淺析模型思想在“數學實踐”教學中的應用

摘 要：本文首先闡明模型思想和“數學實踐”的含義，提出用模型思想指導“數學實踐”活動;然后以購物費用估算模型的建立為案例，展示了活動的完整過程。建模思想體現在了問題的提出、模型的建立及求解、模型的驗證這一建模過程中。最后通過反思整個活動過程，指出模型思想指導下的“數學實踐”活動確實能提高學生的數學能力，提高老師的教學水平。

關鍵詞：模型思想;數學實踐;購物;費用估算

數學模型同數學應用、問題解決緊密地聯系在一起，對于數學教學具有十分重要的意義。模型思想是學生體會和理解數學和外部世界聯系的基本途徑，主要體現在建模過程中，即從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義，必要時還需要拿到現實問題中去檢驗，這是一個對數學進行科學探究的過程。

“數學實踐”是一類以問題為載體、師生共同參與的數學學習活動。針對問題情景，學生借助所學的知識和生活經驗，獨立思考或與他人合作，經歷發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的全過程。

模型思想和“數學實踐”都是從問題出發，都要經歷一個相對完整的問題解決過程，在解決問題的過程中往往需要綜合應用各種知識和技能，需要與他人協作，兩者具有內在的契合性。用模型思想指導“數學實踐”活動，將數學建模過程作為“數學實踐”活動的主線，能夠提高“數學實踐”活動的數學價值，有效實現數學教學目標;同時“數學實踐”活動由于時間和空間上的靈活性，為模型思想的完整展現提供了良機，有利于模型思想的培養。

對于小學數學教學而言，數學建模和“數學實踐”活動本身就具有一定的難度，而將二者有機結合并達到較好教學效果可謂難上加難，相關的案例也不多見，本文以“購物費用估算”為例，展現了一個模型思想指導下的“數學實踐”學習活動的完整過程。

一、 活動的起點：問題

選擇恰當的問題是搞好“數學實踐”活動的起點，也是關鍵。建模思想強調從日常生活或具體情境中發現問題，“購物費用估算”是日常生活中常見的數學活動，將估算與日常購物相結合，能培養學生估算意識和估算應用能力。在以往的估算教學中，筆者采用了“創設情境、探索交流、總結歸納、應用拓展”的教學思路，感覺良好，但有一次學生提出的一個問題引起了筆者的深思，即“課堂上學到的估算方法在實際購物時為什么用不上？”。為什么會用不上？這需要對實際購物及費用估算進行深入細致地分析，才能得到答案。

日常超市購物一般會在經歷一段購物時間后，排隊結賬，估算（主要是口算）實際發生在結賬前（購物過程中或排隊等待時），結賬后根據發票主要是檢查物品的數量、價格和發票上的是否一致，一般不會懷疑價格計算的準確性。結賬前估算的依據是物品單價和數量，這里就需要記憶物品的單價（數量可以通過清點物品得到、現場稱量并貼上金額標簽的物品價格無須記憶），當物品較多時，如何有效記住物品單價是估算要解決的第一個問題。在實際估算時，人們大多是估算到元，而具體的估算方法則是多種多樣的，如何找到一個便于記憶、計算快捷、精度適當的估算方法，就成為一個值得探索的問題。而在以往教學中，“創設情境”的時候，過于簡化，沒有反映出超市購物估算的上述特點，在探索交流時則側重于估算策略的選擇和計算，最終沒能提出一個簡單有效的可以實際使用的估算模型。

顯然這是一個實際的、富有挑戰性的問題，那它是否適合作為“數學實踐”活動的主題呢？這需要進行評估。經過進一步的分析和研究，筆者認為可以一試。一方面是因為筆者對問題的解決有了初步的構思和把握，涉及的知識和方法基本不超過小學五年級學生的知識水平;另一方面是與部分同學交流后，同學們表示出了對該問題的興趣，愿意在老師的帶領下研究這一問題，而且問題的解決需要收集大量的數據和計算，確實需要學生的參與。

二、 活動的過程：建模

在模型思想指導下，“數學實踐”活動的過程，既是探究學習的過程，也是建模的過程，超市購物費用估算模型的建立基本經過以下步驟：

（一） 提出問題

考慮到絕大部分學生都有超市購物的經歷，而且組織全體學生實際購物費時費力，所以充分利用學生已有的購物經驗，請同學回憶購物過程，直接提出問題：“如何找到一個簡單有效地購物費用估算方法？”

（二） 構建和求解估算模型

經過大家的初步討論，發現問題并不是那么容易解決，需要綜合考慮各種因素，筆者引導學生需要將問題簡化，有學生提出可以先根據發票上的數據來估算費用，進一步討論后，問題轉化為根據發票金額列（商品單價×數量的結果）的數據估算總費用（商品金額估算到元），這可以抽象出更一般的數學問題：給定一列數，估算數相加的和（估算到整數個位）。

