利用柯尼希定理巧解質點系的相對速度問題

鄭 金

(遼寧省凌源市職教中心,遼寧 朝陽 122500)

力學中的柯尼希定理反映了質點系的總動能的組成種類及其數量關系,即質點系的總動能等于質心的動能與各質點相對于質心運動的動能之和,在二體問題中質點系的動能等于質心動能與相對動能之和.可以證明,在質心參考系中,兩個物體的相對動能等于折合質量與相對速度平方的乘積的一半.對于相互作用的兩個物體的相對運動問題可有多種解法,但利用柯尼希定理來解答,可化繁為簡.

圖1

例1.如圖1所示,在光滑的水平面上,兩個物體A和B的質量分別為m1和m2,中間用一根勁度系數為k的輕彈簧連接在一起.開始時兩個物體靜止,彈簧處于自然狀態,現給物體A一個向左的初速度v0,彈簧始終處于彈性限度內,求兩個物體運動的相對位移為x時的相對速度為多大?

由于系統在水平方向不受外力,因此系統質心的速度保持不變,對系統由動量守恒定律有

m1v0=(m1+m2)vC，

根據柯尼希定理可知兩個物體的總動能為

Ek=Ek′+EkC.

對系統由機械能守恒足律有Ek0=Ek+Ep.聯立方程可得相對速度大小為

例2.質量分別為m和M的兩個物塊A、B用橡皮繩相連,放在水平臺面上,橡皮繩原長為a,當它伸長時,如同勁度系數為k的彈簧.物塊與臺面之間的動摩擦因數為μ,現將它們拉開,距離為b(b>a),然后由靜止釋放,求兩物塊相碰時的相對速度.

圖2

兩個物塊逐漸靠近,受到的摩擦力方向相反,考慮到二者質量不等,設m

W2=-f1(x1+x)-f2(x2-x)=

對系統由動能定理和柯尼希定理得

W1+W2=Ek′+EkC，

解得

點評:解題關鍵是確定系統的質心剛開始時的位置和相碰時的位置在何處并畫出示意圖,這樣在計算摩擦力做的功時才能確定對應位移的大小和方向,同時還要考慮摩擦力的方向.設置的質心位移x是未知量,在解方程時消去了.如果在地面參考系中認為系統的質心靜止不動,則不必對系統的質心應用動能定理,而且在計算摩擦力對系統做的功時也不需考慮質心的位移,雖然所得結果相同,但運動情況卻與實際不符.因為由質心運動定理可知,在恒力作用下系統的質心做勻加速運動,不可能靜止,除非兩個物體的質量相等.

對系統由動能定理和柯尼希定理有

W1+W2=Ek′+EkC，

解得

例3.在光滑水平面上有兩個物體A、B,其質量分別為m1、m2,它們沿同一直線運動并發生碰撞.碰撞前A、B的速度分別為v1、v2,碰撞后的速度分別為v1′、v2′,試分析v1′、v2′滿足什么關系時,碰撞過程中損失的機械能最大?

(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2，

需將末動能的關系式變形為

由柯西不等式可知

(m1+m2)(m1v1′2+m2v2′2)≥

(m1v1′+m2v2′)2.

由動量守恒定律有

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′，

這表明,只有當二者碰撞后同速,即碰撞后粘在一起時,系統損失的動能最大.

點評:解題關鍵是掌握數學中的柯西不等式,利用數學知識解決物理問題,難點是把由物理量組成的多項式變換為符合柯西不等式的形式.

解法2:利用柯尼希定理.對于在光滑水平面上沿同一直線運動的兩個物體,由于系統受到的合外力為0,則系統的質心做勻速直線運動,那么質心的動能保持不變,根據柯尼希定理可知,碰撞后的動能等于系統的質心動能與兩個物體的相對動能之和,因此只有當相對動能為0時,系統的動能才最小,即系統損失的動能最大,而此時相對速度為0,即發生了完全非彈性碰撞.所以說當發生完全非彈性碰撞時系統損失的機械能最大.

綜上可見,利用柯尼希定理解答質點系的相對速度問題不僅能化繁為簡,還可拓展解題思路,既有助于加深理解知識,又可訓練思維能力,可謂一舉多得.