與其陷入微分方程 不如衷于補償妙法
——由一道北京高考題引發的深度思考

呂 蜂

(象山縣第三中學,浙江 寧波 315700)

2018年北京卷第20題如下:根據高中所學知識可知,做自由落體運動的小球,將落在正下方位置．但實際上,赤道上方200 m處無初速下落的小球將落在正下方位置偏東約6 cm處．這一現象可解釋為,除重力外,由于地球自轉,下落過程小球還受到一個水平向東的“力”,該“力”與豎直方向的速度大小成正比．現將小球從赤道地面豎直上拋,考慮對稱性,上升過程該“力”水平向西,則小球

(A) 到最高點時,水平方向的加速度和速度均為0.

(B) 到最高點時,水平方向的加速度和速度均不為0.

(C) 落地點在拋出點東側.

(D) 落地點在拋出點西側.

圖2

本題情境取材于常見的生活現象——“拋體偏西、落體偏東”,其原因是受到由于地球自轉而產生作用于運動物體的地轉偏向力(也叫科里奧利力)的影響．這是大學物理的內容,大多數學生對這新情景并沒有實際經驗,所以這對學生科學思維提出了更高的要求．關于解析,筆者在《物理教師》上拜讀到相關文獻《高考試題銜接課程標準,核心素養考查落地生根》,[1]其分析如下．根據運動的獨立性原理,題中東西方向的“力”并不影響小球豎直方向上的上拋和下落,即勻變速直線運動．又因該“力”與豎直方向的速度大小成正比,通過分析可得到:上拋過程小球向西做加速度逐漸減小的加速運動,而自由下落過程小球向西做加速度逐漸增加的減速運動,最高點加速度為0,速度最大．結合對稱性做出vW-t圖像如圖1(其中vW指向西的速度,t0時刻達到最大速度vm),答案也就顯然易見了．另外,此文還用微分法驗證了題中背景數據,筆者整理如下．

我們研究將小球在赤道上方200 m處無初速釋放后求向東側移量x的問題，建立坐標系如圖2(其中Hy為釋放高度)．本題中科里奧利力表達式為

Fx科=2mvy·ω，

(1)

其中ω為地球自轉角速度.

(2)

用兩次積分并結合自由落體得小球參數方程

(3)

(4)

用地球自轉角速度ω=7.27×10-5rad/s,重力加速度g=9.8 m/s2,高度y=Hy=200 m代入上式得到x=0.062 m≈6 cm．

筆者在反復思考后認為有值得商榷的一處:小球靜止釋放,在重力作用下會有個向下的速度,這個速度產生向東的科里奧利力．而同樣在該力的作用下會有個向東的速度.這個速度產生向上的科里奧利力．綜上分析,小球在豎直方向上并不是自由落體,所以文獻中的分析和公式均需改進．基于愚見,筆者嘗試用微分法求解如下．

1 微分方程走常規

列出微分方程組

(5)

(6)

聯立(5)、(6)式消去vy得

(7)

積分兩次得

(8)

其中A、φ是常數.

(9)

積分得

(10)

同理也可得

(11)

原則上,用基于無限細分和無限逼近原理的微分法解決變力曲線等復雜物理問題,有著操作步驟明確、適用范圍廣的優點.先根據牛頓第二定律列出微分式,再積分代入初值得到物體參數方程組．但是筆者認為這套方法也存在兩點不足: (1) 很可能碰到復雜微分式而出現無法積分的狀況,此時可能需要查找積分表,不方便; (2) 筆者教育的對象是從未接觸過微分方程的高中生,誠然能解決問題固然好,但要是能用高中辦法解決高中問題那豈不是好上加好．為此,筆者嘗試用補償法解決這個問題,內容如下．

2 補償秒法顯神威

圖3

圖4

(12)

(13)

其中R和T是圓周運動的半徑和周期.F2提供向心力

(14)

(15)

將(14)、(15)式代入(12)、(13)式得到與(10)、(11)式相同結果，

(16)

(17)

