基于T-S模糊模型的CSTR系統廣義預測控制

許 娣，佃松宜，高鈺凱

（四川大學 電氣工程學院，成都 610065）

近年來，工業過程中具有大量的非線性、時滯性、耦合性以及不確定性的受控對象，其建模和控制是過程控制領域中的熱點問題[1]。1985年，Takagi和Sugeno提出T-S模糊模型，實現了以任意精度對非線性系統進行逼近，該特點對于解決非線性系統的建模和控制問題開辟了新途徑[2]。1987年由Clarke等人提出了廣義預測控制算法，該算法具有對數學模型要求較低、魯棒性強等特點[3]。文獻[4]采用了T-S模糊模型，逼近Hammerstein模型的靜態非線性特征，采用線性自回歸模型求解最優控制效果，并以CSTR系統為例說明該方法的有效性。文獻[5]提出了新的無監督模糊聚類算法，將k近鄰和模糊c均值方法相結合，控制模擬CSTR系統。文獻[6]采用DMC算法對非線性CSTR反應器溫度進行控制，即使在干擾和模型適配的情況下，仍可快速地跟蹤期望目標。

在此，采用改進的模糊劃分聚類算法，對T-S模糊模型的前件參數進行辨識，同時采用帶有遺忘因子的遞推最小二乘法，對T-S模糊模型的后件參數進行辨識。辨識后可得到CSTR系統的T-S模糊模型，通過對模型轉換，進一步得到受控自回歸積分滑動平均CARIMA（controlled auto-regressive integrated moving average）模型。

1 T-S模糊模型辨識

1.1 改進模糊劃分的模糊c均值聚類算法

模糊c均值聚類算法，是基于目標函數的模糊聚類方法的典型代表，1974年由Dunn提出，在1981年，Bezdek將該方法進一步改進和擴展，建立了較為完善的模糊聚類理論[7]。為克服原始FCM算法的不足，文獻[8]提出改進模糊劃分的模糊c均值聚類IFP-FCM（improved fuzzy partitions fuzzy c-means algorithm）算法，與原始FCM算法相比，對于數據集X=｛x1，x2，…，xn｝，把這些數據劃分為c 類，每一類對應一個聚類中心ci，每個樣本j屬于某一類的隸屬度定義為uij，對于一個單獨的樣本點xj，引入隸屬度約束函數：

構造新的目標函數為

其中

式中：η為模糊度常數，一般取 η=0.01～0.2；式（2）等號右側的前半部分

為指定權重指數為2后的FCM算法的目標函數；對于等號右側的后半部分，若數據點xj完全屬于第i類，則 uij=1，那么當 i≠j，uij=0 時，

因此，目標函數后半部分的值與模糊化程度呈正相關。

對式（2）采用拉格朗日乘數法，得

式中：λ為拉格朗日乘子。對式（3）取極值，可逐步推導出隸屬度uij和聚類中心ci的迭代公式。隸屬度uij的迭代公式為

其中

式中：xj為樣本；ci為為模糊聚類算法的聚類中心；‖xj－ci‖為歐氏距離；dij為xj與第 i類聚類中心的距離。聚類中心的迭代公式為

1.2 遺忘因子遞推最小二乘法

對于 N 組｛y（k），u（k），k=1，2，…，N｝輸入輸出數據，根據最小二乘法，有取性能指標函數：

式中：λ為遺忘因子。將λ作為對數據施加的時變加權系數，與原始遞推最小二乘法相比，能夠克服慢時變參數問題。

未知參數θ的遺忘因子遞推最小二乘估計值θ?的公式[9]為

其中，設初始值為

式中：k=1，2，…，N；α為充分大的正實數 104～1010；I為單位矩陣；ε為零向量或充分小的正實向量；一般取 0.9≤λ<1。

2 CSTR系統的T-S模糊模型建模

2.1 CSTR系統的數學模型

CSTR系統的反應是由原料A轉化為產物B的過程。CSTR系統的結構如圖1所示。

圖1 CSTR系統結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of CSTR system structure

根據能量守恒定律，建立CSTR系統的物料和能量平衡方程，假設nA為反應釜中A的摩爾分數，則物料A的質量平衡方程為

其中

Arrhenius公式為

式中：rA為反應物A每單位體積的反應速率；k為反應物A的反應速率常數，一般可用Arrhenius公式表示。

通過分析各參數之間的關系，建立總的能量平衡方程為

將式（9）代入式（8）和式（10），可得 CSTR 的數學模型：

式（11）中的相關參數及其描述見表1。

表1 CSTR系統的模型參數Tab.1 Model parameters of the CSTR system

2.2 CSTR系統的T-S模糊模型

T-S模糊模型采用if-then規則來描述非線性系統，每條規則代表一個線性子系統。對于MISO系統，T-S模糊模型的規則如下[10]：

其中，Ri為第i條規則；p為輸入變量的個數；ny為輸出階次；n1，…，np為輸入變量的階次；t1，…，tp為純時間滯后。為方便起見，令：

其中

則T-S模糊模型規則可表示為

根據所得到的CSTR數學模型 （11），對CSTR系統進行輸入輸出數據的采集，得到2000組數據；選擇規則數c=6，終止誤差ε=10-5，模糊度常數η=0.1，最大迭代次數為100。選用前1500組數據進行訓練，剩余的500組數據進行驗證。

