數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學解題中的應用

摘要：數(shù)學是研究“數(shù)”與“形”的學科，而數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學學科的一種基本思想，對數(shù)學解題有著很大的積極作用。文章從數(shù)形結(jié)合解題的實例出發(fā)，體會數(shù)形結(jié)合對解題的簡便作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;高中生;解題

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學，“數(shù)”與“形”是數(shù)學學科的主要研究對象，“數(shù)”具有抽象與形式化的特點，而“形”具有具體而形象化的特點[1]，利用數(shù)學結(jié)合思想，把數(shù)與形之間相互轉(zhuǎn)化，能夠使抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于高中學生把握數(shù)學問題的本質(zhì)[2]。

一、數(shù)形結(jié)合的概念及解決問題的對象

數(shù)形結(jié)合，是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種思想，它主要有“以形助數(shù)”、“以數(shù)解形”兩種形式。著名數(shù)學家華羅庚先生就曾以“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微”來描述這一思想的重要性。

初中數(shù)學中數(shù)軸這一知識點使學生首次體會數(shù)形結(jié)合，而在高中數(shù)學中，這一方法使用更加普遍：在集合中，韋恩圖是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)，它能夠更清晰地表示各個集合之間并、交、補的關(guān)系;在函數(shù)中，定義域、值域、函數(shù)的性質(zhì)都可以借助數(shù)形結(jié)合來分析;在方程與不等式中，方程的根與函數(shù)圖像的零點有著對應關(guān)系，線性規(guī)劃問題也是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn);在立體幾何中，借助數(shù)形結(jié)合學生可以更直觀地分析點、線、面之間的關(guān)系，領悟相交、垂直、異面、線面平行、線面相交、二面角等知識點[3];在圓錐曲線中，圓、橢圓、拋物線、雙曲線等是重點內(nèi)容，在高考中占有較大比重，靈活運用數(shù)形結(jié)合思想，可將幾何性質(zhì)與代數(shù)研究牢牢結(jié)合，有助于學生厘清知識脈絡。

二、數(shù)形結(jié)合的具體應用

在解題過程中，發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想應用非常廣泛，并且這一思想的應用，使解題更加簡潔、直觀。

1.運用數(shù)形結(jié)合，使問題由繁到簡

例1關(guān)于x的方程||x-2|-1|=a有三個整數(shù)解，求a的值。

分析：要想解這個方程，學生很容易想到去兩次絕對值，①若

|x-2|-1=a，當x≥2時，x-2-1=a，當x<2時，2-x-1=a;②|x-2|-1=-a，

當x≥2時，x-2-1=a，當x<2時，2-x-1=a，分別對這兩種情況進行解不等式，最后結(jié)合a的取值范圍求出a=1，但這種方法情況較多，解起來較為繁瑣，并且容易忽略a的取值范圍和絕對值的非負性得到錯誤的結(jié)果。對于這個方程，用數(shù)形結(jié)合的思想，畫出它的函數(shù)圖像如圖1，把方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點的問題，很容易可以判斷只有當a=1時，此方程有三個整數(shù)解。

2.運用數(shù)形結(jié)合，使問題由繁瑣到具體

例2求y=的值域。

分析：由此題的形式想到兩點之間的斜率，問題可以看成點A（2，1）和動點B（cosx，sinx）連線的斜率，又由于動點B的軌跡是單位圓，此題就轉(zhuǎn)化成求過定點A與過點B的直線L：y=k（x-1）+2斜率的范圍，如圖2，當直線與單位圓相切時取最值。本題利用數(shù)形結(jié)合，拋開繁瑣的計算，使問題變得具體化。

三、應用數(shù)形結(jié)合解題的注意事項

1.等價轉(zhuǎn)換

在運用數(shù)形結(jié)合時，數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵一步。對于式子較為繁瑣、不易找出變量之間關(guān)系的題目，要轉(zhuǎn)換思考角度，把它轉(zhuǎn)化為直觀的圖形;而對于圖形，為了分析它所表達出來的特性，要用數(shù)字表示關(guān)系，使解題思路更加具體。但是在轉(zhuǎn)換過程中，要始終遵循等價原則，使轉(zhuǎn)化前后的條件一致，如在三角函數(shù)中，運用數(shù)形結(jié)合要注意不能改變函數(shù)的定義域、值域。

2.精準作圖

數(shù)形結(jié)合的運用始終與圖形相關(guān)，能準確地畫出所需圖像是正確做出題目的基礎。但若作圖不規(guī)范，很可能導致解題錯誤，如常見的交點個數(shù)問題，會因圖像的不規(guī)范性使最后結(jié)果與正確答案出現(xiàn)偏差，這就需要在作圖的時候盡量精確，并且運用代數(shù)的精確性來驗證。此外，對于圖形的平移、伸縮變換也應牢固掌握。

3.靈活運用

數(shù)形結(jié)合只是數(shù)學思想中的一種思想方法，并不適用所有題目，所以，在解題過程中，要善于總結(jié)思考哪些類型的題目適合此種方法，而適合此種方法的習題應該如何應用，有效提高解題效率。

四、結(jié)語

數(shù)形結(jié)合思想作為高中學生必備的基本思想之一，遠比數(shù)學知識重要得多，它為高中生解題提供有效思路，較為簡潔與直觀，不僅保留了數(shù)字的具體性，又有圖形的直觀性[4]，能夠有效提高學生做題效率，增加學習興趣，培養(yǎng)學生思維能力。所以教師與學生要充分重視、靈活使用這一思想，讓它成為高中學生學習數(shù)學的金鑰匙。

參考文獻：

[1]李晶，孫雪梅，李德安.一題之探——以數(shù)形結(jié)合思想為例[J].數(shù)學通報，2019，58（04）：60-63.

[2]劉華.數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學中的應用[J].數(shù)學學習與研究，2019（09）：150+152.

[3]沈申文.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學與解題中的有效運用[J].數(shù)學教學通訊，2019（09）：76-77.

[4]張登科.淺談數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學教學中的應用[J].課程教育研究，2019（20）：118-119.

作者簡介：張暢暢（1993-）女，漢族，河南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院2018級碩士研究生，專業(yè)：學科教學（數(shù)學）。