三元一次不等式表征的工程問題的線性圖解法

黃滿良，趙 濤，黃華寧，齊月魁，王虹宇

(1.大港油田石油工程研究院 天津300280；2.大港油田井下作業(yè)公司 天津300280)

油管柱的入井深度與油井井身結(jié)構(gòu)及井中液面位置有關(guān)，對于中深井和深井常采用組合油管柱以滿足強(qiáng)度要求。而油管柱的強(qiáng)度能否滿足與油管本身的材質(zhì)、尺寸規(guī)格、密度等物理特性及其屈服強(qiáng)度、抗擠能力等機(jī)械特性，油管承受的內(nèi)、外壓差，井中流體密度、井中流體對油管柱的浮力、井身結(jié)構(gòu)以及各級油管的長度等因素有關(guān)。本文利用線性圖解法可以在油管柱承壓能力范圍內(nèi)進(jìn)行單一管柱和雙級油管組合管柱的強(qiáng)度校核及最大入井深度的求解。利用該方法進(jìn)行管柱強(qiáng)度校核及求解管柱最大入井深度具有直觀、快捷的特點(diǎn)，提供了用平面圖解決三維問題的方法。

1 不同規(guī)格組合加厚油管柱及組合平式油管柱最大下入深度圖解法

下面通過對組合管柱的受力分析，進(jìn)行公式推導(dǎo)，進(jìn)而依據(jù)公式找到一種采用平面圖求解管柱最大下入深度和進(jìn)行強(qiáng)度校核的方法。

如圖1所示，上部為直徑較大的油管，其長度為lu，內(nèi)徑為 du，線密度為 ρu；下部為直徑較小的油管，其長度為 ld、內(nèi)徑為 dd，線密度為 ρd；油管的內(nèi)外壓差△P＞0，由于液體浮力使管柱強(qiáng)度偏于安全，文中忽略浮力對油管強(qiáng)度的影響。

圖1 組合管柱示意圖Fig.1 Schematic diagram of combined tubing string

1.1 作用在下部油管的最大載荷

作用在下部油管上的最大載荷發(fā)生在其最上部即 2種油管的連接處。最大載荷由下部油管自身重量 Gd、油管內(nèi)外壓差△P作用在下部油管上的拉力Fd△P和油管內(nèi)液體作用在下部油管上的拉力Fdl3部分載荷組成。

作用在下部油管上的最大載荷Fdmax：

式中：Gd為下部油管自身重量，N；ρd為下部油管的線密度，kg/m；ld為下部油管的長度，m；g為重力加速度，m/s2；Fd△P為油管內(nèi)外壓差△P作用在下部油管上的拉力，N；dd為下部油管內(nèi)徑，m；△P為油管內(nèi)外壓差，Pa；△P＝Pi-Po；Pi為油管內(nèi)壓力，Pa；Po為油管外壓力，Pa；Fdl為油管內(nèi)液體作用在下部油管上的拉力，N；lu為上部油管的長度，m；ρl為井中液體的密度，kg/m3。

1.2 作用在上部油管的最大載荷

作用在上部油管上的最大載荷發(fā)生在井口油管掛處，最大載荷由上部油管自身重力Gu、下部油管自身重力 Gd、油管內(nèi)外壓差△p作用在上部油管上的拉力Fu△P和油管內(nèi)液體作用在上部油管上的拉力Ful4部分載荷組成。

作用在上部油管上的最大載荷Fumax：

式中：Gu為上部油管自身重力，N；ρu為上部油管的線密度，kg/m；lu為上部油管的長度，m；Fu△P為油管內(nèi)外壓差△P作用在上部油管上的拉力，N；du為上部油管內(nèi)徑，m；Ful為油管內(nèi)液體作用在上部油管上的拉力，N；Fulu為上部油管內(nèi)液體作用在上部油管上的拉力，N；Fuld為下部油管內(nèi)液體作用在上部油管上的拉力，N；ld為下部油管的長度，m。

