楊氏模量和泊松比基追蹤反演

劉 暢 李 超 朱振宇 陳國俊

(①中國科學院西北生態環境資源研究院，甘肅蘭州 730000； ②中聯煤層氣有限責任公司，北京 100011； ③中海石油(中國)有限公司非常規油氣分公司，北京 100011； ④中國科學院大學，北京 100049； ⑤中海油研究總院，北京 100028)

0 引言

對于“亮點”型氣層，可以利用地震數據的高振幅異常進行識別[1]；對于振幅差異不明顯的儲層，則需要利用地震數據的其他特征，如彈性參數進行識別。泊松比在AVO理論出現的伊始就被用于指示含氣儲層，并廣泛應用于碎屑巖儲層的預測[2]。Connolly[3]提出彈性阻抗的概念，并證明了利用不同角度彈性阻抗的差異可以指示含氣層的存在； Gray[4]利用拉梅參數探測油氣儲層，并建立了反射系數與拉梅參數之間的關系； Russell等[5]基于孔隙彈性介質理論，從Gassmann方程中推導出流體項； Sena等[6]在頁巖儲層的研究中發現楊氏模量和泊松比可以作為有利儲層的指示參數。

疊前地震反演是基于地震資料獲取此類參數的有效途徑[7]，但是地震數據的反演通常是一個病態問題，為了得到合理穩定的解，需要對問題進行正則化，稀疏正則化是目前解決地震反演問題常用方法之一[8]。L0范數正則化雖然有較好的稀疏性，但求解L0范數稀疏最優化是公認的難度較大的問題，需要采用貪婪迭代的策略進行求解[9]；匹配追蹤算法是一種經典的貪婪算法，Nguyen[10]利用匹配追蹤算法分解地震信號、反演反射系數；張繁昌等[11]基于匹配追蹤算法提取地震數據的時頻譜特征識別三角洲砂巖層的尖滅線；劉曉晶等[12]利用基于正交匹配追蹤算法的疊前AVO反演方法實現了塊化反演。雖然匹配追蹤算法在地震反演領域應用廣泛，但缺點是空間分辨率低及橫向連續性差。為此，Zhang等[13-14]提出了利用基追蹤算法開展地震反演，該方法不僅有較好的橫向連續性，而且計算效率高。基追蹤可以得到塊化的反演結果，Theune等[15]認為塊化反演結果的分辨率更高，對地層的解釋能力更強。為了進一步提高基追蹤反演的橫向連續性，Zhang等[16]提出了基于空間正則化的多道基追蹤反演方法。

致密氣儲層是一種非常規儲層，通常具有低孔、低滲的特征，常用的儲層預測方法難以對其進行有效識別[17-18]。本文借鑒頁巖氣勘探的成功經驗，利用楊氏模量和泊松比表征致密砂巖儲層含油氣特征，并從Zoeppritz方程的近似公式出發推導出以楊氏模量和泊松比表示的地震反射系數公式。基于該方程開展疊前稀疏層基追蹤反演，為了提高反演結果的穩定性和橫向連續性，在基追蹤的目標函數中加入模型約束項。利用譜投影梯度法算法進行求解，得到穩定的反演結果。模型實驗證明了方法的有效性和穩定性。實際工區數據應用不僅得到了穩定連續的反演結果，同時塊化反演結果為儲層邊界的確定提供了數據基礎。

1 方法原理

疊前地震反演是進行彈性參數預測常用的方法之一，其基礎是地震反射系數方程。由于Zoeppritz方程形式復雜，很少直接用于地震反演。Gray[4]提出了利用體積模量和剪切模量表示的反射系數近似公式

(1)

式中：RPP(θ)表示入射角θ對應的反射系數；K、ΔK、μ、Δμ、ρ、Δρ分別表示界面兩側介質的體積模量、剪切模量及密度的均值和差值；γ為橫、縱波速度比。

根據巖石物理理論，體積模量K、剪切模量μ與楊氏模量E、泊松比σ之間的關系可表示為

(2)

(3)

對式(2)和式(3)兩邊進行差分運算，可得

(4)

(5)

將式(4)和式(5)代入式(1)，整理得到用楊氏模量、泊松比和密度的相對變化率表示的地震反射系數近似方程

(6)

利用式(6)進行疊前數據反演，可以在地震尺度上估計楊氏模量和泊松比，據此進行有利儲層的預測和評價。

2 反演方法

根據褶積理論，地震信號可以表示為子波與反射系數的褶積形式。在有噪條件下，三者的關系可以表示為

d=WR+e

(7)

