用“等效替代法”破解初中物理難題

袁柏林

(四川省德陽中學校，四川 德陽 618000)

等效替代法是在保證某種效果相同的前提下,將實際的、復雜的物理問題和物理過程轉化為等效的、簡單的、易于研究的物理問題和物理過程來研究和處理的方法.

在初中物理教學中“等效替代”主要應用于實驗探究之中,如:在浮力教學的“曹沖稱象”案例中,用石頭替代大象利用等效替代稱出了大象的體重;在探究平面鏡成像特點的實驗中,用玻璃板等效替代平面鏡、利用兩個完全相同的蠟燭,其中一根等效另一根的像來探究物與像的大小關系;在探究合力與分力的關系、電路的總電阻與分電阻的關系、測量電阻等實驗中都應用了“等效替代”思想.在實際教學過程中,特別是在競賽輔導中,筆者通過長期研究發現:對于一些物理難題利用“等效替代”還可以使一些復雜的物理過程得到大大簡化,甚至使一些用初中知識無法解答的問題得到破解.下面就列舉幾個應用實例加以說明.

1 利用力作用效果的等效性

力的作用效果包括靜態效果(改變物體形狀)和動態效果(改變物體的運動狀態),動態效果又分為平動效果和轉動效果.大小、方向、作用點、性質不同的力產生的效果可能相同.

1.1 用合力等效代替分力的作用效果

一個力的作用效果可能與幾個力的作用效果相同,我們把這一個力叫那幾個力的合力.若用合力的等效替代分力來分析研究,就可以使問題得到大大的簡化.

圖1

例1.兩個半球殼拼成的球形容器內部已抽成真空,球形容器的半徑為r,大氣壓強為p,為使兩個半球殼沿圖1中箭頭方向分離,應施加的力F至少為

(A) 4πr2p. (B) 2πr2p.

圖2

解析:由于大氣壓強是向各個方向的,壓力的方向是垂直于受力物體表面,所以兩個半球殼受到大氣壓力的方向如圖2所示.由于大氣對球面各個方向的壓強都為p,球體的表面積S=4πr2,根據公式F=pS,若按常規思路,很容易錯誤的認為要把兩個半球殼拉開,施加的力F至少應等于一個半球表面受到的大氣壓力,即F=2πr2p.

圖3

而實際上,如圖3所示,要把兩個半球殼拉開,只需要克服半球所受大氣各個方向壓力的合力F′,我們用這個F′等效替代半球各個方向受到大氣的壓力,其方向與拉力F的方向相反,其受力面積等效于球的橫截面積πr2.所以F=F′=pS=πr2p,故應選(C).

1.2 用分力等效代替合力的作用效果

大小、方向、作用點不同的兩個力對杠桿的轉動效果可能相同,用一個特殊的、便于分析的力等效替代另一個復雜的、變化的、不易研究的力,就可以變復雜為簡單、變變量為恒量、變“無解”為“有解”．

圖4

解析:要知道鏈條的節數,就應先求出鏈條的總重;要判斷兩木板距離增大時,AB板的旋轉情況,就應分析當兩木板距離增大時,鏈條作用在木板B端的力對AB板旋轉的影響.然而作用在AB木板B端和CD木板D端力的大小和方向都不確定,僅利用初中知識,采用常規方法無法求解.那就讓我們轉換思路,采用等效替代法破解此問題.

圖5

如圖5所示,以長方形木板AB和CD為研究對象,鐵鏈分別對B端和D端的拉力為FB和FD.FB的可以等效分解為FBx和FBy;FD的可以等效分解為FDx和FDy.其中FBx、FDx的方向分別過了杠桿支點O1、O2,其力臂為0,對杠桿AB和CD的轉動沒有作用效果.所以,FB和FBy、FD和FDy對杠桿的作用效果相同,可以分別用FBy和FDy等效替代FB和FD,這樣杠桿的平衡就可以理解為是由木板受到的重力G和FBy(或FDy)決定的.根據杠桿平衡條件:G×O1O=FBy×O1B、G×O2O=FDy×O2D和已知條件:O為杠桿中點、AO1∶O1B=CO2∶O2D=2∶1，可得

(1)

圖6

如圖6所示,以鐵鏈MN為研究對象,鐵鏈在M端和N端受到的拉力為FM和FN,FM的可以等效分解為FMx和FMy;FN的可以等效分解為FNx和FNy,由平衡力和對稱性知識可得

(2)

再根據相互作用力的特點可以得出

FMy=FBy.

