函數(shù)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用易錯(cuò)題歸類剖析

楊濤

“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)知識(shí)，在歷年高考中都占據(jù)著重要的地位，而且這部分知識(shí)既有難度較大的填空題，還有計(jì)算煩瑣的解答題。又因?yàn)椤昂瘮?shù)”貫穿高中數(shù)學(xué)的始終，因此，學(xué)好這部分知識(shí)對(duì)同學(xué)們來說，顯然是非常必要的。鑒于這部分知識(shí)有很多易錯(cuò)點(diǎn)，筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，對(duì)這部分知識(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)剖析如下，供同學(xué)們參考。

易錯(cuò)點(diǎn)一：概念的理解不到位

在“函數(shù)”的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)遇到一些條件相似，但在本質(zhì)及解題方法上卻存在很大差異的問題。若能及時(shí)對(duì)它們進(jìn)行對(duì)比、區(qū)別，則可擺脫知識(shí)的“負(fù)遷移”，走出思維的誤區(qū)，提高解題的準(zhǔn)確率，同時(shí)對(duì)同學(xué)們加深對(duì)概念的理解、題意的挖掘、審題能力的培養(yǎng)等方面都大有益處。

1.定義域與值域。

易錯(cuò)點(diǎn)三：“導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)”與“函數(shù)單調(diào)性”

設(shè)函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若在此區(qū)間f‘（）>0恒成立，則f（x）在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;若在此區(qū)間地f（）<0恒成立，則f（）在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，除了掌握以上依據(jù)，還應(yīng)明確以下幾點(diǎn)（以增函數(shù)為例來說明）：

（1）f'（z）>0是可導(dǎo)函數(shù)f（z）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件。例如，函數(shù)f（x） =x2在區(qū)間（ 一∞，+ ∞）上單調(diào)遞增，但f'（x）≥0。

（2）f'（x）≥0是可導(dǎo)函數(shù)f （x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的必要不充分條件。若廠（z）為增函數(shù)，則一定有f'（x）≥0，但反之不一定成立。因?yàn)閒'（x）≥0為f'（x）>0或

一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0是在該點(diǎn)取極值的必要不充分條件，即可導(dǎo)函數(shù)在某處取得極值，則函數(shù)在此處的導(dǎo)數(shù)值必等于0;反之，若在某處的導(dǎo)數(shù)值為0，則函數(shù)在該處不一定取得極值，還需進(jìn)一步檢驗(yàn)f'（x）在f'（x）=0處的根的左有兩邊的導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)是否異號(hào)。

易錯(cuò)點(diǎn)四：“極值點(diǎn)”等同于“導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”

對(duì)于滿足f'（x0）=0的點(diǎn)z。稱之為導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，f（z）可導(dǎo)時(shí)f'（x）=0的點(diǎn)只是f（x）的極值點(diǎn)的必要不充分條件，所以把“極值點(diǎn)”等同于“導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

總之，同學(xué)們出現(xiàn)這些錯(cuò)誤，一方面，是由于概念本身的抽象性，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握不全面或?qū)︻}意理解不準(zhǔn)確等導(dǎo)致的;另一方面，是因?yàn)榻滩膶?duì)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)要求不全面、不太高，且教材選擇的案例又太常規(guī)、太特殊，而平時(shí)遇到的函數(shù)豐富多樣，所以同學(xué)們會(huì)出現(xiàn)認(rèn)知盲點(diǎn)，出現(xiàn)錯(cuò)誤。在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)該正視錯(cuò)誤，剖析錯(cuò)誤，澄清錯(cuò)誤，對(duì)比分析，從而加深對(duì)概念本質(zhì)的理解，消除疑惑，化解盲點(diǎn)，從而真正提高自己解決“函數(shù)與導(dǎo)數(shù)”問題的能力。

（責(zé)任編輯 王福華）