基于改進(jìn)的高階累積量的運(yùn)動(dòng)單站高分辨率直接定位方法

吳癸周，張 敏，郭福成，劉章孟

(電子信息系統(tǒng)復(fù)雜電磁環(huán)境效應(yīng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，國(guó)防科技大學(xué)，湖南 長(zhǎng)沙 410073)

0 引言

使用單個(gè)運(yùn)動(dòng)陣列實(shí)現(xiàn)多個(gè)窄帶輻射源信號(hào)的無(wú)源定位技術(shù)在雷達(dá)、通信等諸多領(lǐng)域具有重要的意義。在對(duì)輻射源進(jìn)行無(wú)源定位時(shí)，往往采用先估計(jì)參數(shù)，再利用估計(jì)的參數(shù)進(jìn)行定位的兩步定位法，例如到達(dá)角(Angle-of-Arrival, AOA)定位法[1-4]、到達(dá)時(shí)間(Time-of-Arrival, TOA)[5-8]定位法等。從估計(jì)理論的角度看，兩步定位法獨(dú)立地進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和定位，即使兩個(gè)步驟都是最優(yōu)的，但是將兩個(gè)獨(dú)立最優(yōu)的步驟聯(lián)合起來(lái)，估計(jì)的結(jié)果也有可能偏離最優(yōu)結(jié)果；并且兩步定位法還面臨參數(shù)關(guān)聯(lián)輻射源的問題。

直接定位法(Direct Position Determination, DPD)[9]是一種直接通過(guò)陣列天線接收到的原始信號(hào)，經(jīng)過(guò)信號(hào)處理步驟，得出僅與輻射源位置相關(guān)的代價(jià)函數(shù)，據(jù)此實(shí)現(xiàn)無(wú)源定位的新技術(shù)。已有的研究表明[9-16]，DPD具有低信噪比下定位精度更高且可以避免參數(shù)關(guān)聯(lián)輻射源的問題等優(yōu)勢(shì)。

目前實(shí)現(xiàn)DPD的主要方法可以分為2類，一類主要是由Weiss等人提出的基于最大似然準(zhǔn)則的直接定位方法[9-11]，該類方法利用最大似然準(zhǔn)則推導(dǎo)直接定位的代價(jià)函數(shù)，通過(guò)高維搜索或多次的低維搜索實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)的定位；另一類則主要是由OISPUU等人提出的基于子空間的直接定位方法[12-16]，該方法利用類似MUSIC的方法推導(dǎo)直接定位的代價(jià)函數(shù)，通過(guò)低維搜索實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)的定位。近年來(lái)，Tzafri以及Tirer等人提出了一種基于MVDR的高分辨直接定位方法[17-18]，該方法利用MVDR準(zhǔn)則推導(dǎo)直接定位在頻域下價(jià)函數(shù)，通過(guò)低維搜索實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)的定位，具有分辨率高的優(yōu)勢(shì)。在上述方法中，ML需要高維搜索或多次低維搜索，計(jì)算量大、復(fù)雜度高；基于MVDR直接定位方法與MUSIC類方法分辨率相當(dāng)。但上述所有基于二階特性的方法都難以處理輻射源數(shù)目大于陣元數(shù)目的情況，無(wú)法適應(yīng)復(fù)雜的電磁環(huán)境。

本文考慮單個(gè)運(yùn)動(dòng)陣列觀測(cè)站，被動(dòng)接受多個(gè)窄帶輻射源信號(hào)，實(shí)現(xiàn)直接定位的場(chǎng)景，對(duì)此提出了一種基于高階累積量的高分辨率直接定位方法，同時(shí)為了提高分辨率，還使用了基于特征空間的方法對(duì)高階累積量進(jìn)行了改進(jìn)。

1 數(shù)學(xué)模型

考慮這樣一個(gè)場(chǎng)景。某個(gè)均勻圓形陣列，由M個(gè)陣元組成，裝備于一個(gè)運(yùn)動(dòng)觀測(cè)站上，該觀測(cè)站在累積時(shí)間T內(nèi)在空中飛行，在時(shí)刻t(t∈[0,T])時(shí)，觀測(cè)站位置為xo(t)。假設(shè)地面上有Q個(gè)位于陣列遠(yuǎn)域的未知位置窄帶輻射源同時(shí)發(fā)射信號(hào)，xq為第q個(gè)輻射源的位置,如圖1所示。

