思考一例系統機械能守恒的兩個問題

吳齊全

(浙江奉化中學，浙江 奉化 315500)

1 問題的提出

圖1

如圖1 所示，一小車置于光滑水平面上，質量為M，車上懸一單擺，擺球質量為m，初始時刻擺球的最大偏角為θ，這時小車以速度u0向左運動.求當擺球運動到最低點的過程中，懸線張力所做的功.

解析：取質心作為參考系，在此參考系中，當擺球下擺時，小車將向右運動.設小球落至最低點時速度為v′，小車的速度為u′，規定向左為正方向，由動量守恒定律和機械能守恒定律，有：

Mu′+mv′=0,

解得

轉換到地面參考系，有

u=u0-u′=

由動能定理有

解得

mgl(1-cosθ)=0.

這道試題考查了動量守恒定律、機械能守恒定律，解法中先選取質心參考系，后來轉換為地面參考系，難度不小，計算量也非常大，是一道考察動量能量綜合的一道好題.但是，筆者對這題的解法有兩個疑惑：

(1) 如果開始就知道系統的機械能守恒，那么懸繩拉力對系統做的功肯定是0.問題是，系統在除了重力或彈簧彈力以外的力為0時，系統的機械能守恒嗎？如果內力做功呢？我們怎么判斷一對內力對系統做的功是不是為零呢？

(2) 解題過程中，利用了參考系的轉換.問題是，在質心參考中機械能守恒，在地面參考系中機械能一定守恒嗎？不同的慣性系中機械能守恒的協變條件是什么？

2 一對作用力和反作用力對系統做功的代數和為零的條件

圖2

高中《物理》人教必修第2冊課本中說“在只有重力或彈力做功的物體系統內，動能與勢能可以相互轉化，而總機械能保持不變.這叫做機械能守恒定律”.應該說中學課本并不是在全面講機械能守恒條件，而是針對兩個具體的物體系(質點與地球，質點與彈簧)所講的那種理想的機械能守恒.沒有涉及到內力對系統做功的情況，一旦一對內力對系統做功不為0，系統的機械能也是不守恒，簡單的例子就是炸彈在空中炸開，系統只受到重力，由于一對內力對系統都做了正功，系統機械能是不守恒的.嚴格意義上講，系統的機械能是守恒條件是dW外+dW非保內=0.在除了重力或彈簧彈力以外的力為0時，還要要搞清楚什么情況下一對內力對系統做功的代數和等于0.

如圖2所示，假設空間有兩個質點A和B，作用力和反作用力分別為F1和F2，運動的軌跡分別為MN和PQ.設質點A和B對地的位移分別為lA地和lB地，根據功的定義，作用力F1對A質點做功為：

W1=F1·lA地=F1·lA地cosα.

(1)

作用力F2對B質點做功為：

W2=F2·lB地=F2·lB地cosα.

(2)

根據(1)(2)兩式，我們可以知道，雖然作用力和反作用力大小相等，但是作用力做功情況與反作用力做功的情況沒有相關性，也就是說，作用力做正功、負功、或者不做功，不會受到反作用力做功情況的影響.一對作用力和反作用力對A和B組成的系統做功為：

W=W1+W2=F1·lA地+F2·lB地=

F1·(lA地-lB地).

根據作用力和反作用力大小相等，方向相反，F2=-F1，則

W=F1·lA地+(-F1)·lB地=F1·(lA地-lB地)=F1·lAB=F1·lABcosα，

(3)

其中lAB是A對B的位移，是相對位移.

根據(3)式，我們得到一個結論：一對作用力和反作用力對系統所做的功，等于其中一個質點所受的力與該質點相對于另一質點的所經過位移的乘積.簡單的講，作用力與相對位移的乘積.回到上面問題，以小車為參考系，小球在做圓周運動，軌跡是圓弧，作用力始終與位移垂直，沒有做功，系統的機械能守恒，繩子的拉力對系統做功為零.類似的問題在高中很常見，常見兩個物體組成的系統中，經常一邊考察內力做功情況，一邊又考察機械能守恒情況，學生往往不能分辨清楚.

3 不同慣性系中機械能守恒的協變條件

(1) 單個質點的機械能守恒的協變條件.

質點的機械能守恒的條件是相對該慣性系的外力是重力和彈簧彈力等保守力.很顯然，若是相對于另一慣性系就不一定是保守力了，為什么？保守力一般都是位置的函數，而這位置一般來說是相對場源而言的，當參考系相對場源運動時，在動系中看，空間各點的場是非穩定場，(例如運動的點電荷場)可以是非保守力場，故相對場源固定的參考系外力是保守力，機械能守恒，而相對場源運動參考系下外力場成了非穩定場，已不是保守力場了，所以機械能不再守恒.但也有特殊情況，當外場為勻強場，即場的大小方向不隨位置變化，因為這樣的常矢場(例如電場中的勻強電場)是保守力，且與參考系無關，所以單個質點機械能守恒的條件只受保守力作用，協變條件是保守力場是常矢場.例如重力場中受力質點的機械能守恒與慣性系參考系選取無關.

(2) 物體系機械能守恒的協變條件.

圖3

物體系機械能守恒條件為dW外+dW非保內=0，其中涉及系統外力的功，做功與參考系有關，這樣對于某參考系滿足條件機械能守恒，但是相對另一參考系條件就不一定滿足，機械能守恒就不成立了.如圖3所示，在地面參考系看彈簧振子系統，機械能守恒，因為dW外=0，dW非保內=0.

以相對地面勻速運動的參考系S看，墻壁對彈簧在B點有作用力，受力的B點也在運動，做功不為零，這樣dW外≠0，但dW非保內=0，所以機械能不守恒.作為物體系在什么條件下機械能守恒，機械能守恒與所選參考系無關呢，下面我們推導：

設參考系S′相對參考系S以u勻速運動，v=v′+u.因為成對內力做功與參考系選取無關，dW非保內= dW非保內′.(以下是矢量計算)

dW外+dW非保內= dW外+dW非保內′=

可見當在S系，物體系滿足dW外+dW非保內=0機械能守恒.要想在S′系，物體系滿足dW外′+dW非保內′=0，需要

對上式進行討論：

(2) 當S系：

當S′系：

這說的是一物系既滿足機械能守恒又滿足動量守恒，必對任一其它慣性系也同時守恒.

總結上面兩種情況，機械能守恒協變性為：

(1) 單個質點的機械能守恒條件是：只受保守力作用.協變條件是保守力場是常矢場.

(2) 孤立的力學系統，機械能守恒條件是只受到保守內力作用.對于不同的參考系，無條件的協變.

(4) 除上述外，機械能守恒不協變.所以應用的時候要注意條件是否滿足，即使對某一參考系機械能守恒，但對另一參考系就不守恒.

回到原題，原題合外力為0，動量守恒，同時dW外+dW非保內=0，是上面的第三種情況，因此在兩個不同的慣性參考系，機械能守恒，可以轉換參考系求解.