1.3 組合油管柱強(qiáng)度校核

根據(jù)采油技術(shù)手冊，油管強(qiáng)度校核應(yīng)滿足下式：

式中：m為安全系數(shù)(取1.3)；Fmax為油管所受最大載荷，N；Fs為油管的抗滑扣載荷，N；D 為油管外徑，m；d為油管內(nèi)徑，m；t為油管螺紡牙深，m；σs為油管材料的最小屈服強(qiáng)度，N/m2。

據(jù)此得出組合油管柱強(qiáng)度校核公式：

式中：Fus為上部油管的滑扣載荷，N；Fds為下部油管的滑扣載荷，N。

1.4 圖板繪制

1.4.1 給定條件下的強(qiáng)度校核公式

上部油管的抗滑扣載荷Fus：

式中：Du為上部油管外徑，m；t1u為上部油管螺紋牙深，m。查表可知不加厚油管 t1u＝0.00142m，故：

下部油管的抗滑扣載荷Fds：

式中：Dd為下部油管外徑，m；t1d為下部油管螺紋牙深，m。查表可知不加厚油管t1d＝0.00142m，故：

查表得ρu＝13.48kg/m，ρd＝9.41kg/m。將已知數(shù)據(jù)代入式(5)、(6)，整理得：

從式(9)、(10)可以看出，lu、ld、△P 3 個變量之一是另2個變量的線性函數(shù)。

式(9)與式(10)所代表的不等式相交于直線：

1.4.2 組合管柱承壓計(jì)算

根據(jù)采油技術(shù)手冊：

式中：ΔPmax為油管所能承受的壓差ΔP的最大值，MPa；N為壁厚系數(shù)，取 0.875(考慮壁厚為 12.5%的負(fù)偏差)；δ為油管壁厚，m；D為油管外徑，m。

很明顯，組合油管柱所能承受的最大壓差應(yīng)為二者之中的較小值，即70.1MPa。

1.4.3 圖板繪制及使用說明

根據(jù)式(9)、(10)及組合油管柱所能承受的最大壓差，繪制 3個變量 lu、ld及△P之間的關(guān)系圖(圖2)。該關(guān)系圖的使用說明如下：

①可以求出任一壓差下，△P、lu、ld之間的匹配關(guān)系。

②可以看出，△P為定值時，lu+ld最大值在直線lu-0.4520ld-14.628＝0上。

③可以看出，△P為定值時，單一管柱的最大入井深度分別在縱軸(不加厚管柱)和橫軸(油管柱)上，因而用此圖可以進(jìn)行單一管柱的強(qiáng)度校核。

④對于兩級油管組合管柱，在△P為定值時，lu或 ld知其一的情況下，可得另一油管的最大入井深度，進(jìn)而求得此條件下管柱的最大入井深度。

⑤可以求出任意的 lu和 ld組合管柱所能承受的最大壓差△Pmax。

⑥可以在△P、lu、ld均已知的條件下進(jìn)行強(qiáng)度校核。

圖2 滿足油管柱強(qiáng)度的ΔP、lu、ld匹配圖Fig.2 Matching diagram of ΔP，lu，and ldsatisfying strength of tubing string

1.4.4 應(yīng)用舉例

某井油管柱△P＝15MPa，ld＝2000m 時，需要確定lu的最大值。如圖△P＝10和△P＝20之間用差分法畫△P＝15的曲線(與△P＝10和△P＝20)平行；作直線ld＝2000與△P＝15的曲線相交，從交點(diǎn)處作水平線與縱軸相交，其交點(diǎn)即為此條件下不加厚油管的最大下入深度 lumax＝1380m，故此時組合油管柱的最大下入深度為lumax+ld＝1380+2000＝3380m。