圖1 本文所研究的直接定位場(chǎng)景

在此情況下，陣列接收到的信號(hào)為：

(1)

式中，s(t,q)為t時(shí)刻第q個(gè)輻射源的復(fù)包絡(luò)，w(t)為高斯復(fù)噪聲，a(t,xq)∈CM×1為t時(shí)刻第q個(gè)輻射源的陣列流形。

將時(shí)間T分為N份，每份采樣數(shù)為K，當(dāng)N足夠大時(shí)，可假設(shè)在短時(shí)間T/N內(nèi)，陣列流形不變，則式(1)可離散化為：

(2)

式中，wn,k∈CM×1為噪聲復(fù)包絡(luò)，k=1，…，K為采樣點(diǎn)數(shù)。陣列流形可以表示為：

(3)

式中，dm(m=1，…，M)為基于某一陣元，陣列各個(gè)陣元的指向矢量，kn(xq)為與輻射源位置有關(guān)的參數(shù)，其計(jì)算公式為：

(4)

式中，λ為輻射源波長(zhǎng)，xo,n為第n組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)時(shí)刻觀測(cè)站的位置。

式(2)可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

zn,k=Ansn,k+wn,k

(5)

式中，

(6)

因此，單個(gè)運(yùn)動(dòng)陣列觀測(cè)站對(duì)多個(gè)輻射源定位的數(shù)學(xué)模型為：

Zn=AnSn+wn

(7)

式中，

(8)

從式(7)可知，單個(gè)運(yùn)動(dòng)陣列觀測(cè)站對(duì)多個(gè)輻射源的直接定位問題即為通過(guò)式(7)求解xq的問題。

2 定位方法

利用式(7)直接估計(jì)多個(gè)輻射源的位置，實(shí)際上是一個(gè)非線性尋優(yōu)的問題，可以通過(guò)類MUSIC等方法給出代價(jià)函數(shù)，然后進(jìn)行可行域內(nèi)的搜索實(shí)現(xiàn)定位。但是由于考慮輻射源數(shù)目大于或等于陣元數(shù)目的情況，而類MUSIC等利用二階特性的方法將無(wú)法使用，因此考慮可以拓展陣列的高階統(tǒng)計(jì)量[19]方法。其中四階累積量具有自動(dòng)抑制加性高斯白噪聲及任意高斯色噪聲的能力[20]，因此本節(jié)以四階累積量為例給出了相應(yīng)的代價(jià)函數(shù)。同時(shí)，由于輻射源數(shù)目多，對(duì)定位分辨率也提出了較高的要求，采用基于特征空間的方法[21]實(shí)現(xiàn)高分辨率的四階累積量直接定位方法。

2.1 基于四階累積量的類MUSIC的DPD

對(duì)于零均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，四階累積量有多種定義，以下式為例：

(9)

式中，(·)*表示取共軛，zn,m1表示陣列第m1個(gè)陣元接收到的第n組數(shù)據(jù)，而式(9)中的計(jì)算目前普遍用下式替代：

(10)

式(9)、(10)中變量的取值范圍為1≤m1,m2,m3,m4≤M，則隨著m1,m2,m3,m4的變化，共有M4個(gè)值，這些值可以構(gòu)成一個(gè)M2×M2的矩陣R4,n:

R4,n((m1-1)M+m3,(m2-1)M+m4)=C4x,n(m1,

m2,m3,m4)

(11)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)式(11)，有：

(12)

式中，?表示克羅內(nèi)克積，且有：

(13)

Bn可以視為四階累積量下的陣列流形。由文獻(xiàn)[20]可知，對(duì)于上述構(gòu)造的四階累積量，如果采用均勻圓陣，則拓展后的陣元數(shù)為M2-M+1。因此，當(dāng)輻射源數(shù)Q≤M2-M+1時(shí)，Bn列滿秩，可以直接將MUSIC方法推廣。

(14)

則推廣的MUSIC的代價(jià)函數(shù)為：

(15)

2.2 基于四階累積量的特征空間DPD

在文獻(xiàn)[21]中提出了一種基于特征空間的直接定位方法，該方法分辨率要高于MUSIC類直接定位方法，下面給出其在四階累積量上的推廣形式。

(16)