CSTR系統的辨識模型與實際模型的輸出曲線、誤差曲線如圖2所示。圖2a中，3條曲線分別表示CSTR系統實際模型，以及分別采用FCM算法和IFP-FCM算法得到的CSTR系統的辨識模型；圖2b中，2條曲線分別表示采用FCM算法和IFP-FCM算法對CSTR系統進行擬合得到的誤差曲線。

圖2 CSTR系統的辨識模型與實際模型的輸出曲線和誤差曲線Fig.2 Output curve and error curve of CSTR system identification model and actual model

仿真結果表明，采用FCM算法得到的均方誤差為13×10-4，而采用IFP-FCM算法得到的均方誤差為8.2714×10-4。因此采用IFP-FCM算法可較好地擬合CSTR系統的反應過程。

采用IFP-FCM算法對CSTR系統進行辨識，選取 qc（t），CA（t），CA（t-1）作為T-S 模糊模型的輸入變量；CA（t+1）作為T-S模糊模型的輸出變量。T-S模糊模型輸入變量 qc（t），CA（t），CA（t-1）的隸屬度函數曲線如圖3所示。

圖 3 qc（t），CA（t），CA（t-1）的隸屬度函數曲線Fig.3 Membership function curve of qc（t），CA（t），CA（t-1）

結合帶有遺忘因子的最小二乘法，其中遺忘因子取λ=0.97，辨識得到T-S模糊模型的后件參數，最終可得到CSTR系統T-S模糊模型的六條規則，即：

3 基于T-S模糊模型的廣義預測控制

3.1 廣義預測控制算法

GPC算法采用CARIMA模型來描述系統[11]：

其中

式中：y（k），u（k）分別為系統的輸出、輸入；ξ（k）為互不相關的均值為0、方差為σ2的白噪聲序列；Δ為差分算子。為了突出方法原理，在此假設C（z-1）=1，CARIMA模型的系數矩陣如下：

為得到j步之后的輸出預測值，引入以下2個丟番圖方程（Diophantine）[12]：

式中：Ej（z-1）和 Fj（z-1）為由 Aj（z-1）和預測長度 j唯一確定的多項式。可得在k+j時刻的預測值，即GPC的預測模型為

取k時刻的優化性能指標函數為

式中：E｛·｝為取數學期望；ys為對象輸出的期望值；N1，N2分別為優化時域的起始、終止時刻；Nu為控制時域；λ（j）為控制加權系數。

用式（16）中的yˉ（k+j∣k）代替式（17）中的 y（k+j∣k），從而將性能指標寫為向量形式：

其中

當λI+GTG非奇異時，可得到性能指標的最優解：

最優控制量為

式中：dT為矩陣 （λI + GTG ）-1GT的第1行。

3.2 CSTR系統的廣義預測控制

針對上述辨識所得到的CSTR六條規則的T-S模糊模型，通過局部線性化，轉化為CARIMA模型的形式，可得到該模型的系數矩陣A（z-1）和B（z-1），進一步求解丟番圖方程得到控制律，最后將控制量施加于CSTR系統。

T-S模糊模型預測控制器的參數設置為：預測時域Np=20，控制時域Nu=2，控制加權矩陣為單位陣I2×2，柔化系數α=0.8。同時與PID控制相對比，PID控制參數設置分別為Kp=0.59，Ti=0.06，Td=0.2。

加入和未加入干擾時，PID算法與GPC算法的控制輸出曲線對比如圖4所示。其中，圖4a為未加入干擾時的曲線對比，由圖可見GPC算法的控制性能要優于PID控制算法；圖4b為加入白噪聲干擾后的曲線對比。同樣可見GPC算法的抗干擾能力要優于PID控制算法。

圖4 GPC控制與PID控制跟蹤效果的對比Fig.4 Comparison of tracking effect between GPC control and PID control

4 結語

針對化工生產過程中具有高度非線性特性的連續攪拌反應釜CSTR，采用對隸屬度函數增加約束的IFP-FCM算法以及帶有遺忘因子的遞推最小二乘法對CSTR系統建立了精確度較高的T-S模糊模型。其中，仿真驗證了IFP-FCM算法優于傳統的FCM算法。將模糊模型進一步轉化為CARIMA模型進行廣義預測控制。通過仿真驗證，證明了本文方法是有效的，且優于傳統的PID控制方法。