將y=Hy=200 m代入(17)式得到t=6.39 s,再將該值代入(16)式得到x=0.062 m．值得注意的是,考慮到精度問題筆者并非采用以上的近似數據，而是用保留15位有效數字的Matlab來計算(即便是計算器誤差也非常大)．奇怪的是,筆者計算結果和前文中豎直方向自由落體模型研究的結果是一樣的.為一探究竟,筆者利用Matlab繪制小球下落軌跡圖像如圖5．圖5(a)圖表示小球在豎直平面內軌跡和時間所構成的三維圖,而圖5(b)則是該軌跡的平面圖(含局部放大),其中實線是根據(16)、(17)式畫出的軌跡(即旋輪線),虛線是根據(3)、(4)式畫出的軌跡．其實結合圖像不難發現:在假定重力始終不變的條件下,即便小球從107m數量級的高度(地球半徑6.4×106m)下落所得到的二者軌跡都幾乎完全重合,更何況是本題的200 m高度.換句話說,只要在地球赤道表面上釋放小球,把豎直方向上運動近似當成自由落體運動來處理都是合理的．另外也可反過來思考,基于(16)、(17)式算出來下落200 m向東側移量為0.062 m,用時6.39 s,求出小球向東的平均速度v1′約為9.70×10-3m/s.這個速度對應的平均科里奧利力F1′約為1.41×10-6m(m為小球質量),和重力相比自然可以忽略．

圖5

在精確求解過程中筆者采用了微分法和補償法．相比而言,補償法過程更為精簡,對于應用到運動的等效分解思想和涉及的圓周、直線運動知識學生更容易接受．所以筆者搜集了同樣能用補償法取得奇效的題目,歸納出補償法解題的規律,希望對一線教育工作者有幫助．

3 觸類旁通享以漁

圖6

例1.文獻[2]提到這樣情境:用一根長L=0.8 m的輕繩,吊一質量為m=1.0 g的帶負電小球,放在磁感應強度B=0.1 T,方向如圖6所示的勻強磁場中,把小球拉到懸點的右端,輕繩剛好水平拉直,將小球由靜止釋放．

圖7

例2.在文獻[3]提到這樣情境:如圖7所示,處于原點O,質量為m的質點以與x軸正向的夾角為θ的初速度為v0斜拋出去,空氣阻力與速度始終成正比有f=-kv．

以上兩例作者均采用補償法．對于例1,前期階段繩子松弛,拉力為0,我們只截取這段時間討論．作者給小球施加左右相等的兩個速度,使得速度v2產生的洛倫茲力f2恰與重力抵消,小球既參與以v2向左的勻速直線運動,又參與以v1為線速度的勻速圓周運動．對于例2,作者給質點施加上下相等的速度,使得向下的速度v1對應的阻力f1恰與重力抵消,所以質點參與以v1向下的勻速直線運動．剩下的向上速度v2和初速度v0合成v,在對應阻力f的作用下質點同時參與與x軸成α角的勻變速直線運動(v2和v0大小方向均已知,故矢量合成后α角已知)．

綜上3題,筆者對能用補償法的題目特征歸納如下．(1) 題中研究對象速度和某個“特殊力”大小成正比,二者夾角固定,或垂直或反向; (2) 存在大小方向均不變的恒力，而用補償時引入大小相等的兩個反向速度，其目的在于用其中一個速度所對應的“特殊力”與該恒力抵消.

4 梳理概要再回味

赤道上靜止釋放的小球實際上會受到豎直向上的科里奧利力,只是其在200 m高度下落和重力相比可忽略．文獻[1]也是基于這個合理近似進行討論．北京卷在原題中是這樣描述“由于地球自轉,下落過程小球還受到一個水平向東的‘力’”,這里強調小球是“下落”而不是“自由下落”,只交代“向東的‘力’”沒說還有“向上的‘力’”．筆者認為這體現了高考題的嚴謹性和權威性．

筆者給出微分法和補償法對比求解該題過程,旨在體現在本題背景下后者的精簡性和可被接受性,然而這并不代表筆者否定微分法,畢竟微分法的適用范圍更廣．后面筆者補充了兩道巧用補償法的題目,大致分析其思路,詳細過程請參考相應文獻,希望對一線教師有所啟發．