=1/pn,q

(17)

式中，(·)+表示求矩陣的廣義逆，δxq=[0,…,1,0,…,0]T，表示第q個(gè)元素為1，其余元素為0的Q×1矢量，pq表示第q個(gè)輻射源在第n組時(shí)間內(nèi)輻射的能量。

定義一種新的空間譜函數(shù):

(18)

3 仿真分析

定義如下仿真場(chǎng)景，觀測(cè)站在空中由[0 0.5 0.5] km勻速直線飛行至[0 -0.5 0.5] km，總觀測(cè)時(shí)間為T=12 s，觀測(cè)站上裝有M=5陣元均勻圓陣，圓陣半徑設(shè)為λ/(2sin(π/2M))，λ為波長(zhǎng)，每1 s分為一組，每組采樣1000個(gè)點(diǎn)，采樣頻率為1 GHz；地面有5個(gè)輻射源同時(shí)發(fā)射窄帶信號(hào)，設(shè)定各個(gè)輻射源信號(hào)互不相關(guān)，位置分別為[-0.3 0 0],[0 0 0],[0.3 0 0],[0 0.3 0],[0 -0.3 0] km。則可行解空間及陣列運(yùn)行軌跡在其上的投影如圖2所示。

圖2 5個(gè)輻射源的定位場(chǎng)景

設(shè)定信噪比為30 dB，分別利用式(15)、(18)計(jì)算四階累積量DPD(DPD-HOC)和改進(jìn)四階累積量DPD(DPD-HOC-ES)的空間譜函數(shù)并與最大似然DPD(DPD-SML)[22]相比較，則得到的空間譜如圖3～5所示。

從圖3～5不難看出，在輻射源數(shù)大于或等于陣元數(shù)時(shí)，DPD-HOC和DPD-HOC-ES兩種方法都可以在輻射源真實(shí)位置處形成明顯的譜峰，并且DPD-HOC-ES的譜峰更加集中，其分辨率要優(yōu)于DPD-HOC，但是DPD-SML方法雖然也可以形成相應(yīng)譜峰，但是其空間譜模糊，分辨率很低。

圖3 SML譜圖

圖4 DPD-Hoc譜圖

圖5 DPD-Hoc-ES譜

為了進(jìn)一步研究該算法在定位分辨率上的優(yōu)勢(shì)，設(shè)定如下場(chǎng)景，地面有2個(gè)輻射源同時(shí)發(fā)射窄帶信號(hào)，設(shè)定各個(gè)輻射源信號(hào)互不相關(guān)，位置分別為[-0.1 0 0],[0 0 0]km，其余條件保持不變，則可行解空間及陣列在其上的投影如圖6所示。

圖6 2個(gè)輻射源定位場(chǎng)景

設(shè)定蒙特卡洛仿真次數(shù)為1000次，以emitter2為例統(tǒng)計(jì)其隨信噪比變化的定位均方根誤差(RMSE)，結(jié)果如圖7所示。

圖7 輻射源2定位性能示意圖

從圖7可以看出，DPD-HOC和DPD-HOC-ES的方法可以準(zhǔn)確對(duì)emitter2進(jìn)行定位，并且DPD-HOC-ES的定位精度高于DPD-HOC，說(shuō)明其分辨率更高。另外，當(dāng)信噪比大于-5 dB時(shí)，DPD-HOC-ES和DPD-HOC的定位精度隨信噪比的增加不再有明顯的變化，說(shuō)明基于HOC的直接定位方法對(duì)高斯噪聲具有較好的抑制作用。而DPD-SML由于分辨率低，無(wú)論在高信噪比還是低信噪比下都無(wú)法將這兩個(gè)臨近目標(biāo)區(qū)分開，因此其定位誤差也一直較大。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于四階累積量的直接定位方法，該方法可以對(duì)大于或等于陣元數(shù)的輻射源進(jìn)行直接定位，為了進(jìn)一步提高分辨率，本文借用特征空間的方法對(duì)其進(jìn)行了優(yōu)化，仿真表明了該方法對(duì)大量輻射源(輻射源數(shù)目等于陣元數(shù))具有準(zhǔn)確的定位能力。但是該方法也具有運(yùn)算量大的缺陷。因此，克服這一困難的大量輻射源直接定位法是以后的研究重點(diǎn)。