解決這樣的問題，常用的估算方法有：（1）忽略小數位法，將每個數的小數部分忽略，然后累加整數部分，可以得到實際數的下限估計部分;（2）進1法，去掉小數位后，將個位加1，累加得到實際數的上限估計部分;（3）四舍五入法，將小數點后的尾數四舍五入，然后累加，計算出的數是實際數的一個更為精確的估計。

在實際操作中，請學生收集一張超市購物發票（要求商品數3-15項，總金額1000以內），將發票上總金額信息部分去掉，另外記下總金額。在課上，學生互相交換發票，根據發票各項商品數據口算估算總金額，將口算結果記下，然后與實際總金額比較，一般會與總金額有差異，老師借機引導學生討論、交流后，一般可以歸結出以上估算方法。

為了進一步弄清上述3種估算方法之間的數量關系，老師提問：“知道了實際數的下限估計部分，能不能很快算出上限估計部分？”，并通過實際數據計算演示，引導學生觀察、推理：假設有3個商品金額：25.12、6.88、10.60，下限估計數（X）為25+6+10，上限估計數（S）為26+7+11，那么S=25+1+6+1+10+1=25+6+10+3=X+3，通過歸納可以得到上下限估計數之間的關系式：X=S+n（n是商品數），類似的四舍五入法估算的金額數（Z）為：25+7+11，那么Z=25+6+10+2=L+i（i是五入的商品數），也就是說只要知道下限金額數，上限金額數和四舍五入法估計的金額數，就可以方便地計算出來，反之亦然。

至此，學生對于上述簡化的問題已經有了較為深入地認識，能夠確定總金額的范圍，并估算出一個較精確的值。

（三） 實際檢驗估算模型

要求學生在實際購物中，使用上述方法估算，將估算結果記在發票上帶回課堂，在課堂上統計計算出實際金額與估計金額的最大、最小差值，以及最大、最小相對誤差，相對誤差計算式是：（實際值-估計值）/估計值。通過切身經歷以及廣泛比較，同學們普遍反映估算方法簡單易行，估算結果比較準確。

但也有同學提出了異議：“上面的方法是根據已打出的發票進行估算的，而結賬前，沒有發票，估算時，首先需要知道每個商品的單價和數量，而有些商品的單價，只在貨架上標示，只有記住才能計算”。老師順勢問道：“確實，超市購物時間一般較長，如果需要記的商品單價較多，就容易記錯，大家有什么好的辦法嗎？”，同學們經過討論，提出了各種方法，大致可歸結為以下兩個方面：一是借助工具記憶，如用筆記下價格、讓一同購物的人幫著記、將價格寫在手機里，甚至提出用手機掃描商品條形碼獲取價格;二是盡量減少記憶量，如只記價格的整數部分、邊購物邊估算，記住中間結果。但在實際購物中，工具雖有助于記憶，卻并不常用，人們主要還是靠自己的大腦來記憶和運算，所以應探索如何減少記憶和運算量負擔，同時較準確地估算出總金額？

還有同學提出疑問：“上述模型方法是基于商品金額（商品單價×數量）計算的，而商品金額本身有時并不容易計算，例如單價12.7元，數量13，需要計算12.7×13，這個如何簡便計算？”。

這些問題的提出，為下一次活動的展開埋下了伏筆。

三、 活動的終點：反思

建模活動結束后，師生的反思很有必要，一方面總結反思是活動的一個重要環節，有利于培養反思意識;另一方面通過反思學生可以進一步理解所用的知識和方法，體會建模過程，積累數學活動經驗，老師則可以反思整個教學活動，積累教學經驗，進一步提高自己的教學水平。

購物費用估算問題源于日常生活，在師生的共同努力下，發現和提出了“如何簡單有效估算超市購物費用？”這樣一個富有挑戰性的問題。然后師生共同經歷了將實際問題簡化抽象、采集數據建模求解、再實際檢驗模型的建模過程。在這一過程中，綜合運用了多種知識，多種技能、多種思維方法，培養了學生的問題意識，運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識，活動充分體現出了綜合性、實踐性和過程性，學生的數學能力、解決現實問題的能力得到鍛煉和提高。不少同學反映雖然在活動中遇到一些問題和困難，但在老師的指導下，同學們的互相幫助下，克服了困難，當看到在購物中，運用自己參與研究出來的估算方法得到較好的結果時，體驗到了成功的喜悅，也增加了自信。

筆者在這次探究活動中也體會到要想將建模思想有效融入“數學實踐”活動中，教師需要不斷學習、思考、實踐，努力成為一個好的數學建模者。要能夠提出一個好的問題，初步規劃后，應大膽嘗試。要相信學生，依靠學生，讓學生參與進來，師生的共同努力是活動成功的關鍵。對這次活動而言，雖然已經走到了終點，但對下一次活動而言，這將是一個新的起點。

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作者簡介：

朱琴，江蘇省南京市，南京市誠信小學。