基于一類拋物型方程的反問題

錢坤 鐔銳霞

摘要：本文在最優化理論框架下對一類二階拋物型方程的源項系數進行了反演。首先證明了最優控制問題控制泛函極小元的存在性，進而得到了最優解所滿足的必要條件，最后討論了最優解的全局唯一性和穩定性。

Abstract： In this paper， the source term coefficient of a class of second-order parabolic equation is inversed under the optimal control framework. First， the existence for the minimizer of the control functional is proved. Then the necessary condition for the minimizer of the control functional is discussed. Finally， the global uniqueness and stability of the optimal solution are proved.

關鍵詞：拋物型方程;反問題;必要條件;唯一性

Key words： parabolic equation;inverse problem;necessary condition;uniqueness

中圖分類號：O175.2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2019）34-0200-03

0? 引言

近年來，數學物理反問題已成為應用數學領域迅速發展的一門理論，尤其在醫療、勘探、圖像處理、金融等領域當中的應用更加的突出。金融領域中的期權定價問題是反問題應用的重要體現，運用著名的Black-Scholes定價模型，借助于從期權市獲得的觀測數據，去重構原生資產價格的波動率。除此之外，典型的對流-擴散方程在環境污染中的地位不言而喻，它可以用來描述水體和大氣中污染物的輸移、擴散和降解，海水鹽度和溫度的擴散、流體的流動和傳熱等等。

與相應的正問題相比，反問題的處理更加的困難，關鍵在于其嚴重的不適定性[1-4]，因為在許多實際問題的處理當中，大量的數據都是通過外界手段測量得到，必然會存在誤差，也正是因為這些微小的誤差，問題的不適定性將會導致問題解的無限放大而失真，從而失去研究價值。如何處理這種不適定性也成為許多學者研究的重要課題。

對反問題不適定性的處理，目前主要的方法是Tikhonov正則化方法[5-7]，但Tikhonov正則化方法對問題的解要求要有較強的先驗光滑性條件，由此得到的穩定解的同時，也會導致原問題解的過度光滑，因此，Tikhonov正則化方法并不是最優的。在文獻[4]中作者利用最優化理論反演了一類二階拋物型方程中的源項系數，并利用Landweber迭代法得到了穩定的數值模擬結果。文獻[8]中，作者利用最優化理論處理了一類發展型方程的反問題。而文獻[9]中作者在最優化理論基礎上，利用全變差正則化方法研反演了一個二階拋物型方程的源項系數。

本文討論了一類二階拋物型方程的源項系數反演問題，主要利用最優化理論，克服了問題的不適定性，進而得到了最優解的存在性和唯一性。問題的具體形式可陳述如下：

注記：

①本文利用最優化控制理論處理了一類一維拋物型方程，對于高維的情形也是適用的，尤其是二維情形下的拋物型方程。②本文主要從理論分析角度處理了方程，與其相關的數值模擬實驗也有了初步結果。③文章多處出現常數，如無特殊說明，常數C在不同場合下表示不同的常數C。

參考文獻：

[1]劉繼軍.不適定問題的正則化化方法及應用[M].北京：科學出版社，2005.

[2]吉洪諾夫，阿爾先寧.不適定問題的解法[M].北京：地質出版社，1979.

[3]韓波，李莉.非線性不適定問題的求解方法及其應用[M]. 北京：科學出版社，2011.

[4]Yang L， Deng Z C. Optimization method for the inverse problem of reconstructing the source term in a parabolic equation[J]. Mathematics and Computers in Simulation， 2009， 80（2）：314.

[5]Cheng J， Yamamoto M. One new strategy for a priorichoice of regularizing parameters in Tikhonov，s regularization[J]. Inverse Problem， 2000， 16（16）：L31.

[6]Egger H， Engl H W. Tikhonov regularization applied to the inverse problem of option pricing： convergence analysis and rates[J]. Inverse Problem， 2013，21（21）：1027.

[7]Deng Z C， Yu J N， Yang L. An inverse problem of determining the implied volatility in option pricing[J]. Journal of Mathematical Analysis & Applications， 2008， 340（1）：16.

[8]錢坤，鐔銳霞.基于一類拋物型方程的反問題[J].蘭州交通大學學報，2014，33（3）：70.

[9]李照興，張泰年，蔡成松.一個拋物型方程不適定問題的全變差正則化方法[J].蘭州交通大學學報，2016，35（3）：142.