(3)

FNy=FDy.

(4)

由(1)-(4)式可得G鏈=G.

2 利用力做功效果的等效性

在初中階段,關于力做功問題一般只要求掌握力的大小不變,且力的方向與物體運動的方向一致的情況下,利用公式W=Fs來計算.但在一些初中物理競賽和名校高中自主招生考試中常出現一些變力提升物體做功的問題,采用常規方法很難解答.但從力做功的效果來看,相當于把物體的重心提高一定的高度,此力所做的功與克服物體重力所做的功具有等效性，即W=Fs=Gh.

圖7

例3.如圖7所示,在力F的作用下要把一根長度為L,質量為m的均勻細圓柱體從水平放置豎立起來,若F的方向始終與圓柱體垂直,則在此過程中F至少要做多少功?

解析:如圖7所示,在力F的作用下要把圓柱體從水平放置豎立起來,且F的方向始終與圓柱體垂直.說明圓柱體在提升過程中F的方向不斷變化,但其力臂不變;重力的大小不變,其力臂逐漸變小.根據杠桿平衡條件可得F逐漸減小.若利用常規方法,直接利用W=Fs無法求解.

3 利用熱傳遞效果的等效性

當溫度不同的物體接觸時,高溫物體放出熱量溫度降低,低溫物體吸收熱量溫度升高,直到溫度相同,達到熱平衡.若不計熱損失,Q吸=Q放.把多個溫度相同的物體先后逐個與另一個物體混合和把多個溫度相同的物體同時一起與那個物體混合,在不計熱損失的情況下,熱傳遞的效果是相同的.但后者熱傳遞的過程就簡單多了.

例4.將一杯熱水倒入盛有冷水的足夠大的容器中,冷水的溫度升高了10℃,再向容器內倒入一杯相同質量和溫度的熱水,容器中的水溫又升高了6℃.如果繼續向容器中一杯又一杯地倒入同樣的熱水,則倒入第13杯同樣的熱水時,容器中的水溫會升高多少℃?(不計熱損失)

解析:設原來冷水的質量為m1、初溫為t01,一杯熱水的質量為m2、初溫為t02,第一杯熱水與冷水混合后冷水的溫度升高了Δt1;Q吸1=cm1Δt1,Q放1=cm2(t02-t01-Δt1).由于不計熱損失:Q吸1=Q放1,即cm1Δt1=cm2(t02-t01-Δt1),又因為Δt1=10℃，所以

m1×10℃=m2(t02-t01-10℃).

(5)

若采用常規方法:設當倒入第二同樣的熱水混合后容器中的水溫又升高了Δt2.

Q吸2=c(m1+m2)Δt2，

Q放2=cm2(t02-t01-Δt1-Δt2).

由Q吸2=Q放2,且Δt1=10℃,Δt2=6℃可以得

(m1+m2)×6℃=m2(t02-t01-16℃).

(6)

聯解(5)、(6)式可得

t02-t01=40℃,m1=3m2.

設當倒入第三同樣的熱水混合后容器中的水溫又升高了Δt3.

Q吸3=c(m1+2m2)Δt3，

Q放3=cm2(t02-t01-Δt1-Δt2-Δt3).

由Q吸3=Q放3,且t02-t01=40℃,m1=3m2，可以得Δt3=4℃.

利用同樣的方法就可以逐一求每增加一杯熱水,容器中的水升高的溫度,至到計算出倒入第13杯同樣的熱水時,容器中的水升高的溫度.此題雖然采用常規方法最終能得到答案,但此方法太繁瑣,且倒水的次數越多,越不容易計算出結果.

