10-14/d。在此過程中有小幅波動現象，需要在漂移修正過程中加以考慮。漂移的長期變化可以利用適當的數學模型修正。如果一次修正仍然有固定趨勢剩余，可以采用多次修正的辦法。經過對GPS星載銣鐘的研究發現[9]，銣鐘在軌工作500 d以后，進入穩定漂移階段，可以利用數學模型進行較為完全的修正。在此之前，銣鐘的漂移變化相對較快，需要進行實時的修正，以滿足導航定位需求。最好的方法是對銣鐘的漂移進行預估，這樣對時間的保持有利。預估的方法有多種，例如最小二乘法、Kalman濾波和灰度濾波等方法[10]。最小二乘法線性回歸計算需要確定回歸的時間長度，時間過長會影響回歸的線性度，過短會影響回歸的準確性，這與標準頻率信號的品質和測試系統的噪聲相關。若以銫鐘作為參考源進行銣鐘漂移修正時，由于銣鐘的短穩優于銫鐘，在漂移率確定過程中需要重點考慮銫鐘噪聲對結果的影響。銫鐘的噪聲主要由白頻噪聲和頻率閃變平臺構成，假定銫鐘的頻率穩定度可以用式（8）表示[11]：

圖6 2015-2018年全球GPS系統上原子鐘的漂移變化曲線Fig.6 The daydrift of atomic clocks on board GPS in 2015 and 2018

由此引起的漂移率測試方差與測試時間T有關，測試時間越長，精度越高，方差可以用式（9）表示：

目前典型的地面銫鐘的短穩指標水平為≤1×10-13@1 s，閃變本底為10-14，能夠測出漂移的方差值，如表1所列。

表1 測量時間與漂移率測量誤差關系Tab.1 Relationship between measurement time and drift rate measurement error

從表1中看出，在不考慮測量系統噪聲的條件下，測試頻率漂移率為3×10-14/d的銣鐘需要3 d時間。準確修正到小系數10-15量級需要20～30 d的測試時間，修正到小系數10-16量級需要100 d的數據。因此對于銣鐘初期漂移可以在開機3天后進行修正，準確修正需要再等待10 d左右，之后可以根據情況間隔20～30 d實施一次。這樣由漂移引起的時間誤差對導航定位精度的影響由式（1）估算可以減小到厘米量級。實際情況要復雜的多。例如測試系統的噪聲和信號傳輸的噪聲需要被考慮，如果測試的是時差，需要將Kalman濾波向量在頻率、漂移的基礎上增加一個時間（相位）量[12-13]。從自主導航的需求考慮，如果能夠將星載銫鐘和星載銣鐘形成組合鐘搭載于導航衛星上，利用比相儀進行比對，通過算法，實時對銣鐘的輸出頻率漂移修正，將銣鐘短期穩定度與銫鐘的長期穩定度和低漂移結合，不僅可以保證導航和測速的需求，而且可以實現自主導航[14-16]。

3 結論

星載銣鐘短期頻率穩定度不斷提高，已經達到小系數10-13水平，頻率漂移對銣鐘性能的制約就越發明顯。隨著對自主導航的迫切需求，修正銣鐘的漂移是銣鐘應用成敗的關鍵。我國的星載銫鐘即將入役，以星載銫鐘為參考源對銣鐘進行在軌頻率漂移實時修正成為可能。本文針對具體的銣鐘頻率漂移變化規律和銫鐘輸出頻率特征，提出了組合兩者優勢的銣鐘頻率漂移修正方法。銣鐘和銫鐘的組合將在導航衛星系統中更好地發揮作用。