2 同規(guī)格、同壁厚加厚與平式組合油管柱最大下入深度圖解法

同規(guī)格、同壁厚組合的油管柱如圖3所示，上部為加厚油管，長度為 lu，下部為不加厚油管，長度為ld，兩級油管的內(nèi)徑均為d，油管內(nèi)部壓力為Pin，外部壓力為 Pout，油管內(nèi)外壓差ΔP＝Pin-Pout＞0，由于井中流體對管柱的浮力及井斜使管柱強(qiáng)度偏于安全，文中忽略它們對油管柱下入深度的影響。

圖3 兩級組合管柱示意圖Fig.3 Schematic diagram of double-stage combined tubing string

2.1 作用在上部油管的最大載荷及作用在下部油管的最大載荷

前文已推導(dǎo)出作用在上部油管的最大載荷Fumax和Fdmax分別為(1)、(2)兩式，由于討論的5種工況是基于 du=dd=d的條件，故(1)、(2)兩式可簡化為(12)、(13)兩式。

式中：ρu為加厚油管的線密度，kg/m；ρd為不加厚油管的線密度，kg/m；lu為加厚油管的長度，m；ld為不加厚油管的長度，m；g為重力加速度，m/s2；ΔP為油管內(nèi)外的壓力差，MPa；d為油管柱的內(nèi)徑，m；ρl為井中流體密度，kg/m3。

2.2 組合油管柱強(qiáng)度公式

根據(jù)采油技術(shù)手冊，每級油管強(qiáng)度應(yīng)滿足(3)式，上部油管即加厚油管的抗滑扣載荷：

式中：D為油管本體外徑，m；σs為上部油管材料的最小屈服強(qiáng)度，N/m2。

下部油管即不加厚油管的抗滑扣載荷Fds為：

式中：t1為下部油管螺紋牙深，m；σds為下部油管材料的最小屈服強(qiáng)度，N/m2。

故組合油管柱強(qiáng)度校核公式為：

2.3 組合油管柱所能承受的最大壓差ΔPmax

根據(jù)采油技術(shù)手冊：

式中：n為壁厚系數(shù)，取 0.875(考慮壁厚為 12.5%的負(fù)偏差)；δ為油管壁厚，mm；D 為油管本體外徑，mm；sσ為油管材料的最小屈服強(qiáng)度，N/m2。

本文考慮的 5種工況為同規(guī)格、同壁厚、同材質(zhì)，即：

σus=σds=σs，且均為N80材質(zhì)的情況，故σs＝552MPa。

5種工況對應(yīng)的各種參數(shù)，通過查閱采油技術(shù)手冊，列于表1。

表1 5種工況對應(yīng)參數(shù)表Tab.1 Corresponding parameters of five working conditions

根據(jù)(18)式及以上數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出A—E各種工況條件下，組合管柱承受壓差的能力，見表2。

表2 對應(yīng)于5種工況條件的最大壓差Tab.2 Maximum pressure difference corresponding to five working conditions

2.4 長度匹配關(guān)系圖的繪制

為使本文所繪圖譜更具實(shí)用性，井中流體密度取1000kg/m3。這是因?yàn)樵谟凸苤惺茌^大壓差的條件下，井中流體密度一般小于此值，當(dāng)井中流體密度低于此值時，使文中所取油管內(nèi)流體重量比實(shí)際偏大些，因此使用所繪圖譜求解油管柱的最大下入深度及強(qiáng)度校核，偏于安全。根據(jù)(16)、(17)兩式及已知數(shù)據(jù)可以推導(dǎo)出不同工況下滿足強(qiáng)度要求的關(guān)于lu、ld和ΔP的不等式組。

A工況：

式(19)、(20)所代表的不等式相交于直線：

B工況：

式(21)、(22)所代表的不等式相交于直線：

C工況：

式(23)、(24)所代表的不等式相交于直線：

D工況：

式(25)、(26)所代表的不等式相交于直線：

E工況：

式(27)、(28)所代表的不等式相交于直線：

利用式(19)—(28)，結(jié)合油管柱抗壓差能力，即可繪制出 A—E工況不同壓差下上部油管長度lu與下部油管長度ld的匹配關(guān)系圖，見圖4—圖8。