若采用等效替代法:由于不計熱損失,一杯一杯的熱水先后倒入冷水中與把這幾杯熱水一起同時倒入冷水中效果相同.設把n杯熱水一起同時倒入冷水中,容器中的水溫升高ΔTn,那么,第n杯熱水倒入后升高的溫度Δtn=ΔTn-ΔTn-1.

一杯熱水與冷水混合后,由Q吸1=Q放1，得

cm1×10℃=cm2(t02-t01-10℃).

(7)

兩杯熱水與冷水混合后,由Q吸2=Q放2，得

cm1×16℃=2cm2(t02-t01-16℃).

(8)

聯解(7)、(8)式可得

t02-t01=40℃,m1=3m2.

12杯熱水與冷水混合后,由Q吸12=Q放12得

cm1×ΔT12=12cm2(t02-t01-ΔT12).

(9)

將t02-t01=40℃,m1=3m2代入(9)式得

T12=32℃.

13杯熱水與冷水混合后,由Q吸13=Q放13得

cm1×ΔT13=8cm2(t02-t01-ΔT13).

(10)

將t02-t01=40℃,m1=3m2代入(10)式得

ΔT13=32.5℃.

則倒入第13杯同樣的熱水時,容器中的水升高的溫度:Δt13=ΔT13-ΔT12=0.5℃.

拓展:還可以推導出第n杯熱水時容器中的水升高的溫度的規律:

由cm1×ΔTn=ncm2(t02-t01-ΔTn)，

得3ΔTn=n(40℃-ΔTn).

4 利用電路、電阻的等效性

等效電路是指同一個電路的不同表示方法,元件的種類和位置都相同,但是在畫電路圖時有不同的畫線方法;將一個電阻代替原來的幾個電阻后,對整個電路的效果與原來幾個電阻的效果相同,這一個電阻叫做那幾個電阻的等效電阻(又叫總電阻).

圖8

例5.把19個阻值均為r的電阻絲連接成如圖8所示的圖形,則AB間的總電阻為________r.

解析:要求電路的總電阻,就要先分析清楚其電路的連接情況,但圖8不是簡單的串聯、并聯或混聯電路,利用初中知識、采用常規方法無法解答.

方法1:利用高中知識,電位相等的不同點之間即使用導線連通也沒有電流,這些等電位的節點合成一個點不會影響電路效果,可稱為等效電路.

圖8中根據AB之間電路的對稱性C、D兩點的電位相等,E、F兩點的電位相等,等效電路如圖9.

圖9

方法2:如圖10所示,當兩條相同電流通過一導體時,可以等效把此導體沿電流方向“切開”平分成兩條電路,由于每一半的橫截面積為原來的一半,所以其阻變為原來的2倍.這樣既沒有改變原來電路的等效阻值,又突破了解題的“瓶頸”,這樣利用初中知識就可以解答此題了.

圖11

圖8的電流流向如圖11所示,其中GH電阻絲上的“雙箭頭”表示有兩條相同電流流過此電阻絲,可以等效成阻值為2r的兩條電路,一條與CG、HE串聯,另一條與DG、HF串聯.

圖12

綜上所述,“等效替代法”是科學研究的重要方法.在初中物理教學中,除了在實驗教學中有著廣泛應用以外,在分析、解答一些物理難題上也能起到不可忽視的積極作用.恰當地利用等效替代法既可以使一些利用常規方法不易解答的難題得到破解,又能培養學生的科學思維能力,提高其理解、分析、推理以及思維的遷移和創新等能力,為學生進一步的學習乃至終身學習奠定基礎.這正是素質教育的要求. 在提倡“核心素養”的今天,中考、高考、競賽等選拔愈來愈注重考生的能力和素質,其命題愈加明顯地滲透著物理思想、物理方法的考查,等效思想和方法作為一種迅速解決物理問題的有效手段,仍將在問題的突破過程中充分發揮其作用.