淺談高校數學研究性教學的課堂實踐

方守文

摘 ?要：隨著我國高等教育的快速發展和社會對高素質人才的需求，高校實行研究性教學改革的呼聲日漸高漲。在高校數學課堂教學中嘗試研究性教學，可以培養大學生對數學的興趣，提高學生的數學修養和創新能力，實現高等教育的人才培養目標。基于在高校數學課堂多年的教學實踐，筆者探討了在高校數學課堂教學中如何開展研究性教學，對培養大學生創新素質有著非常重要的意義。

關鍵詞：研究性教學 ?高等數學 ?線性代數 ?素質教育

中圖分類號：G642.0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2019）07（b）-0212-02

研究性教學是指教師結合課程內容與學生已有知識，通過研究性的方式提出、分析和解決問題，并在此過程中培養學生與專業所學知識相關的學習能力和創造能力，是目前高等教育所提倡的新型教學模式之一。研究性教學的最終目的是培養學生的創新能力，提升本科教育培養人才的質量。高校素質教育所強調的核心是創新能力的培養，這就使得傳統的教學方式向研究性教學方式的轉變成為一種必然趨勢。

高校數學課程是大學各個專業的基礎課，由于具有高度的抽象性和邏輯性，使得很多大學生望而生畏，從而失去了學習數學的積極性。因此，在高校數學課堂中進行研究性教學的實踐是非常必要的，可以通過研究性教學來激發學生學習數學的興趣，提高課堂教學效果，鍛煉學生思考問題、分析問題和解決問題的能力。筆者根據多年高校數學課堂教學實踐，來談談如何把研究性教學深入到高校數學課堂實踐中。

1 ?高校數學課堂教學實踐

1.1 教學中以全局觀看知識點

數學是一門很嚴謹的學科，數學的各個方向相互滲透交叉，知識點前后緊密相關。高校數學主要有三門課程組成，高校教師要熟練每門課程的知識點，力求做到融會貫通。課堂教學中對各個知識點多作類比，善于構建多層次多維度的知識網絡體系，全方位整合知識點，啟發學生多動腦筋。例如，在講解線性代數的對稱矩陣時，有一個結論：一個方陣可以分解為對稱矩陣和反對稱矩陣的和。教學中可以對應到高等數學中類似的知識：一個函數可以分解為偶函數和奇函數的和。類似地，比如在講解矩陣乘積的逆運算性質時，就可以提醒學生回憶矩陣乘積的轉置運算性質。抓住這兩個公式的共同點，就能很快讓學生熟練計算。

高校素質教育的目標是培養高素質創新型人才。因此，對學生創新能力的培養，必須要深入到高校數學課堂的具體教學中。創新不是無水之源，在知識網絡體系中每個知識點都承載著推動新知識的發現和形成，只有不斷內化已有知識，才能派生出新的知識。新的知識點和舊的知識點有很多相似點，教師要善于發現并抓住知識點的異同點，課堂教學中多作類比，幫助學生搭建知識點間的橋梁，才能快速地讓學生接受新的知識，方便理解，增強學生運用已有知識解決問題的能力，從而提高教學效果，培養學生的創新意識。

1.2 抽象概念要直觀化處理

數學中概念的抽象性很高，使得初學者不易理解，因此借助于幾何背景去認清概念就非常有必要。笛卡爾說：“沒有什么東西比幾何圖形更容易引人腦際了，因此用這種方法來表達事物是非常有意義的。”高等數學里很多概念都提到它的幾何意義，教學中教師應該都會注意到。但是線性代數的教材里很少提到幾何意義，教學中不去說明，學生就很難把握，比如：向量的線性相關。教學中，可以從向量的個數和空間維數去講解。首先從兩個向量α和β的線性相關入手，就是，k1，k2不全為零，等價變形后，不妨設k1≠0，即。根據向量的數乘定義，即這兩個向量α和β對應分量成比例，幾何上叫共線或者平行關系。接著看三個向量α，β和γ的線性相關，，k1，k2，k3不全為零，不妨設k1≠0，即。根據向量加法平行四邊形法則，幾何上這三個向量就是共面關系。最后，讓學生采用同樣分析方法去思考四個向量的線性相關，幾何上怎么解釋？可以提示：應該也是共一個東西。學生根據幾何直觀，就很自然的去聯想到線、面的下個應該是什么，從空間維數去看，線是一維直線，面指的是二維平面，那么下一個應該是三維空間。所以，得到結論四個向量線性相關幾何上是共體。這樣如此類推，自然對向量線性相關的概念理解就更加深刻。再有對線性方程組解結構的講解，幾何上可以對應到空間解析幾何中平面或直線。齊次線性方程組的解構成向量空間，對應的就是空間中經過原點的平面或直線，非齊次線性方程組的通解是一個特解加上相對應的齊次線性方程組的通解，幾何上看就是把經過原點的平面或直線平行移動一個特解后變成不經過原點的平面或直線。有了這種直觀認識后，對解的結構定理記起來就更加自然，不需要去死記硬背。

在高校數學課堂教學中，要始終貫徹抽象概念的直觀化處理，這種教學方法有助于學習者記憶理解，從而提高學生對數學的興趣，使得課堂教學更生動，更具有吸引力。

1.3 分析問題要追本溯源

高校數學課程里對每個知識點的介紹，都會給出相應地例題，通過例題讓學生熟悉新的知識點，更好地加深概念的理解，從而提高學生分析和解決問題的能力。教學中要把課堂例題分析講解到位是每位教師必備的教學基本功，這點需要不斷地教學實踐和反思。下面給一個例子來說明。

例如：已知三階矩陣A的特征值為1、2和3，設，問B能否相似對角化？

分析：矩陣相似對角化的充分必要條件是矩陣有n個線性無關的特征向量。而題中條件只給出了特征值，所以要從特征值的角度來判斷對角化，這就要注意到矩陣相似對角化的一個充分條件是矩陣有不同的特征值。在這個思路下，我們可以先根據特征值性質計算出B的特征值分別為-1、3和19，因此，B可以相似于對角矩陣。

如果僅從上面的分析給出求解過程，這個例題就結束，這樣是遠遠不夠的。其實上面的分析只能解決這個例題，并沒有抓住問題的核心。我們可以給學生去思考：如果換成，能不能相似對角化？這樣再用上面的分析，B的特征值分別為0、0和2，因此，僅從特征值就不好回答了。其實B還是能對角化，只要B是A的多項式，因為這個例題的本質是A能相似對角化，而相似矩陣的多項式也相似。這樣結合相似對角化的條件和相似性質去分析，使例題的本質突顯出來。

華羅庚先生指出：“取法乎上得其中，取法乎中得其下”。教學中不能僅僅根據一點分析問題，要多方位多角度去延伸，橫向和縱向都要兼顧到，要有高屋建瓴的認知能力，揭示問題的本質，把握問題的源與流。只有這樣，才能更好地啟發學生思考，做到舉一反三，有助于提升本科生的創新意識，開拓本科生的數學視野。

2 ?結語

高校數學課堂教學改革和創新是高等教育一個重要的研究課題。研究性教學方式是目前高校數學課堂教學的改革方向，這也需要廣大高校數學教師不斷地在教學實踐中進行完善。大學數學教師不能停留在為教學而教學的初級層面上，要在教學實踐中深入研究性教學嘗試，提高大學數學課堂教學效果，培養大學生的數學思維能力和創新意識，為國家多培養高素質創新型人才。

參考文獻

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