2.5 利用長度匹配關(guān)系圖能解決的工程問題

①可以求出本文給定條件下及抗壓差范圍內(nèi)任一壓差值下lu與ld的匹配關(guān)系。

②在ΔP為定值時，lu或ld兩者知其一的情況下，可查出另一油管的最大下入深度，進(jìn)而求出此條件下組合管柱的最大下入深度。

圖4 A工況不同壓差下lu與ld匹配關(guān)系圖Fig.4 Matching relationship between lu and ld under different pressure differences under condition A

圖5 B工況不同壓差下lu與ld匹配關(guān)系圖Fig.5 Matching relationship between lu and ld under different pressure differences under condition B

圖6 C工況不同壓差下lu與ld匹配關(guān)系圖Fig.6 Matching relationship between lu and ld under different pressure differences under condition C

圖7 D工況不同壓差下lu與ld匹配關(guān)系圖Fig.7 Matching relationship between lu and ld under different pressure differences under condition D

圖8 E工況不同壓差下lu與ld匹配關(guān)系圖Fig.8 Matching relationship between lu and ld under different pressure differences under condition E

③可以求出任意的lu與ld組合管柱所能承受的最大壓差。

④可以在ΔP、lu與ld均已知的條件下，進(jìn)行組合管柱的強(qiáng)度校核。

2.6 長度匹配關(guān)系圖應(yīng)用舉例

如圖5所示：

①在ΔP＝10和ΔP＝20之間用差分法畫出ΔP ＝15的曲線；

②作直線ld＝2000與ΔP＝15的曲線相交；

③從交點(diǎn)做水平線與縱軸相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1669)。

故lumax＝1669m。此時組合管柱的最大下入深度為：

3 膨脹管最大下入深度與液面位置關(guān)系的圖解法

膨脹管補(bǔ)貼施工中，施工管柱示意圖如圖 9所示，施工深度為 L；施工管柱與原井套管環(huán)空的頁面位置為 H；施工使用的油管為加厚油管(外徑73mm，內(nèi)徑62mm)，鋼級為N80；施工壓力為P。

圖9 補(bǔ)貼施工管柱示意圖Fig.9 Schematic diagram of patching construction tubing string

3.1 作用在N80加厚油管上的最大載荷

作用在加厚油管上的最大載荷發(fā)生在油管的頂端，最大載荷由油管自身重力 G、施工壓力作用在油管下端的拉力 FP和油管內(nèi)的液體作用在油管上的拉力FL以及油套環(huán)空的液體作用在油管柱上的浮力Ff這4部分載荷組成。

油管自重力為：

式中：G為油管自重，N；ρG為油管的線密度，kg/m；L為油管長度即膨脹管下入深度，m；g為重力加速度，m/s2。

施工壓力作用在油管下端的拉力為：

式中：FP為補(bǔ)貼施工壓力 P作用在有關(guān)柱下端的拉力，N；d為油管內(nèi)徑，mm；P為施工壓力，Pa。

油管內(nèi)液體作用在油管上的拉力Fl為：

式中：FL為油管內(nèi)液體作用在其底部底堵位置的拉力，N；ρli為油管內(nèi)液體密度，kg/m3。

油套環(huán)空的液面位置對油管柱受力的影響有：

①當(dāng)H≥L時，井中流體對膨脹管輸送管柱無浮力作用，即 Ff＝0。

②當(dāng)H＜L時：

式中：Ff油套環(huán)空的液體作用在管柱上的浮力，N；D為加厚油管管體外徑，mm；ρlo為油套環(huán)空液體的密度，kg/m3；H油套環(huán)空液面位置，m。

