探析高考數學中恒成立問題的解題策略

吉世龍

摘 要：在高中數學的內容體系中，恒成立問題是一個綜合性問題，涉及到很多知識內容、數學思想和解決方法。因此，它對學生來說是非常困難的，也是考試的重點和難點之一。在實際教學過程中，一些學生解決問題的思維和方法更加主觀，缺乏系統科學的思維方式和解決方法。在此背景下，本文系統地探討了常見問題，并研究了相應的解決方法，以提高學生的學習效率。

引言

高中恒成立問題的一般形式是以解決不等式和等式的價值為前提的。它有時與幾何問題相結合，也可轉化為代數問題。在解決這類問題時，最常見的解決方法是將其轉換為函數問題。通過函數的周期性、奇偶性等性質，并結合已知信息，從本質上解決了函數的恒成立問題，恒成立問題是求解方程（不等式）的前提。由于它涉及到函數的性質，在解決問題的過程中要充分利用函數的像，借助函數的奇偶性和周期性直觀地反映函數的最大值和范圍的分布。本文探討了關于高中恒成立問題的幾種解析方法：

一、參變分離法

參變分離法是指將參數與變量分開考慮，然后借助函數圖像和屬性來求解參數的取值范圍，從而簡化表達式，降低求解難度。在實際的教學和考試過程中，使用這種方法可以幫助學生有效地避免復雜的代數運算，既節省了寶貴的時間，又大大提高了答題的準確性[1]。

總結：這個問題同時包含了參數和變量。如果一起考慮計算是很困難的。因此，利用參數變量分離的思想可以有效地對已知信息進行排序，將尋找參數范圍的問題轉化為函數的最大值問題，進而求解最終結果。

二、數形結合法

為了解決恒常性問題，如果只從代數的角度考慮則很難求解，而且計算量較大或難以得到結果。此時，我們需要仔細觀察代數公式的形式，并將其與幾何概念結合起來，利用直觀的幾何圖形輔助求解，從而得到代數與圖的關系，然后求解周圍參數的取值范圍[2]。

總結：數形結合的數學思維方法可以將單純的代數問題轉化為幾何圖形問題，使抽象問題具體化。當然，數形結合的方法并不是萬能的。使用該方法的前提是通過項的移位和變形，將原代數表達式轉化為幾個常見的概念表達式。常見的幾何圖形有直線、圓、半圓等。

三、構造函數法

在求解一類最值問題的過程中，我們可以利用完全平方公式將極值問題轉化為二次函數問題。我們可以借助函數的圖像和性質，通過構造函數求解具體的值，而不是機械的代數運算。同時，如果已知表達式包含一個以上的變量，一般需要結合題目要求和已知信息來改變變量，需要借助范圍明確的變量來求解未知范圍變量的值[3]。

總結：在解決這一類恒成立問題時，多數學生往往會糾結于參數、變量的區分與選擇，甚至有部分同學認為字母“x”就一定代表著變量，而除此之外的字母，如“a”、“m”、“n”等就一定是參數，進而將求解的重點混淆，使得題目復雜化甚至出現錯誤。因此，在解決問題之前，必須仔細檢查問題，明確題目的要求，整理題目中已知的信息和已知的數量，轉換思維，簡化或轉換已知信息中的表達式，最終快速準確地解決問題。

結語

因此，在教學過程中，我們需要注意對學生思維的培養。教師不僅要引導學生掌握正確的解決問題的方法，而且要端正學生的思維方式。我們要找到不斷建立問題與具體數學思維方法之間的聯系，并舉一反三。

參考文獻：

[1]徐健.不等式恒成立問題的求解方法和誤區[J].新課程·下旬，2018，（12）：137.

[2]包廣啟.處理不等式恒成立問題的多種視角[J].高中數理化，2018，（19）：10-11. DOI：10.3969/j.issn.1007-8312.2018.19.006.

[3]張磊.專談數學中的“恒成立”問題[J].高中數理化，2018，（20）：9. DOI：10.3969/j.issn.1007-8312.2018.20.007.