式中：d表示地震數據；W表示子波；e表示噪聲。

以地層為研究對象，進行反射系數奇偶分解有利于得到更加清晰的地層邊界。地層頂、底界面的反射系數可以表示為奇、偶反射系數對的線性組合[19]

(8)

式中Ro(i,j,Δt)和Re(i,j,Δt)分別為奇、偶系數對，表達式如下

Re(i,j,Δt)=δ(t-iΔt)+δ(t-iΔt+jΔt)

(9)

Ro(i,j,Δt)=δ(t-iΔt)-δ(t-iΔt+jΔt)

(10)

式中： Δt表示地震數據采樣間隔；i、j表示反射點位置。

式(8)可以表示為矩陣形式

(11)

根據式(11)可將式(8)表示為

(12)

式中rE、rσ、rρ分別表示楊氏模量、泊松比和密度的相對變化率。

將式(12)代入式(7)，可以得到

d=WDm+e=Gm+e

(13)

式中W表示具體的子波矩陣。

為了得到稀疏性較強的反演結果，基于基追蹤理論建立反演算法[20-23]。常規的基追蹤反演目標函數由L2模的誤差項和L1模的約束項組成

(14)

式中λ表示權重系數。

L1模約束無法提供合理的低頻信息[24]，且逐道的基追蹤反演結果缺乏橫向連續性，需要結合測井資料建立低頻模型對式(14)進行約束，目標函數變為

由于低頻信息來自實際工區的測井資料，因此最終的反演結果更多包含了工區內的真實背景信息，反演的結果則更加合理，并且模型約束能夠有效地改善反演結果橫向的連續性。

3 模型試算

為了檢驗本文反演方法的正確性，根據實際工區測井數據建立了一維模型進行試驗。圖1為根據工區測井數據建立的楊氏模量、泊松比和密度模型曲線。將模型曲線代入Zoeppritz方程，利用30Hz雷克子波進行褶積得到合成地震道集，作為輸入的地震數據(圖2)，進行疊前地震反演。 得到的反演

圖1 根據工區測井數據建立的楊氏模量(左)、 泊松比(中)和密度(右)模型曲線

結果如圖3所示，可以看出，模型數據與反演結果基本吻合。為了進一步檢驗方法的抗噪性，在合成地震道集中加入信噪比為2的高斯白噪聲(圖4)，反演

圖2 合成地震記錄

圖3 圖2數據反演結果 圖中紅色曲線和藍色曲線分別是模型曲線和反演結果

圖4 含噪合成地震記錄

結果如圖5所示。可以看出，反演結果的精度較圖3有所下降，但是仍然比較準確，證明反演方法具有一定的抗噪性。

圖5 對應圖4數據的反演結果

4 應用實例

為了檢驗本文提出方法的實際應用效果，在中國M油田開展方法的實際應用。工區發育石盒子組含氣致密砂巖儲層，目的層埋深約1000～1500m。首先利用工區內A井的測井數據計算得到楊氏模量和泊松比曲線，進行巖石物理交會分析(圖6)。可以看出，含氣儲層具有較高的楊氏模量值和較低的泊松比，對這兩種彈性參數進行反演可以為含氣儲層的預測提供數據支持。

圖6 測井數據交會分析

將處理后的地震道集轉換到角度域，并進行分角度疊加，得到小角度(1°～13°)疊加道集、中角度道集(14°～26°)和大角度道集(27°～39°)(圖7)。分別利用常規疊前反演方法和本文方法進行疊前地震反演，得到的楊氏模量和泊松比如圖8所示。由圖可見，在井旁道的0.89、0.91、0.93和0.96s處有四套儲層，顯示出楊氏模量高值異常和泊松比低異常。對比可以發現，圖8中兩種彈性參數的異常位置與測井曲線(含水飽和度)吻合度更高，顯示的儲層邊界更加清楚，橫向展布更加合理。

圖7 部分角度疊加地震剖面(a)小角度； (b)中角度； (c)大角度

圖8 常規方法(上)與本文方法(下)反演結果對比(a)楊氏模量； (b)泊松比

5 結論

楊氏模量和泊松比可以表征巖石的脆性，對于致密砂巖油氣藏的評價和描述非常有利。本文提出了一種基于模型約束的疊前基追蹤反演方法，可以從地震數據直接反演得到楊氏模量和泊松比，用來指示致密砂巖油氣藏。模型數據測試表明，該方法在低信噪比的情況下仍可以得到高質量的反演結果；實際數據計算結果證明了利用本文方法可以在生產中得到準確、穩定的楊氏模量和泊松比反演結果，為致密砂巖氣藏的評價提供可靠的數據支持。