所以作用在油管上的最大載荷Fmax：

當(dāng)H≥L時：

當(dāng)H＜L時，

3.2 施工管柱強(qiáng)度校核

根據(jù)采油技術(shù)手冊油管強(qiáng)度應(yīng)滿足：

式中，m 為安全系數(shù)(取 1.3)；FS為油管柱抗滑扣載荷，N；σS為油管材料的最小屈服強(qiáng)度，N/m2。

據(jù)此得出滿足膨脹管補(bǔ)貼施工管柱強(qiáng)度的校核公式：

當(dāng)H≥L時，

當(dāng)H＜L時，

當(dāng)H≥L時，

當(dāng)H＜L時，

3.3 強(qiáng)度校核圖板

3.3.1 圖板繪制

式(12)、(13)所代表的不等式相交于直線 H＝L，在給定不同 P值的情況下，所代表的不等式可以用直線簇的形式繪制在一張圖上，在該圖的左上區(qū)為H≥L即環(huán)空液面在補(bǔ)貼位置以下的區(qū)域，右下區(qū)為H＜L，即環(huán)空液面在補(bǔ)貼位置以上的區(qū)域。

3.3.2 圖板使用情況

①可以找出在任何 H、L組合下，施工管柱所能承受的最大內(nèi)壓。

②可以校核任何H、L、P組合下的施工管柱強(qiáng)度是否安全。

③因?yàn)樵谂蛎浌苎a(bǔ)貼前業(yè)界均要求施工管柱達(dá)到 45MPa，據(jù)此可以找出在不同 H 條件下，膨脹管補(bǔ)貼對應(yīng)最大深度。

3.3.3 圖板應(yīng)用舉例

某井在進(jìn)行膨脹管補(bǔ)貼前施工管柱進(jìn)行了45MPa內(nèi)壓試壓，合格。該井液面在 2000m，補(bǔ)貼施工壓力不大于 45MPa，需要確定該井可進(jìn)行膨脹管補(bǔ)貼的最大深度。參考圖10，從縱軸 2000的位置作橫軸的平行線與直線 P＝45MPa相交(A 點(diǎn))，從該點(diǎn)作橫軸的垂線，該垂線與橫軸的交點(diǎn)對應(yīng) L＝3360m即為本井可施工膨脹管補(bǔ)貼的最大深度。

某井液面位置在 2000m，該補(bǔ)貼施工的位置在1520m，需要確定進(jìn)行膨脹管補(bǔ)貼時管柱是否強(qiáng)度安全。參考圖10，H＝2000，L＝1520的 2條直線的交點(diǎn)(B點(diǎn))位于H＞L區(qū)域，在P＝45MPa直線與縱軸所包含的區(qū)域內(nèi)，故該井進(jìn)行膨脹管補(bǔ)貼管柱強(qiáng)度安全。

圖10 膨脹管下入深度與膨脹壓力及液面位置匹配圖Fig.10 Matching diagram of penetration depth of expansion pipe，expansion pressure and liquid level position

4 結(jié) 論

①本文找到了一種用平面方法解決三維問題的方式，即用平面圖板求解△P、lu、ld之間的匹配關(guān)系，具有快捷、直觀的特點(diǎn)，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

②由于本文的公式推導(dǎo)過程忽略了井中流體浮力對管柱入井深度的影響，據(jù)此求出的最大入井深度比理論最大入井深度小，因而是偏于安全的。

③對于井中流體密度小于 1000kg/m3的工況，由于液柱重量的下降，應(yīng)用本文求解是偏于安全的。

④圖10中H≥L區(qū)域與H≤L區(qū)域的工況忽略浮力影響的結(jié)果相同，因而在 H≤L時，亦可采用H≥L對應(yīng)的區(qū)域進(jìn)行各項(xiàng)應(yīng)用，并且由于忽略了浮力的作用，其結(jié)果應(yīng)是偏于安全的。

⑤文中計(jì)算忽略了井斜的影響，由于井斜使管柱重量降低，按此系列圖表查得的結(jié)果是偏于安全的。

⑥文中的公式推導(dǎo)是基于新油管的情況，生產(chǎn)實(shí)踐中管柱的下入深度必須考慮油管的新舊程度。